Schau mal hier:
Die Form des Raums
Da wird das etwas anders dargestellt, als du meinst.
Ah ja, prima, Danke Frank, super Seite.
Ja, bei einer negativen Krümmung (konkav), Sattelfläche, sind die Winkel kleiner als 180°, was ja auch eine Wölbung ist, somit muss ich mich korrigieren, man kann nicht sagen, jede Wölbung wäre >180°. Aber bei jeder Wölbung wie sie entsteht, wenn man ein Gewicht auf ein Gummituch legt, sind die Winkel mehr als 180°, genau wie bei einer Kugeloberfläche beide sind positiv gekrümmt (konvex).
Nur das betrifft doch dennoch die 2-dimensionale Fläche, die in die dritte Dimension gekrümmt ist und damit Dreiecke auf dieser jeweiligen Fläche. Das kann man ja auch noch so oft die Form des Raumes nennen, letztendlich sind es nur Analogien, die man sich übertragend vorstellen soll - nämlich auf den 3-dimensionalen Raum, wie er in die vierte Dimension "gekrümmt" wird. Statt
Krümmung könnte hier ein anderer Begriff Verwendung finden, zur Unterscheidung. Aber krümmen kann man auch eine 1-dimensionale Gerade in die 2te Dimension hinein (Beispiel Kreis), also soll der Begriff auch dort, wo unsere Vorstellung endet noch weiter benutzt werden.
Daraus stellt sich mir eine (Neben-)Frage. Was passiert denn mit den Winkeln der Dreiecke oder Pyramiden, Tetraeder im Raum (3d), wenn dieser in die 4te Dimension gekrümmt wird.
@Ralf:
Meines Erachtens ist die Fläche irgendwie gleich gross, aber eben - das hängt davon ab, welche konkrete Fläche Du überhaupt meinst. Wenn Du als "Originalfläche" diejenige ohne jede Wölbung meinst und dann wölbst, so wird sie natürlich grösser. Witzigerweise übrigens auch, wenn Du negativ wölbst.
Aaaargghhhhh - das ist natürlich
falsch. Sehr schön illustriert im
Link von Frank Specht, Abschnitt "Hyperbolische Geometrie".
das finde ich jetzt zu selbstkritisch. Wenn die Außenmaße gleich bleiben und die Fläche (im Sinne von dehnbar) gewölbt wird, dann vergrößert sich die Fläche, egal ob die Wölbung positiv oder negativ ist, bzw. konvex oder konkav. Letzteres ändert nur die Winkelsumme (des Dreiecks) mal auf mehr und mal auf weniger als 180°.
Ich habe mir ein Beispiel überlegt. Wenn man ein Blatt Papier biegt/krümmt/wölbt, dann bleibt die Fläche gleich groß. Wenn man es vorher auf einen Tisch legt und genau um die Ränder herum eine Linie auf den Tisch zeichnet, dann sieht man (von oben gesehen) wie mindestens eine Seite sich von den Randlinien entfernt, wenn man das Blatt wölbt. Wenn man nun aber ein Gummituch der Größe des Blattes flach liegend auf zwei gegenüberliegenden Seiten befestigt/spannt, und nun von unten eine passende Rolle in das Gummituch drückt, so dass es dem gewölbten Blatt ähnelt, so ist die Fläche größer geworden, im Vergleich.
- Mann kann ebenso beliebig eine Sattelform von unten hineindrücken oder mit dem Finger oder einem Gewicht nach unten drücken, jedesmal vergrößert sich die Fläche, sobald sie nicht mehr flach im Sinne von eben ist.
@Ich: Danke an dieser Stelle, ich möchte darauf gerne später noch antworten...
Gruß,
Dgoe