Berechnung von Umlaufbahnen

julian apostata

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Genau mit diesen 3 Worten hab ich mal bei google Hilfe bei folgender Frage gesucht (ein aussichtsloses Unterfangen). Gegeben seien 4 Bahnparameter.

v_0=Perigäums(erdnächster Bahnpunkt)geschwindigkeit
r_0=zugehöriger Bahnradius
v_1=Apogäumsgeschwindigkeit
r_1=zugehöriger Bahnradius

Wenn 2 dieser Parameter gegeben sind, wie erhält man dann die restlichen 2?

Und dazu brauchen wir nur 2 Gleichungen (M=Erdmasse G=Gravitationskonstante)

$$\\(1)\quad v_0\cdot r_0=v_1\cdot r_1\\\\(2)\quad v_0\cdot v_1\cdot(r_0+r_1)=2MG$$

(1) ist klar wegen Bahndrehimpuls
(2) Es soll ja die Summe aus Gravitationspotential und kinetischer Energie für jeden Bahnpunkt gleich sein (v²/2-MG/r) Und dieser Zusammenhang lässt sich mit Hilfe von (1) noch wesentlich einfacher darstellen. Wenn nicht klar ist, wie das geht, führ ich es nochmal extra vor.

So und jetzt seien r_0 und r_1 gegeben. v_0 will ich wissen. Dann lös ich beide Gleichungen nach v_1 auf. Beide Gleichungen verbunden indem man v_1 eliminiert ergibt dann

$$v_0^2=\frac{r_1}{r_0}\cdot\frac{2MG}{r_0+r_1}$$

Zur Ermittlung von v_1 einfach den 1. Bruch stürzen

Hier kann man sich das bequem ausrechnen lassen für Ellipsenbahn 200km und 36000 km Höhe über Erde.

http://de.numberempire.com/expressioncalculator.php

sqrt(a/b*g/(a+b)),g=7.972e14,b=6378000+200000,a=6378000+36000000
10242m/s

sqrt(b/a*g/(a+b)),g=7.972e14,b=6378000+200000,a=6378000+36000000
1590m/s

Bernd Leitenberger kommt ungefähr auf's selbe Ergebnis.

http://www.bernd-leitenberger.de/orbits.shtml

Für verzweifelt Suchende, die über google hier rein kommen noch ein kleiner Tipp.

Zum sichtbar machen der Formeln links unten Latex-Unterstützung aktivieren.
 

julian apostata

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Jetzt kommt ein klein wenig Ellipsenmathematik.

$$a=\frac{r_1+r_2}{2}\quad b=\sqrt{r_1\cdot r_0}\quad\varepsilon=\frac{r_1-r_0}{r_1+r_0}\rightarrow \frac{r_1}{r_0}=\frac{1+\varepsilon }{1-\varepsilon}$$

a=große Halbachse b=kleine Halbachse epsilon=numerische Exzentrität

Beispiel: Es soll sein: r_1=8AE r_0=2AE, dann gilt:

a=5 und epsilon=0,6

Mehr Angaben verlangt Walter Fendt auch gar nicht.

http://www.walter-fendt.de/ph6de/keplerlaw2_de.htm

Angaben mit ENTER bestätigen und die gewünschte Umlaufbahn wird simuliert.

Und mit a=240 und b=192 kann man die Ellipse auch völlig unkompliziert in "Paint" reproduzieren. Probiert's es ruhig mal. Fendt's Ellipse nach "Paint" kopieren und Ellipse (240 192) zeichnen. Beide Figuren sind nahezu deckungsgleich.
 

julian apostata

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Und jetzt schlagen wir mal http://www.diebibel.net/ auf (Gen 28,12)...

Da hatte er einen Traum: Er sah eine Treppe, die auf der Erde stand und bis zum Himmel reichte. Auf ihr stiegen Engel Gottes auf und nieder.

...und fragen uns. Wie hoch müssen wir da hinauf steigen, damit wir beim Fallen nicht mehr auf die Erde, sondern um die Erde fallen.

Sagen wir mal. r_0=6 378 000m+350 000m

Das ist gar überhaupt keine komplizierte Rechnung, wenn wir uns dafür entscheiden, dass wir v_0 nicht brauchen und für v1=r*omega setzen

$$v_0=\frac{v_1\cdot r_1}{r_0}=\frac{2\cdot M\cdot G}{v_1\cdot(r_0+r_1)}\rightarrow\frac{r_1^4}{r_0}+r_1^3-\frac{2\cdot M\cdot G}{\omega ^2}=0$$

Direkt nach r_1 auflösen geht hier nicht (es sei denn, jemand kennt eine Methode), aber dafür können wir im Zahlenimperium so lange rum probieren, bis wir als Ergebnis eine Null da stehen haben.

r^4/6728000+r^3-1.4992e23,r=30133932.926443501

In 23 760 Höhe können wir uns also ausklinken, um in 350 km Entfernung an der Erde vorbei zu rauschen.

Und ich komme noch immer auf das gleiche Ergebnis, wie vor viereinhalb Jahren.

Wie ich es damals gerechnet habe, weiß ich gar nicht mehr, jedenfalls war die Methode viel komplizierter. Deswegen hab ich ja den Thread eröffnet, um zu zeugen dass es viel einfacher geht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Weltraumlift/Archiv/1#Auswirkungen_-_Energiebilanz
Lift.png
 

Bernhard

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Hallo JA,

mich würde da mal interessieren, ob Gen28,12 der Auslöser für diese Rechnungen war oder ob der Grund ein anderer war. Interessieren würde mich dabei insbesondere deine Einschätzung, ob diese Erzählung ein reales Erlebnis wiedergibt, eine Art Vision oder nur eine spontane Idee. Ganz in dem Sinne also, einen verregneten Sonntagnachmittag mit etwas Plauderei über Gott und die Welt zu füllen.

Die Rechnung selbst ist gut beschrieben und deshalb auch ziemlich direkt nachzuvollziehen. Insofern gibt die Rechnung vorerst relativ wenig Gesprächsstoff. Lediglich der Sinn dieser Rechnungen erschließt sich mir nicht ohne zusätzliche Erklärungen. Bei Bedarf kann S.D. das Thema sicher auch nach "Smalltalk" verschieben.
 
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julian apostata

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Lediglich der Sinn dieser Rechnungen erschließt sich mir nicht ohne zusätzliche Erklärungen.

Na dann stell dir doch mal Folgendes vor. Jemand möchte einen Science-Fiction-Roman schreiben. Irgendwann im 22.Jahrhundert wird man wohl beim Bau von Raumstationen dazu übergehen, das Baumaterial nicht mehr von der Erde, sondern vom Mond zu holen. Der Zusammenbau der Station soll 50 km über der Mondoberfläche statt finden.

Die Bauteile sollen mit Hilfe einer Magnetschwebebahn nach oben befördert werden. Dazu brauchen wir eine Ellipsenbahn mit r_0= Mondradius und r_1=Mondradius + 50 000 Meter.

sqrt(b/a*g/(a+b)),g=9.8038368e12,b=1738000+50000,a=1738000
1691.280936786256
Die Magnetschwebebahn muss also erst mal das Bauteil auf 1691 m/s beschleunigen, ehe es los gelassen werden kann.

sqrt(a/b*g/(a+b)),g=9.8038368e12,b=1738000+50000,a=1738000
1643.985608576349
Oben kann das Bauteil mit 1644m/s in Empfang genommen werden. Doch die Baustelle selbst vollzieht ja eine Kreisbahn um den Mond.

sqrt(a/b*g/(a+b)),g=9.8038368e12,b=1738000+50000,a=1738000+50000
1655.767224180726
Sie ist mit 1656m/s unterwegs.

1655.767224180726-1643.985608576349=11.78161560437704
also 11,78m/s schneller als das zu empfangende Bauteil. Es ist also durchaus vorstellbar, dass man die Teile oben mit einem Netz auffängt.

Gegeben r_1 und r_0. Ermittle v_1 und v_0. Und jetzt find mal über "google" heraus, wie man das rechnet!

mich würde da mal interessieren, ob Gen28,12 der Auslöser für diese Rechnungen war oder ob der Grund ein anderer war. Interessieren würde mich dabei insbesondere deine Einschätzung, ob diese Erzählung ein reales Erlebnis wiedergibt, eine Art Vision oder nur eine spontane Idee. Ganz in dem Sinne also, einen verregneten Sonntagnachmittag mit etwas Plauderei über Gott und die Welt zu füllen.

Also erst mal hatten wir hier in Nürnberg zumindest recht schönes Wetter. Und obwohl ich mit Religion eigentlich gar nix am Hut hab, find ich einige Geschichten im alten Testament doch recht spannend. Der Thread wär allerdings auch ohne die Bibel entstanden.

Und weil wir grad bei der Bibel sind.
Hesekiel 1
4Ich sah: Ein Sturmwind kam von Norden, eine große Wolke mit flackerndem Feuer, umgeben von einem hellen Schein. Aus dem Feuer strahlte es wie glänzendes Gold.
5Mitten darin erschien etwas wie vier Lebewesen. Und das war ihre Gestalt: Sie sahen aus wie Menschen.
6Jedes der Lebewesen hatte vier Gesichter und vier Flügel.
7Ihre Beine waren gerade und ihre Füße wie die Füße eines Stieres; sie glänzten wie glatte und blinkende Bronze.
8Unter den Flügeln an ihren vier Seiten hatten sie Menschenhände. [Auch Gesichter und Flügel hatten die vier.]
9Ihre Flügel berührten einander. Die Lebewesen änderten beim Gehen ihre Richtung nicht: Jedes ging in die Richtung, in die eines seiner Gesichter wies.
10Und ihre Gesichter sahen so aus: Ein Menschengesicht (blickte bei allen vier nach vorn), ein Löwengesicht bei allen vier nach rechts, ein Stiergesicht bei allen vier nach links und ein Adlergesicht bei allen vier (nach hinten).
11Ihre Flügel waren nach oben ausgespannt. Mit zwei Flügeln berührten sie einander und mit zwei bedeckten sie ihren Leib.
12Jedes Lebewesen ging in die Richtung, in die eines seiner Gesichter wies. Sie gingen, wohin der Geist sie trieb, und änderten beim Gehen ihre Richtung nicht.
13Zwischen den Lebewesen war etwas zu sehen wie glühende Kohlen, etwas wie Fackeln, die zwischen den Lebewesen hin- und herzuckten. Das Feuer gab einen hellen Schein und aus dem Feuer zuckten Blitze.
14Die Lebewesen liefen vor und zurück und es sah aus wie Blitze.
15Ich schaute auf die Lebewesen: Neben jedem der vier sah ich ein Rad auf dem Boden.
16Die Räder sahen aus, als seien sie aus Chrysolith gemacht. Alle vier Räder hatten die gleiche Gestalt. Sie waren so gemacht, dass es aussah, als laufe ein Rad mitten im andern.
17Sie konnten nach allen vier Seiten laufen und änderten beim Laufen ihre Richtung nicht.
18Ihre Felgen waren so hoch, dass ich erschrak; sie waren voll Augen, ringsum bei allen vier Rädern.
19Gingen die Lebewesen, dann liefen die Räder an ihrer Seite mit. Hoben sich die Lebewesen vom Boden, dann hoben sich auch die Räder.
20Sie liefen, wohin der Geist sie trieb. Die Räder hoben sich zugleich mit ihnen; denn der Geist der Lebewesen war in den Rädern.
21Gingen die Lebewesen, dann liefen auch die Räder; blieben jene stehen, dann standen auch sie still. Hoben sich jene vom Boden, dann hoben sich die Räder zugleich mit ihnen; denn der Geist der Lebewesen war in den Rädern.
22Über den Köpfen der Lebewesen war etwas wie eine gehämmerte Platte befestigt, furchtbar anzusehen, wie ein strahlender Kristall, oben über ihren Köpfen.
23Unter der Platte waren ihre Flügel ausgespannt, einer zum andern hin. Mit zwei Flügeln bedeckte jedes Lebewesen seinen Leib.
24Ich hörte das Rauschen ihrer Flügel; es war wie das Rauschen gewaltiger Wassermassen, wie die Stimme des Allmächtigen. Wenn sie gingen, glich das tosende Rauschen dem Lärm eines Heerlagers. Wenn sie standen, ließen sie ihre Flügel herabhängen.
25Ein Rauschen war auch oberhalb der Platte, die über ihren Köpfen war. Wenn sie standen, ließen sie ihre Flügel herabhängen.
26Oberhalb der Platte über ihren Köpfen war etwas, das wie Saphir aussah und einem Thron glich. Auf dem, was einem Thron glich, saß eine Gestalt, die wie ein Mensch aussah.
27Oberhalb von dem, was wie seine Hüften aussah, sah ich etwas wie glänzendes Gold in einem Feuerkranz. Unterhalb von dem, was wie seine Hüften aussah, sah ich etwas wie Feuer und ringsum einen hellen Schein.
28Wie der Anblick des Regenbogens, der sich an einem Regentag in den Wolken zeigt, so war der helle Schein ringsum. So etwa sah die Herrlichkeit des Herrn aus. Als ich diese Erscheinung sah, fiel ich nieder auf mein Gesicht. Und ich hörte, wie jemand redete.

Hesekiel 3
12Da hob mich der Geist empor und ich hörte hinter mir ein Geräusch, ein gewaltiges Dröhnen, als sich die Herrlichkeit des Herrn von ihrem Ort erhob,
13das Geräusch von den Flügeln der Lebewesen, die einander berührten, und das Geräusch der Räder neben ihnen, ein lautes, gewaltiges Dröhnen.
14Der Geist, der mich emporgehoben hatte, trug mich fort. Ich ging dahin, mit bitterem und grollendem Herzen, und die Hand des Herrn lag schwer auf mir.
15So kam ich zu den Verschleppten, [die am Fluss Kebar wohnten,] die in Tel-Abib wohnten, und ich saß dort sieben Tage lang verstört mitten unter ihnen.

Ein gewisser Erich von Däniken deutet diesen Text so, dass da wohl jemand von Außerirdischen entführt worden wäre.
 

julian apostata

Registriertes Mitglied
Und hier hab ich mal versucht, die Kepler-Gleichung zu visualisieren und hoffe, dass das auch allgemein verständlich rüber kommt.

http://tube.geogebra.org/material/show/id/1639639

Wir starten die Animation und sehen einen Kometen, der eine Umlaufbahn um eine Sonne beschreibt.

Nun schalten wir den Umkreis hinzu. Wir sehen: Der rote Strahl (M=mittlere Anomalie) hat eine konstante Winkelgeschwindigkeit.

Mittels des Winkel M kann man den Winkel E (exzentrische Anomalie) berechnen. Das geht in Geogebra recht einfach, wenn man eine Nullstelle zwischen 0 und 2Pi von dieser Gleichung sucht.

E-e*sin E -M=0

Aus dem E wird ein x gemacht

E=x(Nullstelle[x - ε sin(x) - M, 0, 6.28319])

und wir haben was wir suchen.

Durch den grünen Punkt auf dem Umkreis machen wir eine senkrechte Gerade und da wo sie die Ellipse schneidet, befindet sich unser Komet.

Zum Erstellen des Applets braucht ich also noch nicht mal die Gleichung für die wahre Anomalie (T).

Wer sie dennoch wissen will, der informiere sich hier.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Gleichung
 
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