ralfkannenberg schrieb:Notation: Sei a ein Element der Menge M. Dann sei p(a;M) die Wahrscheinlichkeit, aus der Menge M das Element a auszuwählen.
Hilfssatz: Sei T eine echte nicht-leere Teilmenge einer Menge M.
Dann gilt: p(a;M) <= p(a;T)
Beweis: Für jedes a in T gilt auch a in M. Aber es könnte a in der Differenzmenge M\T sein. Dadurch "erhöht" sich die Anzahl der Möglichkeiten für p(a;M) = p(a;T U M\T), wodurch die umgekehrt proportionalen Wahrscheinlichkeiten nicht erhöhen werden können. Somit sind sie also kleiner oder gleich.
Satz: Für alle n in IN gilt: p(n;IN) = 0
Beweis: Sei p(n;IN) = z > 0. Wähle m in IN so, dass m > (1/z) + 1 gilt.
Betrachte nun die Menge T = {n in IN mit n <= m}. Dann gilt p(n;T) = 1/m < z/(z+1) < z = p(n;IN), also p(n;T) < p(n;IN), im Widerspruch zum Hilfssatz, dass p(n;IN) <= p(n;T), da T eine echte nicht-leere Teilmenge von IN ist.
Bemerkung: Der Beweis kommt ohne die Verwendung des Wortes "unendlich" aus.
Anmerkung: Vielleicht sieht ein anderer Diskussionsteilnehmer einen eleganteren Beweis des Hilfssatzes.
Falsch!
Du beweist lediglich, dass p(n;IN) nicht definiert ist.
p(n;IN) = 0 ergibt sich nicht, da es unzulässig ist, eine unendliche Menge durch endliche echte Teilmengen abzuschätzen. Ob das Wort "unendlich" in Deinem "Beweis" vorkommt ist egal, es steckt ja in IN drin. Allein dieser Hinweis "in meinem Beweis kommt das Wort unendlich nicht vor" ist schon sowas von unmathematisch, dass man nur den Kopf schütteln kann. Solche "Beweise" habe ich schon zu genüge geprüft und verworfen.
Nein, ich habe mit meiner Gegenfrage schon die Schwäche Deiner Methode aufgezeigt. Was Du braucht ist eine neue Maßtheorie für Mengen mit unendlich vielen Elementen. Mit dieser neuen Maßtheorie kann man dann eine Wahrscheinlichkeitsrechnung in Angriff nehmen. Die bisherige Definition ist unzureichend.