Höchst interessant sogar. Da hast du ein paar Quadrate zuviel.
Gravitative Zeitdilatation und Masse-Zentren
- Ersteller AdMon
- Erstellt am
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Nein, du rechnest das, und ich helfe dir. Wir nehmen eine homogene Kugel an.
Ausgangspunkt:
Fallbeschleunigung a = G*M/r², wobei M die Masse innerhalb von Radius r ist. Das Potential ist das Integral davon. (Vorzeichen lasse ich besser mal weg, heben sich sowieso auf.)
Dgoe kann auch mitmachen, wenn er will.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
das lässt sich natürlich auch ohne Physik korrigieren: "ein paar" heisst "mindestens 2" und da es in der von Dir genannten Formel nur zwei Quadrate gibt, heisst das also "genau zwei".
Also beide weglassen.
Dasselbe erhälst Du, wenn Du die Joule durch Newton*Meter ersetzt, also J=Nm. Das noch durch die kg im Nenner geteilt ergibt .......
Struktron
Registriertes Mitglied
Hallo "Ich"
MfG
Lothar W.
Stimmt das? Würde das nicht bedeuten, dass oberhalb dieses Punktes liegende Masse Gravitation abschirmt? Oder ist es die Erklärung für die Abweichung von meiner Annahme? Dann müsste tatsächlich auch bei der Zeitdilatation im Erdmittelpunkt der im diskutierten Artikel vorgerechnete Unterschied auftreten. Über dessen Größenordnung können wir hier vermutlich wenig sagen?
MfG
Lothar W.
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
nur um nochmals an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zu erinnern
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S.: Steigung "=" 1.Ableitung
Es hat doch keinen Sinn, da rumzuspekulieren. Davon wird das Verständnis auch nicht besser. Die Mathematik ist relativ einfach, und wenn du das schaffst, kannst du deine Fragen selbst beantworten. Es geht hier nicht um Philosophie, sondern um Physik. Ein bisschen Grundlage in Newtonscher Gravitation muss man sich schon schaffen, wenn man mitreden will. Sonst werden das noch mal 86 Beiträge ohne Fortschritt (dann aber ohne mich).
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
ich bin zwar weder Lothar noch Dgoe, aber ich möchte trotzdem mal anfangen, auch auf die Gefahr hin, dass ich völlig daneben liege.
"Das Potential ist das Integral davon", also werden wir a integrieren müssen.
Worüber ? Ich vermute mal, dass wir über r integrieren müssen, also vom Erdmittelpunkt (=r[sub]1[/sub]) bis zur Erdoberfläche (=r[sub]2[/sub]).
Wenn wir integrieren, so müssen wir verstehen, welche der Grössen von der Variablen, über die wir integrieren wollen, abhängen.
Das wird wohl a sein und - da M die Masse innerhalb vom Radius r ist, auch r.
Also lautet die Gleichung, die wir integrieren wollen, wie folgt:
a(r) = G*M(r)/r²
Hier halte ich inne und frage, ob das bis hierher stimmt.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
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Hallo zusammen,
ich vermute, hier ist mir schon der erste Fehler passiert, denn das Potential "endet" ja nicht an der Erdoberfläche. Wir werden also bis ins Unendliche integrieren müssen und das r[sub]2[/sub] spielt nur insofern eine Rolle, dass M(r) für r < r[sub]2[/sub] und für r > r[sub]2[/sub] betrachtet werden muss, wobei das jetzt nur ein Detail ist, weil man Integrale bekanntlich addieren darf. Um dieses Detail kann man sich noch später kümmern.
Freundliche Grüsse, Ralf
Struktron
Registriertes Mitglied
Hallo "Ich", danke für die Hilfe.
Mit M = 5.9722 10^24 und r = 6.3556675 m wird a = 9.864 m/s². In Wikipedia steht 9.832 m/s² an den Polen, 9.78 am Äquator. Mit der genaueren Angabe G M =3.986 10^14 m³/s² kommt ungfähr das Gleiche heraus.
Das Integral von 0 bis r konvergiert nicht in meinem CAS. Mit km statt Metern geht es, aber nur beim Beginn z.B. mit 0.01. Bei Beginn mit 1 km kommt ungefähr 3.986 10^9 heraus, was stark vom Zähler G M abhängt. Wie löst man das sinnvoll?
MfG
Lothar W.
Mit M = 5.9722 10^24 und r = 6.3556675 m wird a = 9.864 m/s². In Wikipedia steht 9.832 m/s² an den Polen, 9.78 am Äquator. Mit der genaueren Angabe G M =3.986 10^14 m³/s² kommt ungfähr das Gleiche heraus.
Das Integral von 0 bis r konvergiert nicht in meinem CAS. Mit km statt Metern geht es, aber nur beim Beginn z.B. mit 0.01. Bei Beginn mit 1 km kommt ungefähr 3.986 10^9 heraus, was stark vom Zähler G M abhängt. Wie löst man das sinnvoll?
MfG
Lothar W.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Lothar,
woher weisst Du das ? Wir haben das Integral doch noch gar nicht berechnet.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
ich will noch bei der Bestimmung von M(r) helfen, ohne es dann aber auszuführen.
Statt der Masse betrachte ich nur das Volumen innerhalb des Radius r; aufgrund der Voraussetzung, dass die Masse homogen verteilt ist, kann man dann eine konstante Dichte ρ[sub]konstant[/sub] nutzen und die Formel ρ[sub]konstant[/sub] = m/V, also m=ρ[sub]konstant[/sub]*V nutzen.
Sei also r[sub]innen[/sub] ein beliebiger Abstand vom Erdmittelpunkt innerhalb der Erde. Wie gross ist das Volumen unter ihm ?
Nun: das Volumen unter ihm ist eine Kugel vom Radius r[sub]innen[/sub] und diese hat das Volumen V(r[sub]innen[/sub])=4/3*pi*(r[sub]innen[/sub])[sup]3[/sup].
Und wichtig ist: dies gilt für alle V(r[sub]innen[/sub]) !
Den Rest können nun Lothar und Dgoe einfach selber ausführen.
Freundliche Grüsse, Ralf
Nix CAS, das geht von Hand. Wie bereits mehrfach erwähnt geht es überhaupt nicht darum, Formeln irgendwo reinzuhacken und zu sehen, was rauskommt. Auch die Zahlenwerte kommen erst am Schluss. Es geht ums Verständnis.
Ralf hat schon mal vorgerechnet. Bevor du integrierst, wie lautet die Formel für a(r)?
Struktron
Registriertes Mitglied
Hallo Ralf,
MfG
Lothar W.
Doch, ich schon. Für M nehme ich die Homogenität an. So brauche ich nur G anstelle für m³ für km³ zu definieren. Wenn ich nicht falsch denke kommt da eine 10^9 mal größere Gravitationskonstante heraus. Wie gesagt, mit den Metern steigt mein CAS aus und beim Beginn mit Null auch. Zum Ergebnis muss ich noch überlegen, die Größenordnung 10^20 m²/s² kann mMn nicht stimmen. Weshalb mein CAS mit m und km durcheinander kommt, weiß ich nicht.
MfG
Lothar W.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
wir wollen hier nicht Zeit verlieren.
M(r) = ρ[sub]konstant[/sub] * V(r) = ρ[sub]konstant[/sub] * (4/3*pi*r[sup]3[/sup])
Also gilt:
M(r) = K * r[sup]3[/sup] mit K = 4/3*pi*ρ[sub]konstant[/sub], d.h. K nicht abhängig von r.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Lothar,
super. Kannst Du es uns noch bitte aufschreiben, damit ich es rasch überprüfen kann ?
Freundliche Grüsse, Ralf
Struktron
Registriertes Mitglied
Oh, jetzt sehe ich meinen Fehler, ich habe ja nicht über M(r) integriert. Das muss ich korrigieren, aber nicht sofort. Die Werte für ρ[sub]konstant[/sub] müssen noch gefunden werden.
MfG
Lothar W.
Nochmal: Finger weg vom CAS, und gar nicht erst integrieren, bevor du verstanden hast, was du tust. Der erste Schritt ist M(r), dann a(r). phi(r) kommt ganz am Schluss. Und Ralf möge bitte nicht alles vorkauen: wir brauchen das Resultat nicht möglichst bald, sondern Lothar soll verstehen, worum es da geht.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Lothar,
prima !
äh ... - es wird doch hoffentlich nicht so schwer sein, ein r[sup]3[/sup] durch ein r[sup]2[/sup] zu dividieren !
Das brauchen wir hier nicht, das kannst Du als gegeben voraussetzen oder in der Wikipedia nachschauen - das wird irgendwas um die 5 sein, bzw. 5000 in SI-Einheiten.
Freundliche Grüsse, Ralf