Gravitative Zeitdilatation und Masse-Zentren

[Dgoe]

In den Kommentaren bei Florian wird das ja recht kontrovers diskutiert.

 

[Ich]

na gut. Um vom Mittelpunkt einer Kugel homogener Dichte entlang eines winzigen Löchleins wegzukommen, dürfte der erste Abschnitt relativ leicht fallen und dann sukzessive schwerer werden, da nur die 'unter' einem zu liegen kommende Masse zählt, bzw. anzieht. Diese wird auf dem Weg nach oben jeweils mehr, bis ein Maximum auf der Oberfläche erreicht wird.

Andererseits hat man es insgesamt am Schwersten, wenn man am Mittelpunkt anfängt, um fort zu kommen. Das sehe ich schon ein, bzw. das ist mir auch klar.

Dann bring doch beides zusammen. Du hast eine Delle, an deren Boden das Krabbeln leicht fällt, während weiter außen die Wände immer steiler werden.

Bei mir ungefähr tau = 0.9999993, wenn ich die Nachkommastellen richtig gezählt habe.

Nein, hast du nicht.

Das Potential ist die Fallbeschleunigung 9.80665 m/s²

Im Artikel wird komplizierter gerechnet. Ist das erforderlich?

Ja, weil das Potential wie gesagt im homogenen Fall parabolisch ist. In anderen Worten: die Schwerebeschleunigung nimmt nach unten hin linear ab, im Mittel ist sie nur halb so groß wie an der Oberfläche. Mit der realistischen Masseverteilung gerechnet liegt man im Durchschnitt etwas näher an den 9,8 m/s², aber das ist beileibe kein Naturgesetz, sondern Zufall.

 

[ralfkannenberg]

Meine Rechnung ist einfacher: Das Potential ist die Fallbeschleunigung 9.80665 m/s²

Hallo Lothar,

die Rechnung ist nun zu einfach geworden. Die "Hauptlektion" dieses Threads lautet, dass das Potential nicht gleich der Fallbeschleunigung ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Struktron]

Hallo,

die Rechnung ist nun zu einfach geworden. Die "Hauptlektion" dieses Threads lautet, dass das Potential nicht gleich der Fallbeschleunigung ist.

Da würden ja schon die Einheiten nicht stimmen. Bei der Formel für die Zeitdilatation in Wikipedia steht übrigen der Faktor 2.

@Ich: Die Fallbeschleunigung am Pol ist mit 9.832 m/s² gemessen. Der Erdradius mit 6.356675 10^6 m. Die Formel aus Wikipedia wird damit:
\tau = tau_0 + sqrt(1-(2 g r_E)/c²). Damit ergeben sich meine 3.129 Jahre.
In Wikipedia steht:

In einem schwachen Gravitationsfeld wie dem der Erde kann die Gravitation und somit die Zeitdilatation näherungsweise durch das Newtonsche Gravitationspotential beschrieben werden

Muss man das durch eine Theorie mittels komplizierter Rechnung korrigieren? Falls am Kabel die Atomuhr hängt, sendet sie Photonen, deren Frequenz von uns an der Oberfläche mit unserer gleichartigen Uhr verglichen wird. Diese laufen durch das inhomogene Gravitationsfeld und sollten dabei dem gleichen Mechanismus (dem gleichen Schicksal) wie das Gravitationsfeld unterliegen?

MfG
Lothar W.

 

[ralfkannenberg]

Hallo Lothar !

Da würden ja schon die Einheiten nicht stimmen.

Seltsame Logik ... - wie kannst Du bei zwei verschiedenen physikalischen Grössen über einen Vergleich der Einheiten irgendwelche Aussagen gewinnen ?

In Wikipedia steht:

In einem schwachen Gravitationsfeld wie dem der Erde kann die Gravitation und somit die Zeitdilatation näherungsweise durch das Newtonsche Gravitationspotential beschrieben werden

Ich vermute, Du beziehst Dich auf diesen Artikel, Abschnitt "Zeitdilatation im Schwerefeld der Erde". Hast Du dabei auch berücksichtigt, dass die Höhe klein sein muss im Vergleich zum Erdradius ?


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Dann bring doch beides zusammen. Du hast eine Delle, an deren Boden das Krabbeln leicht fällt, während weiter außen die Wände immer steiler werden.

Hallo Ich,

dann wäre der Wendepunkt, wo das Krabbeln am Schwersten fällt, aber von wo aus das Krabbeln wieder langsam leichter wird, analog die Oberfläche und von dort weg...
Ja?

Gruß,
Dgoe

 

[Struktron]

Hallo Ralf,

Seltsame Logik ... - wie kannst Du bei zwei verschiedenen physikalischen Grössen über einen Vergleich der Einheiten irgendwelche Aussagen gewinnen ?

g hat m/s² und der Radius m, die werden durch c² geteilt.

Ich vermute, Du beziehst Dich auf diesen Artikel, Abschnitt "Zeitdilatation im Schwerefeld der Erde". Hast Du dabei auch berücksichtigt, dass die Höhe klein sein muss im Vergleich zum Erdradius ?

Da wird die äußere Zeitdilatation betrachtet, welche wir sogar experimentell überprüfen können.
Nach innen ist das schwieriger. Aber das Potential zum feldfreien Mittelpunkt sollte gerade das Negative von dem auf der Oberfläche sein.
MfG
Lothar W.

 

[Ich]

dann wäre der Wendepunkt, wo das Krabbeln am Schwersten fällt, aber von wo aus das Krabbeln wieder langsam leichter wird, analog die Oberfläche und von dort weg...

Genau. Bei einer homogenen Massenverteilung ist der Wendepunkt (also die höchste Schwerebeschleunigung) an der Erdoberfläche, in Wirklichkeit irgendwo im Mantel.

 

[ralfkannenberg]

der Wendepunkt (also die höchste Schwerebeschleunigung)

Hallo zusammen,

die Wortwahl ist ok: eine Beschleunigung ist eine zweite Ableitung und dort, wo diese eine Nullstelle (nicht wie zuerst geschrieben: "Extremum") hat, liegt ein Wendepunkt vor. Allerdings eines Weges und nicht einer Kraft.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Ich]

Bei der Formel für die Zeitdilatation in Wikipedia steht übrigen der Faktor 2.
@Ich: Die Fallbeschleunigung am Pol ist mit 9.832 m/s² gemessen. Der Erdradius mit 6.356675 10^6 m. Die Formel aus Wikipedia wird damit:
\tau = tau_0 + sqrt(1-(2 g r_E)/c²). Damit ergeben sich meine 3.129 Jahre.

Das ist wieder so ein Fall, wo man wissen sollte, was man tut.
Wie Ralf schon sagt, dieses g*h als Potential steht explizit als Näherung für kleines h drin. Wenn du das trotzem verwendest, kannst du beliebig falsch liegen, ein Faktor 2 ist da schnell weg.
Auf der anderen Seite verwendest du \tau = tau_0 * sqrt(1-(2 g r_E)/c²) [* statt +]. Diese Formel ist wiederum unnötig genau und kompliziert. Wenn man eh mit dem Newtonschen Potential rechnet, dann ist \phi/c²<<1, und du nimmst stattdessen die Reihenentwicklung her:
\tau = tau_0 * (1-\phi/c²) bzw. noch einfacher
\Delta \tau/\tau_0 = -\phi/c²

Nochmal: die Hauptschwierigkeit an der Physik ist nicht notwendigerweise, etwas in eine Formel einsetzen und ausrechnen zu können. Das A und O ist, dass man weiß, was man tut. Welchen Weg man wählt, welche Näherung man nehmen darf und sollte, und welche überhaupt nicht. So Sachen wie \phi<<1 gehören dazu, aber es dürfen auch keine solchen Hämmer passieren wie h<<r und dann h=r setzen.

 

[Ich]

die Wortwahl ist ok: eine Beschleunigung ist eine zweite Ableitung und dort, wo diese ein Extremum hat, liegt ein Wendepunkt vor. Allerdings eines Weges und nicht einer Kraft.

Die Beschleunigung ist die erste Ableitung des Potentials, und wo diese ein Extremum hat, hat das Potential einen Wendepunkt.

 

[ralfkannenberg]

Die Beschleunigung ist die erste Ableitung des Potentials, und wo diese ein Extremum hat, hat das Potential einen Wendepunkt.

Ja natürlich, was für ein hässlicher Lapsus von mir:

ein Wendepunkt ist dort, wo die erste Ableitung einer Funktion ein Extremum aufweist, also dort, wo die zweite Ableitung einer Funktion eine Nullstelle aufweist.



Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hast Du dabei auch berücksichtigt, dass die Höhe klein sein muss im Vergleich zum Erdradius ?

Lothar hat ja ein negative Höhe eingesetzt, somit geht sie auch nur bis zum Wert des Radius, nur ob das ok ist??

Dort steht:

Auf der Erde kann (solange die Höhe klein ist gegenüber dem Erdradius von ca. 6400 Kilometern) das Gravitationspotential durch phi = g*h angenähert werden.

(bold by me)
Ist es das, was Ich mit Zufall bei der Erde meinte!?

Hier steht übrigens auch sowas:

Ein konkretes Anwendungsbeispiel dieser Gleichungen veranschaulicht den Inhalt dieses Zusammenhangs noch einmal etwas deutlicher: Da die positive Richtung von Koordinatensystemen auf der Erdoberfläche stets senkrecht nach oben zeigt und einen Körper höher zu heben heißt, dass er damit auch mehr potentielle Energie bzw. ein höheres Potential erlangt, ist dieses Potential in der Höhe h über dem Erdboden mit g als Betrag der Erdbeschleunigung annähernd \Phi (h)= g \cdot h.
Betrachtet man das Schwerepotential des Erdschwerefeldes als annäherndes Zentralpotential (s. o.), also allein vom Abstand zum Erdmittelpunkt r bzw. von der Höhe h abhängig, lässt sich der Gradient von \Phi(h) auf den Differentialquotienten \mathrm{d}\Phi(h)/\mathrm{d}h reduzieren, und man erhält als Entsprechung der obigen Gleichungen die Beziehung:
\vec a(h) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h} \Phi(h)\cdot \vec e_r= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h} g \cdot h \cdot \vec e_r= \vec g mit \vec g = -g\vec e_r
Wie am Minuszeichen zu erkennen, ist die Richtung der Schwerebeschleunigung der positiven Richtung des Koordinatensystems annähernd entgegengesetzt, also wie erwartet in Richtung Erdmittelpunkt zeigend. Die aus dem Schwerepotential errechnete Beschleunigung ist in diesem Falle also gerade gleich der Erdbeschleunigung.

(die Formeln bitte dem Link entnehmen)

Gibt es eigentlich einen schnell nachvollziehbaren Grund, warum das Potential in den Einheiten m²/s² daherkommt, wie in Macs Link, genauer dort.
Das finde ich so nicht woanders bisher.
Edit: passt aber zur Höhe in m.

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Oops, ich war noch bei #65/66 - erst mal alles lesen...
Ich lese zuviele Links.....

 

[ralfkannenberg]

Gibt es eigentlich einen schnell nachvollziehbaren Grund, warum das Potential in den Einheiten m²/s² daherkommt, wie in Macs Link, genauer dort.
Das finde ich so nicht woanders bisher.

Hallo Dgoe,

ja, die Gravitationskonstante ist nicht dimensionslos, d.h. es gilt |G| = m[sup]3[/sup] / (kg * s[sup]2[/sup])


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Ich]

Ist es das, was Ich mit Zufall bei der Erde meinte!?

Ja. Falsche Formel, Ergebnis passt trotzdem ungefähr.

Gibt es eigentlich einen schnell nachvollziehbaren Grund, warum das Potential in den Einheiten m²/s² daherkommt, wie in Macs Link, genauer dort.
Das finde ich so nicht woanders bisher.

Gravitative Energie pro Masse, J/kg.

 

[Struktron]

Hallo "Ich",

Auf der anderen Seite verwendest du \tau = tau_0 * sqrt(1-(2 g r_E)/c²) [* statt +].

Natürlich habe ich das * anstelle + verwendet, nur hier falsch getippt.

Nochmal: die Hauptschwierigkeit an der Physik ist nicht notwendigerweise, etwas in eine Formel einsetzen und ausrechnen zu können. Das A und O ist, dass man weiß, was man tut. Welchen Weg man wählt, welche Näherung man nehmen darf und sollte, und welche überhaupt nicht. So Sachen wie \phi<<1 gehören dazu, aber es dürfen auch keine solchen Hämmer passieren wie h<<r und dann h=r setzen.

Frage ist jetzt aber, ob (12) in http://arxiv.org/pdf/1604.05507v1.pdf mit ihrem 2.49 Jahren recht haben? Haben Integrationsweg oder Inhomogenitäten Einfluss aufs Ergebnis oder reicht das gemessene Oberflächenpotential? Zumindest sollte mit den Rechnungen über eine angenommene Struktur im Erdinneren die Fallbeschleunigung auf der Oberfläche reproduziert werden können. Und wenn wir die haben, stellt sich die Frage, ob der Gangunterschied allein von der Frequenzänderung auf dem Weg vom Erdmittelpunkt kommt oder ob in diesem noch etwas anderes die Uhr beeinflusst?
MfG
Lothar W.

 

[Ich]

Frage ist jetzt aber, ob (12) in http://arxiv.org/pdf/1604.05507v1.pdf mit ihrem 2.49 Jahren recht haben? Haben Integrationsweg oder Inhomogenitäten Einfluss aufs Ergebnis oder reicht das gemessene Oberflächenpotential?

Das "Oberflächenpotential" von 9,8 m/s²? Ehrlich, ich hab' nicht den Eindruck, dass du weißt, wovon du sprichst. Du kannst doch nicht nach all den Diskussionen die lokale Fallbeschleunigung als Ursache für die Zeitdilatation ansehen. Oder doch?
Du brauchst den Potentialunterschied zwischen Oberfläche und Mittelpunkt. Und um den auszurechnen, muss man sauber integrieren, auch über Inhomogenitäten. Das wäre aber vollkommen offensichtlich, wenn du wüsstest, was ein Potential ist. Deswegen frage ich mich, ob da nicht ein viel grundlegenderes Missverständnis dahinter steckt.

Zumindest sollte mit den Rechnungen über eine angenommene Struktur im Erdinneren die Fallbeschleunigung auf der Oberfläche reproduziert werden können. Und wenn wir die haben, stellt sich die Frage, ob der Gangunterschied allein von der Frequenzänderung auf dem Weg vom Erdmittelpunkt kommt oder ob in diesem noch etwas anderes die Uhr beeinflusst?

Du brauchst die Fallbeschleunigung an der Oberfläche überhaupt nicht. Und die Frage, ob "der Gangunterschied allein von der Frequenzänderung" kommt ist recht sinnfrei. Das ist doch beides dasselbe.

 

[Dgoe]

Interessant:

Dann ist
G * (kg/m) = m²/s² = J/kg = N * (m²/kg²)

 

[Struktron]

Hallo "Ich"

Das "Oberflächenpotential" von 9,8 m/s²? Ehrlich, ich hab' nicht den Eindruck, dass du weißt, wovon du sprichst. Du kannst doch nicht nach all den Diskussionen die lokale Fallbeschleunigung als Ursache für die Zeitdilatation ansehen. Oder doch?

Natürlich nicht, haben wir doch lange genug darüber geschrieben und ich nirgends etwas anderes.
Aber ich sehe die Fallbeschleunigung mal Höhe so, als ob ich das auch vom Erdmittelpunkt aus betrachten kann, wo der gleiche Betrag mit umgekehrtem Vorzeichen herrscht. Würde ich dort den Uhrenverglich durchführen, würde das Gleiche heraus kommen, das Nachgehen der unteren Uhr. Wie wir das betrachten ist relativ egal. Die Vereinfachung auf eine Konzentration der Masse (alles was in den Eergie-Impuls-Tensor eingeht) auf diesen Punkt verändert meiner Meinung nach nichts daran, was 6 356 km entfernt gemessen wird. Und auch nicht, wenn wir beliebige Inhomogenitäten dazwischen annehmen. Falls etwas anderes stimmt, solltest Du (oer jemand anderes hier) es mal vorrechnen. Zwischenergebnis sollte die Fallbeschleunigung an der Oberfläche sein, die Uhrenabweichung käme danach.
MfG
Lothar W.