Integral einer Fallbeschleunigung zu einem Potential - Schritt für Schritt

[ralfkannenberg]

Ach so. Muss ich dringend meiner Bank mitteilen, die sollen mal locker bleiben.

Hallo Dgoe,

das ist ein bisschen wie bei den Zentrifugalkräften und den Zentripetalkräften, da muss man sich auch immer überlegen, in welche Richtung sie wirken.

In Fall dieser Aufgabe ist die Funktion a(r) in der Voraussetzung Nr.2 spezifiziert.

Und völlig zurecht weist Du mich darauf hin, dass mir im Beitrag #5 ein Copy/Paste-Fehler unterlaufen ist, d.h. da sollte kein Minus-Zeichen stehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Fallbeschleunigung a(r) = -G*M(r)/r²

Korrigenda: a(r) = G*M(r)/r², also ohne Minus-Zeichen.

Besten Dank an Dgoe für seinen Hinweis.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

3. sei das Potential das Integral der Fallbeschleunigung über r vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche beim Abstand r[sub]E[/sub] vom Erdmittelpunkt.

Also r = r_E, nix kleiner-größer! ?

Hallo Dgoe,

offenbar habe ich das missverständlich formuliert; der Zusatz "beim Abstand r[sub]E[/sub] vom Erdmittelpunkt" bezieht sich auf die Erdoberfläche.

Also voll ausgeschrieben:
3. sei das Potential das Integral der Fallbeschleunigung über r vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche, wobei sich die Erdoberfläche beim Abstand r[sub]E[/sub] vom Erdmittelpunkt befinden soll.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Ok, vielen Dank zusammen. Ich schau dann mal weiter.

 

[julian apostata]

Lösungsweg:
1. ermittele die Fallbeschleunigung a(r), d.h. setze die Dichte ρ[sub]E[/sub] in M(r) ein
2. ermittele die Stammfunktion der Fallbeschleunigung (unbestimmtes Integral)
3. setze die Integrationsgrenzen ein (bestimmtes Integral)

Ich versuch's mal mit Latex und nur 4 Dollarzeichen.

$$\\\rho_e=\frac{M}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}\rightarrow\rho_e\cdot G\cdot\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi=M\cdot G\rightarrow\rho_e\cdot G\cdot\frac{2}{3}\cdot r^2\cdot\pi=\frac{M\cdot G}{2\cdot r}\\\\\\a= \frac{M\cdot G}{r^2}=\rho_e\cdot G\cdot \frac{4}{3}\cdot r\cdot \pi\\\\\\\int adr=\rho _e\cdot G\cdot \frac{2}{3}r^2\cdot \pi+C= \frac{M\cdot G}{2\cdot r}+C \\\\\\\int_{0}^{r_e}=\frac{M\cdot G}{2\cdot r_e} $$

Heißt das jetzt ganz konkret? Das Gravitationspotential vom Erdmittelpunkt zur Erdoberfläche beträgt M*G/r_e^²

 

[Bernhard]

Heißt das jetzt ganz konkret? Das Gravitationspotential vom Erdmittelpunkt zur Erdoberfläche beträgt M*G/r_e^²

Nein.

Lass die vierte LaTeX-Zeile einfach weg und mach aus dem unbestimmten Integral in Zeile 3 durch Einsetzen der Integrationsgrenzen ein bestimmtes Integral. Dann ist die Aufgabe gelöst.

 

[julian apostata]

Ich hab jetzt das, was ich gestern gebracht habe, noch mal überarbeitet, weil der letzte Beitrag doch einige formale und Flüchtigkeitsfehler enthielt.

$$\\\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}\rightarrow\rho_e\cdot G\cdot\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi=M(r)\cdot G\rightarrow\rho_e\cdot G\cdot\frac{2}{3}\cdot r^2\cdot\pi=\frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r}\\\\\\a(r)= \frac{M(r)\cdot G}{r^2}=\rho_e\cdot G\cdot \frac{4}{3}\cdot r\cdot \pi\\\\\\\int a \quad dr=\rho _e\cdot G\cdot \frac{2}{3}r^2\cdot \pi+C= \frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r}+C \\\\\\\int_{0}^{r_e} a \quad dr =\frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r_e}$$

@Bernhard
Bezog sich deine Kritik an Zeile 4 darauf, dass ich den Text zwischen dem Integral und dem "dr" vergessen habe?

 

[ralfkannenberg]

$$\int_{0}^{r_e} a \quad dr =\frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r_e}$$

Hallo Julian,

hier ist Dir noch ein kleiner Schreibfehler unterlaufen; statt M(r) muss es M(r[sub]e[/sub]) heissen.

Zudem ist es üblich, bei der Funktion, die integriert wird, den Parameter ebenfalls zu nennen, d.h. in der dritten und vierten Zeile a(r) statt a zu schreiben; das reduziert die Fehlergefahr, dass man nach einiger Zeit versucht sein könnte, das a als vermeintliche Konstante vor das Integral zu ziehen.

Also:

$$\int_{0}^{r_e} a(r) \quad dr =\frac{M(r_e)\cdot G}{2\cdot r_e}$$


Und Zeile 3:

$$\int a(r) \quad dr=\rho _e\cdot G\cdot \frac{2}{3}r^2\cdot \pi+C= \frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r}+C$$



Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

@Bernhard
Bezog sich deine Kritik an Zeile 4 darauf, dass ich den Text zwischen dem Integral und dem "dr" vergessen habe?

Nein. Eher auf die fehlerhafte Beschreibung des Potentials im Text, also den Satz, den ich auch zitiert habe. Scheint so, als hätte ich übersehen, dass das Ergebnis in Zeile 4 OK ist?

 

[julian apostata]

Na gut, hoffentlich hat's jetzt beim 3.Versuch geklappt.

$$\\\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}\rightarrow\rho_e\cdot G\cdot\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi=M(r)\cdot G\rightarrow\rho_e\cdot G\cdot\frac{2}{3}\cdot r^2\cdot\pi=\frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r}\\\\\\a(r)= \frac{M(r)\cdot G}{r^2}=\rho_e\cdot G\cdot \frac{4}{3}\cdot r\cdot \pi\\\\\\\int a(r) \quad dr=\rho _e\cdot G\cdot \frac{2}{3}r^2\cdot \pi+C= \frac{M(r)\cdot G}{2\cdot r}+C \\\\\\\int_{0}^{r_e} a(r) \quad dr =\frac{M(r_e)\cdot G}{2\cdot r_e}$$

 

[Bernhard]

Na gut, hoffentlich hat's jetzt beim 3.Versuch geklappt.

Ja, jetzt passt alles. An der Reihenfolge der Rechnungen, d.h. der Übersichtlichkeit könnte man eventuell noch etwas feilen, aber das sind nur Geschmacksfragen.

 

[ralfkannenberg]

Na gut, hoffentlich hat's jetzt beim 3.Versuch geklappt.

$$\\\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}$$

Hallo Julian,

sehr schön, ich würde aber noch eine Gleichung zum besseren Verständnis vorstellen:

$$\\\rho_e=\frac{M(r)}{V(r)}\rightarrow\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}$$

EDIT: meine Meinung zum Latex auf Wunsch entfernt, ich habe sie aber gespeichert und kann sie jedem, der sich dafür interessiert, per PN zuschicken


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

$$\\\rho_e=\frac{M(r)}{V(r)}\rightarrow\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}$$

Hallo Ralf,

reduziere die drei Backslashes am Anfang auf Einen. Die bringen den Interpreter scheinbar durcheinander:

$$\rho_e=\frac{M(r)}{V(r)}\rightarrow\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}$$

EDIT: Entferne doch bitte die roten Kommentare aus Deinem Beitrag.

 

[ralfkannenberg]

reduziere die drei Backslashes am Anfang auf Einen. Die bringen den Interpreter scheinbar durcheinander:

$$\rho_e=\frac{M(r)}{V(r)}\rightarrow\rho_e=\frac{M(r)}{\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi}$$

Hallo Bernhard,

besten Dank. Ich denke, ich habe das Problem gefunden: wenn man copy/paste macht, um ein Zeichen, z.B. "{", das ich hier nicht auf meiner Tastatur habe, hineinzukopieren, rutscht beim paste ein Sonderzeichen hinein, so dass es wie ein zwischengelagerter Leerschlag aussieht.

Ich werde die Zeichenfolge am Montag im Büro mal in den Ultra-Edit laden und mir im Hexadecimal-Mode anschauen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

besten Dank.

Gern geschehen. Könntest Du bitte die roten Kommentare wieder raus nehmen?

 

[ralfkannenberg]

Gern geschehen. Könntest Du bitte die roten Kommentare wieder raus nehmen?

Es wäre einmal Zeit, sowas stehen zu lassen. Es ist nicht das erste Mal, dass ich das schreiben wollte und irgendwann ist wirklich mal genug ! Eine Stunde bin ich jetzt dran gesessen.


Freundiche Grüsse, Ralf

 

[julian apostata]

Die Aufgabe ist also gelöst. Noch was zur Jules-Verne-Gleichung. Vielleicht findet nicht nur Bernhard sie seltsam. Deshalb möchte ich noch was dazu sagen.

https://www.geogebra.org/material/show/id/xjmxmXCn
https://www.geogebra.org/m/xjmxmXCn

Auf die Schreibweise r(t), v(t), a(t) hab ich erst mal bewusst verzichtet, mitunter auch weil ich mir nicht sicher bin, wie man Radius hoch 3 schreibt.

r(t)³, r³(t) oder lieber (r(t))³ ?

Die Umformung zu 1/(3t) neben der Stammfunktion hab ich deswegen vor genommen, weil man dann in den beiden Zeitableitungen die Zeit leichter durch die Stammfunktion ersetzen kann.

$$\\r=\sqrt[3]{\frac{9\cdot M\cdot G\cdot t^2}{2}}\rightarrow \frac{1}{3\cdot t}=\sqrt{\frac{M\cdot G}{2\cdot r^3}}\\\\\\\dot{r}=v=\sqrt[3]{\frac{4\cdot M\cdot G}{3\cdot t}}=\sqrt{\frac{2\cdot M\cdot G}{r}}\\\\\\\ddot{r}=a=-\sqrt[3]{\frac{4\cdot M\cdot G}{81\cdot t^4}}=-\frac{M\cdot G}{r^2} $$

 

[Bernhard]

Vielleicht findet nicht nur Bernhard sie seltsam.

An so eine Äußerung kann ich mich, ehrlich gesagt, nicht erinnern. Vermutlich liegt da ein Mißverständnis vor.

 

[ralfkannenberg]

r(t)³, r³(t) oder lieber (r(t))³ ?

Hallo Julian,

die dritte ist zwar die beste, aber zu unübersichtlich - man muss auch ein bisschen versuchen, nicht in der Flut der Klammern zu ertrinken.

Ich persönlich würde Variante 2 bevorzugen, diese Notation habe ich in diesem Thread bisher auch benutzt; andererseits sehe ich momentan nichts, was gegen die erste Notation spricht - diese ist vielleicht didaktisch am besten verständlich.

Es ist also auch ein bisschen Geschmackssache.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Ich denke, ich habe das Problem gefunden: wenn man copy/paste macht, um ein Zeichen, z.B. "{", das ich hier nicht auf meiner Tastatur habe, hineinzukopieren, rutscht beim paste ein Sonderzeichen hinein, so dass es wie ein zwischengelagerter Leerschlag aussieht.

Ich werde die Zeichenfolge am Montag im Büro mal in den Ultra-Edit laden und mir im Hexadecimal-Mode anschauen.

Hallo zusammen,

das habe ich nun getan und kein Sonderzeichen gefunden - diese erkennt man ja daran, dass ihr ASCII-Code < 31 ist, also hexadezimal < 20, d.h. mit einer 0 oder mit einer 1 anfängt.

Somit liegt also eher wie schon Bernhard vermutet hat ein Interpreter-Fehler vor.


Gut und schön, ich bin weder ein Unix/Linux-Freak noch ein LateX-Freak und ich möchte künftig für eine Formel vom Typ ρ = M(r)/V(r), die sich in normalem Schrifttyp in weniger als 1 Minute niederschreiben lassen, nicht mehr über 1 Stunde Zeit sinnlos vergeuden.

Aus diesem Grunde werde ich ab sofort kein LateX mehr verwenden; ich bitte um Verständnis. Für Freaks ist das eine klasse Sache, aber für Leute, die eigentlich nur eine einfache Formel aufschreiben wollen, eine unerträgliche Zumutung.


Freundliche Grüsse, Ralf