"Viele-Welten-Deutung"

[Dgoe]

Ein Hilbertraum muss auch noch vollständig sein, d.h. jede Cauchy-Folge muss konvergieren. In der Wikipedia hat man diese Zusatzbedingung in der Wortwahl "ein Vektorraum über IR oder IC" versteckt.

Hallo Ralf,

das Wörtchen 'vollständig' taucht dort im kommenden Nebensatz auch noch auf, etwas versteckt durch Einschübe... Habe es wohl zu sehr gekürzt.

Mein Satzbau war wohl zudem etwas unglücklich, besser wäre gewesen (inkl. Ergänzung):


Ein Hilbertraum ist:

1. ein Vektorraum,

2. eine Verallgemeinerung des euklidischen Raums auf unendlich viele Dimensionen (bzw. endliche viele?*)

und 3. ein Banachraum, dessen Norm und Metrik durch ein Skalarprodukt induziert und diesbezüglich vollständig ist.


Das habe ich mir natürlich nicht selber zusammengereimt, ist eher ein Patchwork aus meinen Quellen hier:
http://www.mathepedia.de/Hilbertraum.aspx
http://de.m.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum

*: @Bernhard: von endlich dimensionalen Hilberträumen meinte ich auch gelesen zu haben, aber bei Mathepedia steht es so, wie zitiert, in dem ersten Satz schon.

Außerdem steht da auch eine kurze Definition:

Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt Hilbertraum.

was das Problem nur etwas verlagert sozusagen. Überhaupt schwebte mir die ganze Zeit schon eine Gegenfrage vor: Was ist ein Raum?

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

ist eher ein Pathwork

Hallo Dgoe,

Du meinst, ein patchwork.

Wie auch immer - in einem Astronomieforum genügt es, dass ein Hilbertraum ein unendlich dimensionaler Vektorraum über IR oder IC ist, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist.

Überhaupt schwebte mir die ganze Zeit schon eine Gegenfrage vor: Was ist ein Raum?

Tja, wie ist der "Raum" denn in der Mathematik definiert ?

Ich will Dich nicht Rätsel raten lassen, er ist gar nicht definiert. Diese Frage stellt sich einfach nicht.

Natürlich ist der Begriff des "Vektorraums" motiviert vom historischen Raumbegriff und dann eben streng formal definiert worden. Natürlich sind dann Ebenen und Geraden ebenfalls Räume, nämlich zweidimensional und eindimensional. Die übrigen Räume wie Matrizenräume, Funktionenräume, Banachräume, Hilberträume, metrische Räume, normierte Räume, Dualräume und was auch immer es sonst noch gibt sind dann einfach Weiterführungen dieser bestehenden Begriffsbildung.

Du hast also letztlich irgendwelche Elemente - diese Elemente sind oftmals eben auch Abbildungen - die gewisse Struktureigenschaften haben (Gruppe, Ring, Körper), eine Vielfachenbildung zulassen (das ist die Menge, die nach dem "über" kommt, also "über IR oder IC", allgemeiner über einem (Vielfachen-)Körper) und auf denen ein inneres Produkt definiert werden können (z.B. Skalarprodukt), aus dem sich Abstandsbildungen, Winkel und Normen ergeben können. Je nachdem, wie der Vielfachenkörper beschaffen ist sind auch noch Voraussetzungen über die Vollständigkeit nötig, also dass alle Grenzwerte von schön konvergierenden Folgen ("Cauchy-Folgen") ebenfalls in der Menge liegen. Vielleicht habe ich nun noch irgendetwas vergessen.

Eine ganz nette Zusammenstellung findest Du hier.


Wenn man statt eines Vielfachenkörpers nur einen Vielfachenring betrachtet, so landet man statt beim Vektorraum beim "Modul", das lässt dann noch viel allgemeinere und entsprechend reichere Strukturen zu. Der Herr van der Waerden hat sich in seinen 3 Bänden zur Algebra ziemlich ausführlich dazu geäussert und an sich ist es bedauerlich, dass man heutzutage im Studium keine Zeit mehr für sowas hat.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Du meinst, ein patchwork.

Yep. Kleiner Tippfehler, mir gar nicht aufgefallen, selbst auf Deinen Hinweis hin, dachte ich zuerst, ja, hab ich doch geschrieben... (oben korrigiert, vielen Dank).

Danke auch für die Hintergründe und den Link, hochinteressant das Ganze.

Ich hatte aber auch einige Mühe mich von den Kaskaden unbekannter oder wenig vertrauter Begriffe nicht irritieren oder entmutigen zu lassen. Ist im Prinzip immer noch so, wie ein Sprung ins tiefe kalte Wasser, obwohl man kaum Schwimmen kann. Ist aber schon besser als gestern.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Ich hatte aber auch einige Mühe mich von den Kaskaden unbekannter oder wenig vertrauter Begriffe nicht irritieren oder entmutigen zu lassen. Ist im Prinzip immer noch so, wie ein Sprung ins tiefe kalte Wasser, obwohl man kaum Schwimmen kann. Ist aber schon besser als gestern.

Hallo Dgoe,

mach Dir nichts draus, auch für die meisten Mathematiker ein Banachraum so ein Sch**-Ding, mit dem die Studenten in der Funktionalanalysis gequält werden.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

der Impuls ist definiert zu p = m * v / sqrt(1 - v²/c²).

m: Masse des Teilchens/Körpers in kg
v: Geschwindigkeit in m/s
c: Lichtgeschwindigkeit in m/s

Die heisenbergsche Unschärferelation (HU) kann man verkürzt schreiben als \( \Delta p \Delta x \geq \hbar \).

\( \Delta x\) ist gegeben als 2cm = 0,02 m. Daraus kann man dann die Unschärfe im Impuls \( \Delta x\) und daraus dann die Unschärfe in der Geschwindigkeit \( \Delta v\) ausrechnen.

ok, also ein Wasserstoffatom bei 1 m/s.

p = ((1,008*1.66053892e-27) kg * 1 m/s) / sqrt(1 - ((1 m/s)²/(299792458 m/s)²))

Edit
nicht wahr? Alles eingesetzt halt, noch ohne Rechnung.
Die kommt jetzt (gleich irgendwann)...



Gruß,
Dgoe

 

[Bernhard]

p = ((1,008*1.66053892e-27) kg * 1 m/s) / sqrt(1 - ((1 m/s)²/(299792458 m/s)²))

Hallo Dgoe,

das passt soweit und diese erste Übungsaufgabe war eigentlich auch eher gedacht, um zu sehen, ob Du die Formel für den Impuls kennst. Ich habe die Formel dann später aber selbst angegeben und damit die Aufgabe eigentlich auch schon wieder aufgelöst, um im Thema voranzukommen. Sorry. Aber machen wir doch einfach dann ab hier weiter:

Du kannst bei der Berechnung des Impulses den relativistischen Gamma-Faktor (Die "eklige" Wurzel im Nenner) vernachlässigen und kannst dann das Ergebnis praktisch sofort ablesen. Die physikalische Einheit des Impulses muss nicht weiter vereinfacht werden und kann als kg * m/s angegeben werden.

OK?
MfG

 

[Dgoe]

Hier das Ergebnis.
(edit
das spuckt aber was anderes aus, als ich gesehen habe. Hatte die URL kopiert)

Joah - und das wars dann auch. Ein Brief mit 7 Siegeln...

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Ach Bernhard,

wenn Du wüsstest wie wenig ich weiß.
Ich habe gerade so einen Tiefpunkt obendrein.

 

[Dgoe]

Das hier
((1,008*1.66053892e-27)*kg*1*m/s)/sqrt(1-((1*m/s)²/(299792458*m/s)²))

Habe ich bei Wolfram alpha eigegeben. Selber machen bitte, weiss nicht wie man das sonst referenzieren kann.

Kg*m/s kommt da tatsächlich raus. Ein Lichtblick

Gruß,
Dgoe

 

[Bernhard]

Ich habe gerade so einen Tiefpunkt obendrein.

Hallo Dgoe,

die Winterzeit hat mich früher auch immer ganz schön runtergezogen. Ich schlucke dieses Jahr deswegen das erste Mal Vitamin-D-Präparate und die helfen, glaube ich, auch ganz gut. Das Forum hier ist zudem/manchmal auch ein ziemliches "Haifisch-Becken", weil mit Tom, Ralf und eigentlich auch mit mir ziemlich ehrgeizige und aktive Teilnehmer da sind, die immer wieder auch die eigenen Grenzen ausloten, was für Anfänger dann vermutlich eher frustrierend wirkt. Lass Dich davon aber bitte nicht unterkriegen.

Die ersten Semester im Studium sind natürlich die anstrengensten, weil man sich da noch mit der breiten Masse messen muss. Ganz wichtig ist es da nicht den Kopf zu verlieren, sondern intensiv auf die eigene innere Stimme zu hören und immer wieder an sich zu arbeiten und sich selbst teilweise auch zu motivieren. Ich wünsche Dir dabei viel Erfolg .
MfG

 

[Bernhard]

Das hier
((1,008*1.66053892e-27)*kg*1*m/s)/sqrt(1-((1*m/s)²/(299792458*m/s)²))

ist ungefähr gleich (1,008*1.66053892e-27)*kg*1*m/s) .Die Wurzel (sqrt) habe ich benutzt, um etwaige "Zwischenrufe" von "außen" gleich vorweg abzublocken.

Habe ich bei Wolfram alpha eigegeben.

Ich habe gerade gesehen, dass Wolfram alpha das Komma als Tausenderstelle interpretiert und damit das Ergebnis verfälscht.

Ein Lichtblick

Sehr gut. Das wird schon.

 

[ralfkannenberg]

der Impuls ist definiert zu p = m * v / sqrt(1 - v²/c²).

m: Masse des Teilchens/Körpers in kg
v: Geschwindigkeit in m/s
c: Lichtgeschwindigkeit in m/s

Hallo Bernhard,

das ist natürlich alles richtig, dennoch bin ich nicht glücklich, wenn Du sowas schreibst.

In der klassischen Mechanik ist der Impuls nämlich einfacher definiert, da ist er einfach p = m*v, wobei der Unterstrich einen Vektor andeuten soll.

Nun haben wir das "Problem", dass gemäss der Relativitätstheorie v nicht beliebig anwachsen kann, sondern durch die Lichtgeschwindigkeit c begrenzt ist.

Und das hat zur Folge, dass für grosse Geschwindigkeiten die Längen "gestaucht" und die Zeit "gestreckt" werden; ebenso wird auch der Impuls "gestreckt" - wenig überraschend alles um denselben Faktor, nämlich den Lorentzfaktor.

Deswegen taucht da dieser zusätzliche Faktor sqrt(1 - v²/c²) auf, der mal im Zähler und mal im Nenner steht. Vorsicht noch: der Lorentzfaktor gamma, das da in der Literatur und der Wikipedia steht, ist der der Kehrwert, also gamma = 1/sqrt(1 - v²/c²), aber das ist nur ein Detail am Rande.


Deswegen ist der Impuls nicht wie klassisch angegeben und vom Verständnis her sinnvoll p=m*v, sondern eben mit Lorenzfaktor, also p=m*gamma*v.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

was für Anfänger dann vermutlich eher frustrierend wirkt. Lass Dich davon aber bitte nicht unterkriegen.

Hallo Bernhard,

deswegen ist es mir auch ein Anliegen, das ganze möglichst ohne Formeln und nur von der Idee her zu beleuchten, deswegen auch mein Exkurs über die Hilberträume und dass das alles letztlich nur darauf beruht, dass man eben die Mengen vom "Typ 4" (überabzählbar unendlich) durch Mengen vom "Typ 3" (abzählbar unendlich) zu beschreiben, hierfür aber komplizierte Formalismen erforderlich sind, die zwar pedantisch erarbeitet werden müssen, den Laien aber gar nicht beschäftigen brauchen - es genügt völlig, dass der Laie weiss, dass solche Formalismen benötigt werden und dass es Leute gibt, die Spass daran haben, sie herzuleiten. Leutem die dafür keinerlei Spass daran haben, sich überlegen zu müssen, in welchem Kontext man welches Modell anzuwenden hat; das ist dann Aufgabe und auch Kompetenz der Physiker - für die Mathematiker sind diese Modelle alle gleichwertig, auch die, wie Tom sie genannt hat, pathologischen.

Ja oftmals sind es sogar gerade die pathologischen, die eine ganz besonders interessante Struktur aufweisen, deren Anwendung in der Natur aber völlig absurd wäre.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

deswegen ist es mir auch ein Anliegen, das ganze möglichst ohne Formeln und nur von der Idee her zu beleuchten

Hallo Ralf,

Dgoe hat mal geäußert ein paar Semester Physik studieren zu wollen und da wird noch sehr, sehr viel mehr gerechnet, wie momentan hier. Und man hat da normalerweise auch keine Zeit sich die Ideen bis in die letzten Details zu überlegen. Bei uns haben über Wohl und Wehe alleine Übungsblätter entschieden und die mussten mit Rechnungen gefüllt werden.
Was soll ich also zu dem Zitat schreiben? Sollen wir ein zusätzliches Thema aufmachen, in dem auch gerechnet werden darf?
MfG

 

[ralfkannenberg]

Was soll ich also zu dem Zitat schreiben? Sollen wir ein zusätzliches Thema aufmachen, in dem auch gerechnet werden darf?

Hallo Bernhard,

nein: zusätzlich. Also erst mal die Idee, d.h. ohne Formel; dann an einem wirklich trivialen Beispiel und dann anhand einer wie von Dir vorgeschlagenen Rechnung.

Ich denke, das wäre für einen User mit Dgoe's Kenntnisstand ideal.

Und dann kann man noch ein bisschen "spielen", indem man z.B. die Geschwindigkeit verdoppelt oder delta_x halbiert, um ein Gefühl für die Rechnung zu bekommen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Also erst mal die Idee, d.h. ohne Formel

Hallo Ralf,

ich fürchte, dass ich darauf momentan kein Lust habe.
MfG

 

[Dgoe]

Die ersten Semester im Studium sind natürlich die anstrengensten

Hallo Bernhard,

ähm, das mit dem Studium ist erst mal in weite Ferne gerückt. Umzug, Sanierung statt Renovierung und berufliche Herausforderungen lassen kaum Zeit übrig zur Zeit. Mehr als hier her kommen und etwas Lesen ist nicht drin. Will mich 1-2 Jahre oder so vorbereiten und dann das teure britische oder das günstigere südafrikanische Fernstudiumangebot online wahrnehmen, Physik. Mein Englisch ist okay, passt schon.
Hab ohne Ende Bücher schon, die meisten digital. Also echt viele von den ganzen über 1000-Seiten-Brummern, reichen gefühlt weit über mein Lebensende hinaus. Mir dürfte wohl nie langweilig werden, hab die alle aufm note4. Statt die zu lesen, schaue ich allerdings immer hier rein....

Es wird sowieso mehr ein Hobby bleiben, wenn auch noch so superinteressiert, ich liebe meinen Beruf. Ich brauche keinen Wisch von einer Uni, ich möchte aus Interesse studieren, um - zu Lebzeiten noch - das alles viel besser kennenlernen zu können. Geht ja nur so, autodidaktisch nur hilfsweise, bestenfalls.

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

+
Ihr seid mir in vielerlei Hinsicht aber eine sehr große Hilfe schon gewesen. Ich hoffe immer, da öffentlich, dass auch Mitleser auf ähnlichem Niveau davon etwas haben.

 

[ralfkannenberg]

ich fürchte, dass ich darauf momentan kein Lust habe.

Hallo Bernhard,

das heisst ja nicht, dass Du das machen musst, aber ich denke, es bringt didaktisch mehr, wenn man jemandem erst einmal erklärt, um was es geht und auch ein bisschen die Hintergründe aufzeigt und dann mit dem "harten" Rechnen beginnt.

Sonst passiert es wie dem Bekannten eines Freundes von mir, der in der Schule mit Hilfe von Sinus und Cosinus die Höhe eines Baumes berechnen musste und das alles in irgendwelche Formeln eingesetzt hat und aufatmend seine Rechnung abgegeben hat, aber eben nicht hinterfragt hat, ob das Ergebnis, dass der Baum 10 km hoch ist, irgendwie falsch sein könnte.

Auch ich würde so jemandem brutal 0 Punkte geben. Aber wenn er dann schreibt, dass das Ergebnis nicht stimmen kann, und wenn auch sein Ansatz richtig ist, so bekommt er mindestens die Hälfte der Punkte, und je nachdem, wie gut er den gewählten Ansatz begründet und wie trivial der Rechenfehler war, auch alle Punkte, da will man dann, um Professor Scarpellini von der Universität Basel zu zitieren, nicht pedantisch sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hi,

Hab die neuen Beiträge gerade erst gelesen. Ich persönlich finde beides prima und sich ergänzend.

Ralf hat immer wieder das Zeug einen zu beruhigen, dass alle nur mit Wasser kochen und kann super erklären, mit einer Engelsgeduld. Danke an dieser Stelle nochmals dafür.

Bernhard kann einen auch ganz toll an die Hand nehmen, ohne 'aber'! Ich fand es immer super auch mal eine Rechnung, die weit jenseits meines Niveau liegt, angehen zu dürfen, zumal, wenn man darauf eh mal Lust hätte. Beispielsweise bei dem Thread Gravitations-Veranschaulichungen...

Das waren steile Lernkurven, die ich nicht mehr missen wollte, und klappte recht gut, ich war stolz wie Oscar. Auch die Grundlagen mit Ralf dann im Anschluss, obwohl ich da manchmal auf dem Schlauch stand. Egal.

Man kann nicht durch ein Forum alles nachholen oder richtig durchstarten, egal wie gut die Tutoren. Aber für die Motivation und Hilfe zum Einstieg ist es Gold wert. Das Format Forum geht dafür nicht so wirklich. Zuviel Tipperei, ja, bei 'nem Online-Studium natürlich auch, aber weniger persönlich dann (leider), dafür aber mit ausgefeilten tools und mit einem stringenteren Konzept.

Für Einblicke hinter die Kulissen jedoch unersetzbar ein Forum, wie ich es hier erleben durfte - und phänomenal um echte Gelehrten persönlich zu sprechen, abseits einer Uni oder so.

So, pause. Dingdong.

Gruß,
Dgoe