Gravitative Zeitdilatation und Masse-Zentren

AdMon

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Hallo zusammen!

Auf ScienceBlogs gab es gestern einen Artikel zu lesen: "Die Zeitmaschine im Zentrum der Erde".
Darin ging es, wie der Titel schon vermuten lässt, um die von der ART postulierten gravitativ bedingten Zeitdilatation, wonach das Zentrum der Erde jünger ist, als ihre Oberfläche. Tatsächlich wurde dieser Effekt auch bestätigt und neusten Messungen zufolge soll die Altersdifferenz etwa 2,5 Jahre betragen.

Nun, ansich ist das nichts Neues - lediglich der Unterschied von 2,5 Jahren vermag zu überraschen - aber das Ganze führte mich zu der Frage: Was genau ist das Massezentrum eines schweren Körpers, bei welchem der Effekt der gravitativen Zeitdilatation am stärksten ist?

Ganz spontan würde man sagen: "na genau im Zentrum", aber ist das so?

Ein im Orbit befindlicher Körper 'fällt' mit ausreichender Geschwindigkeit um die Erde - folgt also der gekrümmten Raumzeit. Es stellt sich dabei nicht die Frage nach der räumlichen Beziehung der beteiligten Massen.
Ein sich auf der Erdoberfläche befindlicher Körper 'fällt' im Prinzip auch permanent - er wird lediglich elektromagnetisch daran gehindert, sich dem Masse-Zentrum weiter zu nähern - "spürt" aber nachwievor die Gravitation des Planeten und das, aufgrund der Nähe, stärker, als der Körper im Orbit. Auch hier ist die räumliche Beziehung der beiden Massen noch eindeutig, da man eine eindeutige Wirkungsrichtung angeben kann.

Was ist aber mit einem genau im geometrischen Zentrum der Erde befindlichen Körper? Fällt dieser im klassischen Sinn? Sämtliche Masse befindet sich doch nun gleichmäßig um ihn herum verteilt - Wo befindet sich für einen Körper im Zentrum der Erde das größte Gravitationspotential? Müsste man eine Wirkungsrichtung angeben, so wäre das doch nun vom Zentrum weg und zwar in alle Richtungen, oder nicht? Oder anders gesagt - setzt man nun ausgehend vom Massezentrum eine Wirkungsrichtung voraus, so befindet sich doch in dieser - im Gegensatz zum Orbit oder der Oberfläche - nur noch die Hälfte der gesamten Masse. Demzufolge sollte doch auch die Kraft, die den Körper in Wirkungsrichtung fallen lässt, um die Hälfte reduziert sein.

Stellt man sich hingegen vor, dass der Körper im Orbit und der Körper auf der Oberfläche während des "Falles" nur der durch die Gesamtmasse verursachten Raumkrümmung folgt, so muss sich natürlich der tiefste Punkt dieser "Raumzeitdelle", und damit das größte Gravitationspotential, genau im Zentrum befinden.

Worauf ich eigentlich hinaus will - ab wann müssen Gravitationspotentiale getrennt voneinander betrachtet werden und ab wann sind zwei Masseträger in ihrer gravitativen Wirkung nicht mehr voneinander unterscheidbar? Muss die Masse des Körpers im Orbit bereits zur Masse der Erde und damit zu ihrer Auswirkung auf die Raumzeitkrümmung hinzugerechnet werden? Oder trifft das erst auf die Masse des Körpers zu, der sich auf der Oberfläche oder im Erdinneren befindet?
Gleiche Fragestellung bezogen auf eine Galaxis. Stellen die in ihr befindlichen Sternensysteme voneinander getrennt zu betrachtende Gravitationspotentiale dar, die man bloß aufaddieren muss oder gibt es möglicherweise einen verstärkenden Effekt auf das Gesamtgravitationspotental der Galaxis? Um es einmal auf das Bild des Gummituchs zu übertragen: erzeugen alle Sterne der Galaxie, ungeachtet der lokalen Verteilung, zusammen eine gemeinsame große Delle in der Raumzeit oder betrachten wir das Ganze als Konglomerat vieler Schlaglöcher.

Könnte sich, je nach Betrachtungsweise, hieraus ein verstärkender oder verringender Einfluss auf die Rotationsgeschwindigkeit der Randbereiche einer Scheibengalaxy ergeben? Ist es vielleicht falsch, das Gravitationspotential einer Galaxie allein von den in ihr befindlichen isolierten Massen abzuleiten? Könnte das ein Masse-, bzw. Raumzeitkrümmungs-Effekt sein, den man derzeit der DM zuschreibt?

Beste Grüße
René
 
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Bynaus

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Die Gravitation innerhalb einer (isotropen) Hohlkugel ist exakt Null, dh, es gibt keine Gravitation zur Hohlkugeloberfläche hin. Deshalb gilt: nur die Masse "unterhalb" des Körpers übt Gravitationskraft aus. Diese nimmt deshalb insgesamt zum Zentrum hin ab (allerdings nicht gleichmässig, da die Dichte der Erde nicht homogen ist - bis zur Kern-Mantel-Grenze steigt die Schwerebeschleunigung sogar an!).
 

Dgoe

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Hallo René,

kann das sein, dass Du das Schalentheorem, bzw. Birkhoff-Theorem übersehen hast? Ist mir auch schon passiert.

Die Schwerkraft im Erdmittelpunkt ist demnach 0, von Unregelmäßigkeiten abgesehen.

Gruß,
Dgoe

EDIT: Ich bin zu langsam, dafür die Links erst gesucht ;)
 

AdMon

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Die Gravitation innerhalb einer (isotropen) Hohlkugel ist exakt Null, dh, es gibt keine Gravitation zur Hohlkugeloberfläche hin.

Die Schwerkraft im Erdmittelpunkt ist demnach 0, von Unregelmäßigkeiten abgesehen.

Hallo Bynaus, hallo Dgoe,

danke für Eure Antwort!

Wenn also im Zentrum keine Gravitationskraft herrscht, was ich ja auch angenommen, nur etwas umständlich umschrieben habe, wie kann es dann dort eine gravitative Zeitdilatation geben - das Zentrum der Erde also jünger sein, als die Oberfläche?

Wieviel jünger ist dann das Zentrum der Milchstraße als ihre Außenbereiche?

Grüße
René
 

Dgoe

Gesperrt
+
Man kann sich das anschaulich so vorstellen:
Zeichne einen Ring und schon siehst Du, dass im Mittelpunkt die Masse drumherum gleich verteilt ist, sich also die Gravitation gegenseitig aufhebt. Oder suche Dir eine Position abseits des Mittelpunktes aus, jedoch innerhalb des Ringes. Dann zieht die nähergelegene Seite stärker an, als die Gegenüberliegende, jedoch ist zur gegenüberliegenden Seite insgesamt mehr Masse vorhanden, die näherliegende Masse ist insgesamt weniger. Das gleicht sich phänomenalerweise genau aus, so dass innerhalb des Ringes überall Schwerelosigkeit herrscht. Der Ring jetzt im Sinne eines Querschnittes der Schale, mit Hohlkugel das Innere der Schale (Ringes) gemeint.


Zu #4:
Da wird nichts jünger sein können, keine Dilatation.

Gruß,
Dgoe

Und noch als Hinweis: Bei Schale nicht an Obstschale denken, vielmehr an eine Kugel, die innen hohl ist - unter der Wandstärke.
Und: Eine Vollkugel ist auch eine Schale um den Mittelpunkt herum mit Wandstärke des Radius.
 
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Bynaus

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Wenn also im Zentrum keine Gravitationskraft herrscht, was ich ja auch angenommen, nur etwas umständlich umschrieben habe, wie kann es dann dort eine gravitative Zeitdilatation geben - das Zentrum der Erde also jünger sein, als die Oberfläche?

Die Schwerebeschleunigung ist quasi die Steigung des Gravitationstrichters. Diese geht im Zentrum gegen Null (sonst hätte man keine "Delle" in der Gummituchanalogie, sondern ein Loch). Die Zeitdilatation ist aber nicht die Folge der Steigung, sondern des Höhenunterschieds innerhalb der Delle.

Wieviel jünger ist dann das Zentrum der Milchstraße als ihre Außenbereiche?

Ich bin sicher, dass das jemand ausrechnen kann.

@Dgoe: Goldsternchen für dich für die Quellen. Qualität vor Schnelligkeit! :)
 

mac

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Hallo Dgoe,

Zeichne einen Ring und schon siehst Du, dass im Mittelpunkt die Masse drumherum gleich verteilt ist, sich also die Gravitation gegenseitig aufhebt.
Ja.


Oder suche Dir eine Position abseits des Mittelpunktes aus, jedoch innerhalb des Ringes. Dann zieht die nähergelegene Seite stärker an, als die Gegenüberliegende, jedoch ist zur gegenüberliegenden Seite insgesamt mehr Masse vorhanden, die näherliegende Masse ist insgesamt weniger. Das gleicht sich phänomenalerweise genau aus, so dass innerhalb des Ringes überall Schwerelosigkeit herrscht.
Nein!


Der Ring jetzt im Sinne eines Querschnittes der Schale, mit Hohlkugel das Innere der Schale (Ringes) gemeint.
Nur innerhalb einer homogenen Kugelschale gleicht 'es' sich aus.

Herzliche Grüße

MAC
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo Mac,

Danke für die Korrektur, konnte mich daran nicht erinnern:

Also der phänomenale Ausgleich funktioniert nur in 3D, beim Querschnitt erkennt man nur die Tendenz, dass näherliegende Massen gleichzeitig weniger sind.

Hoffe das Bild ist ansonsten ok, nicht zuletzt gibt es ja auch keine 2-dimensionale Masse ;-)

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

Gesperrt
Das Bild schon, nur die Schlussfolgerung:

Dgoe schrieb:
Zu #4:
Da wird nichts jünger sein können, keine Dilatation.
nicht.

Aber das hatte Bynaus schon beschrieben.
Dort ging es aber um den Mittelpunkt, nicht um einen vorübergehenden Anstieg der Schwerkraft Richtung Erdinneren, wegen dem dichteren Kern.

Andererseits ist in der Dellenananolgie der Boden senkrecht zum Mittelpunkt von der Höhe tiefer, am Tiefsten.

Was was heißt? War schon am Rätseln. Nur ein Artefakt der Anaolgie schien mir schlüssig, ansonsten nur dort wo mehr Schwerkraft herrscht, vergeht die Zeit langsamer. So gesehen am Mittelpunkt eine Dilatation, da null Schwerkraft und auf der Oberfläche vergeht die Zeit langsamer, da mehr Schwerkraft.

Gruß,
Dgoe
 

Herr Senf

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Dgoe,
wo du Recht hast, stimmts. Laß dich nicht verunsichern.
Im Netz sind viele Falschinterpretationen unterwegs.

Grüße Senf

PS: das Newton-Potential paßt nur an den Schnittstellen zur ART, Erdmitte ist Singularität
 
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Ich

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Dgoe,
wo du Recht hast, stimmts. Laß dich nicht verunsichern.
Im Netz sind viele Falschinterpretationen unterwegs.

Grüße Senf

PS: das Newton-Potential paßt nur an den Schnittstellen zur ART, Erdmitte ist Singularität
?

Dgoe hat nicht Recht, am Erdmittelpunkt ist die Dilatation am größten. Und dein PS kann ich gar nicht deuten.
 

ralfkannenberg

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Was was heißt? War schon am Rätseln. Nur ein Artefakt der Anaolgie schien mir schlüssig, ansonsten nur dort wo mehr Schwerkraft herrscht, vergeht die Zeit langsamer. So gesehen am Mittelpunkt eine Dilatation, da null Schwerkraft und auf der Oberfläche vergeht die Zeit langsamer, da mehr Schwerkraft.
Hallo Dgoe,

wenn Du ein Loch durch die Erde gräbst und dann einen Stein mit Anfangsgeschwindigkeit 0 hineinfallen lässt (wir vernachlässigen jetzt der Einfachheit halber, dass es im Erdinneren ziemlich warm ist und der Stein schmelzen könnte), so fällt er nach unten. Zwar wird er weiter als der Erdmittelpunkt fallen, dann aber irgendwann wieder umkehren und das mehrfach wiederholen, bis er im Zentrum verbleibt.

Somit ist das Minimum vom Gravitationspotential im Erdmittelpunkt und das Gravitationspotential ist die Grösse, auf die es bei der gravitativen Zeitdilatation ankommt.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

mac

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Hallo Ralf,

Somit ist das Minimum vom Gravitationspotential im Erdmittelpunkt und das Gravitationspotential ist die Grösse, auf die es bei der gravitativen Zeitdilatation ankommt.
Das ist zwar richtig, aber auch nicht unmissverständlich, zumindest für den sonst üblichen Alltagssprachgebrauch.

Das Gravitationspotential wird durch negative Werte ausgedrückt. Es hat seinen niedrigsten (in absoluten Zahlen größten) Wert im Erdmittelpunkt. Aber z.B. im Sonnenmittelpunkt wird dieser negative Wert nochmal weit unterschritten.

Anders ausgedrückt, es beschreibt den negativen 'Abstand' von Null und fast Null liegt im realen Kosmos sehr weit weg vom Gravitationszentrum des betrachteten Objektes, zumindest so weit, bis ein anderes Objekt den 'Trichter' wieder tiefer zieht. Und wirklich Null, gibt es im realen Kosmos nicht.

Denkt man darüber etwas tiefer nach, dann kommen sehr interessante Fragen auf. Wir (und jeder andere, egal wo er ist) sitzen, bezogen auf unseren/seinen Horizont, an der tiefsten Stelle des kosmischen Gravitationspotentials. Wie tief ist das? Es geht ja lokal immer noch tiefer, ist dieses Potential also ebenso relativ wie z.B. Bewegung?

Herzliche Grüße

MAC
 
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Herr Senf

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Hau drauf,
r=0 ist eine versteckte Singularität, "getarnt" durch das Newtonsche Potential - Bentley.
Potential hat Vorzeichen-Minimum, aber Maximum im Zahlen-Betrag.
Worauf reagiert die Uhr? auf die Zahl oder das Vorzeichen - paradox.
Mein Altersstarrsinn zwingt mich, der arxiv-preprint scheitert an der ART ---IN--- der Hohlkugel.
Oder ich bin seit 3 Tagen altersgerecht uneinsinnig auf dem Holzweg und der hat keine Wegweiser.

Wer kann mir erklären, daß die Zeitdilatation im Zentrum einer Kugel größer ist als im oo - Gravitations-Paradox?

Hoffnungslos überfordert - Senf

PS: hoppla, das war gerade mein 555. P(r)ost hier, Schnappszahl paßt zur Schnappsidee, jetzt doch 'nen Wodka
 
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Ich

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Ich komm nicht mit. Drum mal ein paar Antworten auf Fragen, die du nicht gestellt hast und die dich vielleicht auch nicht interessieren.
r=0 ist eine versteckte Singularität, "getarnt" durch das Newtonsche Potential - Bentley.
Bentley hat sich schon erledigt, hat auch nicht wirklich was mit der Erde zu tun. Wieso soll r=0 eine versteckte Singularität sein? Wir haben in der (homogen gedachten) Erde ein sauberes quadratisches Potential.
Potential hat Vorzeichen-Minimum, aber Maximum im Zahlen-Betrag.
Worauf reagiert die Uhr? auf die Zahl oder das Vorzeichen - paradox.
In der ersten Näherung kommt es nur auf den Unterschied an. Im Erdmittelpunkt ist das Potential am allerkleinsten, weil man von da nur wegkommt, wenn man Arbeit reinsteckt. Deswegen läuft da die Zeit am langsamsten.
Mein Altersstarrsinn zwingt mich, der arxiv-preprint scheitert an der ART ---IN--- der Hohlkugel.
Oder ich bin seit 3 Tagen altersgerecht uneinsinnig auf dem Holzweg und der hat keine Wegweiser.
Verstehe kein Wort.
Wer kann mir erklären, daß die Zeitdilatation im Zentrum einer Kugel größer ist als im oo - Gravitations-Paradox?
Was für ein Paradox?
 

mac

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Hallo Herr Senf,

hilft nur bei Mücken und so .. ;)



r=0 ist eine versteckte Singularität,
nö, nur wenn man glaubt daß die Vereinfachung ‚Abstand vom Gravitationszentrum‘ in jedem Abstand gilt.

Tatsächlich müssen wir unter der Erdoberfläche aber ganz anders rechnen, da beschreiben die geschlossenen Gleichungen die Realität nämlich nicht mehr.

Praktischerweise könnte man da numerisch vorgehen. Wieviel Masse ist noch unter mir? Nur die zieht mich noch tiefer in den Topf. Komme ich bei 0 Abstand zum Zentrum an, ist auch nur noch 0 Masse unter mir, die mich anzieht.

Also keine Singulaität

Herzliche Grüße

MAC
 
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