Hallo Bernhard und alle die es interessiert,
ja, wollte ich eh mal machen. Gestern habe ich dann darüber nachgedacht und bin darauf gekommen, dass wir die Lösung schon seit eineinhalb Jahren kennen (Diskussion per PN damals). Wir verwenden Gullstrand-Painlevé Koordinaten und dementsprechend auch die zugehörige Definition von Gleichzeitigkeit.
Ich fasse meine Ergebnisse mal zusammen, können wir dann ja diskutieren:
GP-Koordinaten haben dieselbe r-Koordinate wie Schwarzschildkoordinaten, der EH sitzt also auch dort bei rs=2M. Die Zeitkoordinate entspricht der Eigenzeit von aus dem unendlichen einfallenden Beobachtern. Da man in endlicher Eigenzeit die Singularität erreicht, gibt es da keine Probleme am Horizont.
Ein solcher Beobachter hat in diesen Koordinaten die Position
[tex]r(t)=(-\frac{3}{2}t)^{2/3}.[/tex]
(Hier und im folgenden habe ich 2M=1 gesetzt, der EH ist also bei r=1 etc.)
Von dieser Kurve habe ich
hier gesprochen. In diesen Koordinaten überschreitet der Beobachter am EH die Lichtgeschwindigkeit.
Der Beobachter sei zur Zeit t an einer bestimmten Position. Jetzt denken wir uns einen Sender innerhalb des EH an einer Position p, der
genau zu dieser Zeit ein Signal nach außen schickt. "Genau zu dieser Zeit" ist natürlich vom Koordinatensystem abhängig und von daher etwas willkürlich.
Dieses Signal bewegt sich natürlich nie nach außen, sondern fällt von Anfang an auf die Singularität zu - aber langsamer als der Sender oder der Beobachter! Deshalb kann unser Beobachter es eventuell noch einholen und es kurz vor der Singularität empfangen. Wenn ihm das gerade noch gelingt, dann war der Sender an dieser Position p zu dieser Zeit t gerade noch sichtbar, also auf dem ganz persönlichen Horizont des Einfallenden. Alle Sender, die zu dieser Zeit t noch näher an der Singularität waren, können kein Signal mehr an den Beobachter schicken und sind also jenseits seines Horizonts. Diesen Horizont nenne ich mal "p-Horizont", zur Unterscheidung vom Ereignishorizont.
Nun treffen alle Signale, die vom p-Horizont abgesandt wurden, genau gleichzeitig mit dem Beobachter an der Singularität ein, es laufen also alle auf derselben Bahn. Diese kann man berechnen, wenn auch leider nur in der Form t(r), nicht r(t) - zumindest so weit ich weiß.
Der p-Horizont liegt auf
[tex]t(r)=r+2\sqrt{r}+2\ln{(1-\sqrt{r})}[/tex]
Wenn man weit weg ist, liegt der p-Horizont noch fast am EH: dort ist das Licht "eingefroren", in das man noch fallen kann. Je näher man kommt, desto weiter rückt der p-Horizont zur Singularität. Er bleibt immer zwischen Beobachter und Singularität, d.h. man kann immer auch ein bisschen sehen, was "gerade" vor einem passiert.
Ich habe das im beigefügten Diagramm dargestellt.
http://www.file-upload.net/download-6898903/p-Horizont.pdf.html (OBACHT! Nicht auf den fetten Knopf drücken, der richtige ist klein daneben. Weiß jemand einen besseren Service?)
