Gravitations-Veranschaulichungen und ein bisschen Mathematik

[ralfkannenberg]

Du unterschätzt meine Begriffsstutzigkeit, ich weiß nicht, was da anstelle der Fragezeichen hinkommt

Hallo Dgoe,

das macht ja nichts, dafür ist dieser Thread ja da.

Gehen wir von oben nach unten durch - ich denke, diese Liste lohnt sich, auch wenn sie an sich ziemlich einfach ist.

Also: Fall 1 haben wir uns hier angeschaut; beachte auch das Fettgedruckte in diesem Beitrag. Da dürften schon zwei Fragezeichen weggehen.

Im Übrigen werde ich auch noch eine Funktion G(t) definieren, aber die ist einfacher als F(t) und das machen wir etwas später.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Ok, dann lass das bitte so stehen, denn ich kann erst später abends und morgen früh weitermachen...

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = ?
v(t) ≡ 0
s(t) = ?
F(t) = ?

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = ?
v(t) = s/t
s(t) = ?
F(t) = ?

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = ?
v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t
s(t) = ?
F(t) = ?

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = ?
v(t) ≡ 0
s(t) = ?
F(t) = 0

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 1
v(t) = s/t
s(t) = ?
F(t) = s
Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = ?
v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t
s(t) = ?
F(t) = 1/2*a*t²

Ja, ich hab nur abgeschrieben aus dem Thread. Es gibt noch Dinge, die ich irritierend finde. Wie s(t)!? Was soll das heißen? eine Funktion? Abhängig von t? Warum nicht nur s? Diverse Notationen verwirren mich eh permanent.

Dann noch, dass man (also ich) gerne vergisst, dass mit F die Fläche gemeint war, so beispielsweise, als ich die Liste das erste mal sah, dachte ich an F wie Funktion, warum auch immer... Nur als Beispiel.

Dann noch, dass ich mir nie sicher bin, welche Variante Du meinst, bezüglich der y-Achse, meine oder Deine. Also v oder s. Ich gehe davon aus, dass Du immer Deine, v, meinst. Vollständiger und damit weniger verwirrend, hätte ich eine diesbezügliche Liste empfunden. Andererseits schreibst Du ja schon drüber was gemeint ist, nur eben mathematisch abstrakt, zum drüber rätseln.

- Was auch Spaß macht und durchaus auch immer wieder einen Lerneffekt verbirgt oder beinhaltet. Wenn auch manchmal erst später, nach einer Auflösung.

Damit will ich nur zu Protokoll geben, was mich umtreibt, ist keineswegs als Kritik zu verstehen, nur ein offener Einblick in die Gedankengänge.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Wie s(t)!? Was soll das heißen? eine Funktion? Abhängig von t? Warum nicht nur s? Diverse Notationen verwirren mich eh permanent.

Hallo Dgoe,

zumindest ich habe mich die ganze Zeit an dieselben Konventionen gehalten, sieht man mal von einem Index 0 oder dem ist-konstant-gleich-Zeichen ≡ ab.

Also:
- t ist die vergangene Zeit
- a(t) ist die Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit
- v(t) ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit
- s(t) ist die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit
- F(t) ist die Fläche der Kurve unter der Geschwindigkeitskurve v(t), also im v-t-Diagramm
- G(t) ist die Fläche der Kurve unter der Beschleunigungskurve a(t), also im a-t-Diagramm; das haben wir uns aber noch nicht angeschaut.

Wir haben nun drei Typen Geschwindigkeitsfunktionen betrachtet:
- Nullfunktion heisst, dass jeder Funktionswert den Wert 0 hat; wenn also v(t) ≡ 0 ist, so hat die Geschwindigkeit zu jeden Zeitpunkt den Wert 0
- konstante Funktion heisst, dass v(t) = v[sub]0[/sub], auch dies unabhängig vom Zeitpunkt t
- lineare Funktion heisst, dass v(t) = a[sub]0[/sub] * t, d.h. die Geschwindigkeit wächst in der Zeit mit dem - nota bene konstanten - Proportionalitätsfaktor a[sub]0[/sub]

Dann noch, dass man (also ich) gerne vergisst, dass mit F die Fläche gemeint war, so beispielsweise, als ich die Liste das erste mal sah, dachte ich an F wie Funktion, warum auch immer... Nur als Beispiel.

Funktionen werden aber mit kleinem f geschrieben. Tatsächlich ist das F kein Zufall, denn mit F bezeichnet man per Konvention die Stammfunktion, also das Integral einer Funktion. Wir haben schon früher gesehen, dass dieses Integral tatsächlich die Fläche unter der Kurve ist, sofern diese Kurve stetig ist, wobei die Stetigkeit ein etwas zu strenges Kriterium ist.

Dann noch, dass ich mir nie sicher bin, welche Variante Du meinst, bezüglich der y-Achse, meine oder Deine. Also v oder s. Ich gehe davon aus, dass Du immer Deine, v, meinst.

Meine

In diesem Fall stimmt das übrigens nicht, da ich in der Regel angebe, welche Funktion ich meine, also s(t) oder v(t) oder a(t) oder F(t) oder dann später noch G(t). Letztere wird aber einfacher als F(t) sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

wir sollten hier nicht herumraten, sondern wirklich fundiert überlegen, was was ist, auch wenn Du mit einer Ausnahme richtig geraten hast.

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = ?
v(t) ≡ 0
s(t) = ?
F(t) = 0

Das ist alles richtig.

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 1
v(t) = s/t
s(t) = ?
F(t) = s

Wieviel beschleunigst oder bremst Du, wenn Du mit konstanter Geschwindigkeit (z.B. per Tempomat) auf der Autobahn fährst ? Ist das wirklich 1 m/s² ?

F(t) = s ist richtig.

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = ?
v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t
s(t) = ?
F(t) = 1/2*a*t²

Auch das ist alles richtig.

Ja, ich hab nur abgeschrieben aus dem Thread.

Es möge bitte nicht als Arroganz empfunden werden, aber ich merke es schon, wenn Du ohne Sinn und Verstand abschreibst und werde dann dazu weitere Fragen zum besseren Verständnis stellen.

Aber wie schon gesagt: ich möchte Fall um Fall durchgehen und nicht alles miteinander lösen. Es hat gute Gründe, dass ich diese 3 Fälle aufgeteilt habe.


Deswegen wollen wir im Fall 1 beginnen und da die fehlenden Werte eintragen.

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = ?
v(t) ≡ 0
s(t) = ?
F(t) = 0

Ein Stein steht still, er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v(t) ≡ 0.

Wieviel beschleunigt oder bremst dieser Stein ? Und um wieviel Meter bewegt er sich vorwärts ?


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ich habe genau nie geraten, höchstens abgeschrieben aus Deinen Angaben in zurückliegenden Beiträgen. Wenn ich geraten hätte, dann hätte ich bei der Nullfunktion einfach überall Null hingeschrieben, ohne Bedenken. Ich habe all jenes offen gelassen, was mir nicht ganz klar war, beiderseitig des Gleichheitszeichens.

Das ist jetzt natürlich nicht meine volle Antwort (auf oben kommt noch), aber schon mal ganz wichtig, Laie heißt nicht Vollidiot.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

ich habe genau nie geraten, höchstens abgeschrieben aus Deinen Angaben in zurückliegenden Beiträgen. Wenn ich geraten hätte, dann hätte ich bei der Nullfunktion einfach überall Null hingeschrieben, ohne Bedenken. Ich habe all jenes offen gelassen, was mir nicht ganz klar war, beiderseitig des Gleichheitszeichens.

Hallo Dgoe,

geraten hast Du im Fall 2 bei a(t), auch wenn Du mit dem confused-Smiley gleich selber Deine Zweifel angebracht hast.

Nur: wie Du da auf die Zahl 1 kommst, erschliesst sich mir wirklich nicht - einen solchen Fall, dass eine Funktion konstant den Wert 1 annimmt, hatten wir bei der gesamten Thematik noch nicht, d.h. das kannst Du nirgendwo abgeschrieben haben. Und wirklich begründen kann man das m.E. auch nicht. Folglich hat man sich von der Intuition treiben lassen.

Zu raten ist übrigens keineswegs der schlechteste Ansatz: die üblichen Aufgaben, dass man so in den Zeitungen liest, im Fernsehen sieht oder in der Schule bekommt, z.B. 2 Autos, die irgendwann irgendwo losfahren und sich dann irgendwie treffen, kann man tatsächlich am schnellsten durch Raten lösen. Das war mir bis vor vielen Jahren nicht bewusst: früher war meine Mutter bei solchen Aufgaben immer mit Abstand die schnellste, während mein Vater und ich da wie wild herumgerechnet haben und sich dann meist irgendwo banal verrechnet haben.

Der Grund ist ganz einfach: solche Aufgaben haben in der Regel einfache Lösungen. Einfache Lösungen heisst "ganzzahlige" Lösungen, in der Praxis natürlichzahlige Lösungen. Und ganzzahlige Lösungen sind üblicherweise sehr dünn gestreut, d.h. wenn man ein gewisses Gefühl für die Lösung hat und dann die nächstgelegene natürliche Zahl wählt, so hat man in 99% der Fälle die Lösung.

Raten hat übrigens noch einen Vorteil: man überlegt sich nämlich ganz unwillkürlich auch die Grössenordnung, macht also eine Vorplausibilisierung. Wer das tut, dem passiert nicht der Fehler so manchen Schülers, der da mit einer Sinus- oder Cosinus-Aufgabe konfrontiert schliesslich aufatmend berechnet hat, dass der Baum vor der Haustüre 10 Kilometer hoch ist ...

Was ich sagen will: ebenso wie die Macht des Zufalls soll man die Macht des Ratens nicht unterschätzen, sondern vielmehr nutzen. Das sind nämlich ganz spannende Methodiken


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

die 1 war Nonsens, ich hatte an eine konstante Geschwindigkeit gedacht.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

die 1 war Nonsens, ich hatte an eine konstante Geschwindigkeit gedacht.

Hallo Dgoe,

wenn Dir dieser Fehler passiert, dann kannst Du davon ausgehen, dass 90% der Foren-User (stille Mitleser mitgezählt) dieser Fehler auch passiert.

Und ein Fehler, der 90% der Foren-User passiert, ist kein "Nonsense", sondern gibt Anlass, sich das näher anzuschauen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

danke für die vermittelnden Worte, ich komme mir manchmal nur selber etwas blöd vor, ehrlich gesagt - und das kollidiert dann mit meinem Stolz, das ist schon alles.

Wieviel beschleunigst oder bremst Du, wenn Du mit konstanter Geschwindigkeit (z.B. per Tempomat) auf der Autobahn fährst ?

Natürlich gar nicht. Ich hatte an 1 gedacht, weil mit 1 multipliziert sich nichts verändert, während 0 oder alles ungleich 1 die Geschwindigkeit verändert. Am Besten nicht weiter drüber nachdenken ... war einfach falsch an dieser Stelle.

Ein Stein steht still, er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v(t) ≡ 0.

Wieviel beschleunigt oder bremst dieser Stein ? Und um wieviel Meter bewegt er sich vorwärts ?

Null.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Ich hatte an 1 gedacht, weil mit 1 multipliziert sich nichts verändert, während 0 oder alles ungleich 1 die Geschwindigkeit verändert. Am Besten nicht weiter drüber nachdenken ... war einfach falsch an dieser Stelle.

Hallo Dgoe,

ganz im Gegenteil, denn hier hast Du etwas ganz interessantes bemerkt: du hast algebraisch gedacht, aber nicht analytisch.

Das kann damit zusammenhängen, dass ich Dir primär algebraische Inhalte vermittelt habe und da ist natürlich neben der 0 die 1 das Neutralelement.

In der Analysis kann der 1 eine Sonderrolle zukommen, z.B. bei der Euler'schem Formel und den Einheitswurzeln, aber Du siehst schon - mit den Einheitswurzeln bist Du wieder in der Algebra gelandet.

In der Analysis indes steht die 1 für "Zahl" - da gibt es ja wie in der Physik an sich nur 3 Zahlen, nämlich "0", "1" und "oo". Die 1 ist also die Zahl, die nicht 0 oder oo ist, und mit ein bisschen Herumskalieren bekommt man das meistens hin, dass diese Zahl tatsächlich den Wert 1 annimmt. Natürlich beschreibt das nicht den Wert der Zahl, aber doch ihren Charakter.



Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Ein Stein steht still, er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v(t) ≡ 0.

Wieviel beschleunigt oder bremst dieser Stein ? Und um wieviel Meter bewegt er sich vorwärts ?

Null.

Hallo Dgoe,

sehr gut. Und was bedeutet das hierfür:

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = ?
v(t) ≡ 0
s(t) = ?
F(t) = 0


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = 0
v(t) ≡ 0
s(t) = 0
F(t) = 0

Das hatte ich zuvor offen gelassen, weil manche Werte ja beliebig sein können, wenn sie eh mit 0 multipliziert werden. Am Besten auch nicht weiter drüber nachdenken ...

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = 0
v(t) ≡ 0
s(t) = 0
F(t) = 0

Hallo Dgoe,

das ist korrekt.

Das hatte ich zuvor offen gelassen, weil manche Werte ja beliebig sein können, wenn sie eh mit 0 multipliziert werden. Am Besten auch nicht weiter drüber nachdenken ...

ok, ich hatte stillschweigend vorausgesetzt, dass wir zum Zeitpunkt t=oo nicht mehr unterwegs sind ..., d.h. t stets endlich ist. - Wobei das so nicht ganz korrekt ist, ich hatte einfach vorausgesetzt, dass t eine reelle Zahl ist. Und jede reelle Zahl ist endlich.

Prima, dann schauen wir uns nun den Fall 2 an:

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = ?
v(t) = s/t
s(t) = ?
F(t) = s


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

zumindest ich habe mich die ganze Zeit an dieselben Konventionen gehalten

Hallo Ralf,

das stimmt, dafür bin ich Dir auch sehr dankbar.

Prima, dann schauen wir uns nun den Fall 2 an:

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 0
v(t) = s/t
s(t) = v[SUB]0[/SUB] * t
F(t) = s



Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

und

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = v[SUB]0[/SUB] / t
v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t
s(t) = 1/2 * a[SUB]0[/SUB] * t
F(t) = 1/2 * a[SUB]0[/SUB] * t

Gruß,
Dgoe

 

[Bernhard]

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 0
v(t) = s/t
s(t) = v[SUB]0[/SUB] * t
F(t) = s

Hallo Dgoe,

ein Tipp zu den Formalitäten:

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 0
v(t) = v[SUB]0[/SUB]
s(t) = v[SUB]0[/SUB] * t
F(t) = s(t) oder noch besser: v[SUB]0[/SUB] * t

gefällt den Physikern besser, weil man da schneller sieht, was konstant ist und wo man variable Funktionen hat. Wenn man Abhängigkeiten von einer Variablen wie z.B. t hat, sollte man das normalerweise immer kennzeichnen, also z.B. a(t), v(t), usw.

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = v[SUB]0[/SUB] / t
v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t
s(t) = 1/2 * a[SUB]0[/SUB] * t
F(t) = 1/2 * a[SUB]0[/SUB] * t

schau Dir nochmal s(t) genau an. Das kann so schon wegen der Einheiten nicht stimmen und F(t) hast Du doch nur abgeschrieben, weil da genau der gleiche Fehler drinnen steckt?
MfG

 

[Dgoe]

Ok, thx

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 0
v(t) = s/t
s(t) = v[SUB]0[/SUB] * t
F(t) = s(t) = v[SUB]0[/SUB] * t

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = v[SUB]0[/SUB] / t
v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t
s(t) = 1/2 * a[SUB]0[/SUB] * t²
F(t) = s(t) = 1/2 * a[SUB]0[/SUB] * t²

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Als Übersicht:

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = 0
v(t) ≡ 0
s(t) = 0
F(t) = 0

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[SUB]0[/SUB]
a(t) = 0
v(t) = s/t
s(t) = v[SUB]0[/SUB]*t
F(t) = s(t) = v[SUB]0[/SUB]*t

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = v[SUB]0[/SUB]/t
v(t) = a[SUB]0[/SUB]*t
s(t) = 1/2*a[SUB]0[/SUB]*t²
F(t) = s(t) = 1/2*a[SUB]0[/SUB]*t²

Also:
- t ist die vergangene Zeit
- a(t) ist die Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit
- v(t) ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit
- s(t) ist die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit
- F(t) ist die Fläche der Kurve unter der Geschwindigkeitskurve v(t), also im v-t-Diagramm
- G(t) ist die Fläche der Kurve unter der Beschleunigungskurve a(t), also im a-t-Diagramm; das haben wir uns aber noch nicht angeschaut.

Wir haben nun drei Typen Geschwindigkeitsfunktionen betrachtet:
- Nullfunktion heisst, dass jeder Funktionswert den Wert 0 hat; wenn also v(t) ≡ 0 ist, so hat die Geschwindigkeit zu jeden Zeitpunkt den Wert 0
- konstante Funktion heisst, dass v(t) = v[SUB]0[/SUB], auch dies unabhängig vom Zeitpunkt t
- lineare Funktion heisst, dass v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. die Geschwindigkeit wächst in der Zeit mit dem - nota bene konstanten - Proportionalitätsfaktor a[SUB]0
[/SUB]

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Fall 3: v(t) = a[SUB]0[/SUB] * t, d.h. v linear
a(t) = v[SUB]0[/SUB]/t

Hallo Dgoe,

willst Du unbedingt meine Lebenserwartung reduzieren ?


Freundliche Grüsse, Ralf