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Thema: Über Unendlichkeiten

  1. #11
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    Zitat Zitat von Alex74 Beitrag anzeigen
    ... hier treten nirgendwo Unendlichkeiten auf. Das verbietet bereits die Unschärferelation.
    Natürlich treten bei SLs im Rahmen der ART Unendlichkeiten bzw. Singularitäten auf. Die Unschärferelation kommt dabei nicht zum Tragen, da die ART eine klassische = nicht-quantisierte Theorie ist, und da wir heute eine endgültige Formulierung einer QG noch nicht kennen.

    Tatsächlich sind es gerade diese Unendlichkeiten (Singularitäten) die uns Physiker dazu zwingen, eine Theorie jenseits der ART zu suchen, z.B. eine Quantengravitation. In allen ernsthaften Kandidaten (z.B. LQG, AS, Strings) werden die Unendlichkeiten tatsächlich vermieden.
    Gruß
    Tom

    Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

  2. #12
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    Genau das ist es doch was ich sage:
    Sobald irgendwo Unendlichkeiten auftreten, wissen wir daß entweder die Formeln nicht völlig korrekt die Wirklichkeit widerspiegeln (bei der ART weil sie nicht die einzige weltbeschreibende Formel ist) oder die Formeln in Spezielfällen nicht anwendbar sind und man sich dafür andere suchen muß (Beispiel mit den Äpfeln und den Kindern).

    Die Mathematik ist im Rahmen unserer wirklichen Welt so lange nur ein Werkzeug, wie wir kein Laplacescher Dämon sind.
    Wir bemühen Formeln für ein konkretes Problem, müssen aber erkennen ob und wann die Formel nicht mehr taugt und wenn das der Fall ist, eine andere finden.

  3. #13
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Hallo Schmidts Katze,

    Du hättest es Dir einfacher machen können, wenn Du die Liouville'sche Zahl genommen hättest (0.11000100000000000000000100...) - diese Zahl hat überall eine 0 mit Ausnahme derjenigen Kommastellen, die eine Fakultät sind.
    Hallo Ralf,

    die Liouville'sche Zahl kannte ich nicht; hätte ich es mir einfach machen wollen, hätte ich 3.14 oder 1.4142 gewählt.
    Aber nach der einfachsten Lösung hast du ja nicht gefragt.

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Aber darauf wollte ich gar nicht hinaus - ich wollte nur ansprechen, dass es verhältnismässig einfach ist, eine überabzählbare Menge zu konstruieren, ohne so ohne weiteres ein einziges Element angeben zu können.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Stimmt. ^_^


    Grüße
    SK
    "There must be some way out of here," said the joker to the thief.

  4. #14
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    ?.. ich wollte nur ansprechen, dass es verhältnismässig einfach ist, eine überabzählbare Menge zu konstruieren, ohne so ohne weiteres ein einziges Element angeben zu können.
    Meinst du "konstruieren" oder "definieren"? Das explizite Konstruieren erfordert m.E. das explizite Angeben von Zahlen oder Konstruktionsvorschriften (Algorithmen), aber das ist aufgrund der Abzählbarkeit von Algorithmen für überabzählbare Mengen notorisch schwierig.

    Ich denke nicht, dass es konstruierbare, überbählbare Mengen gibt.
    Gruß
    Tom

    Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

  5. #15
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    Zitat Zitat von Alex74 Beitrag anzeigen
    @ralfkannenberg:
    Die Axiome sind mir z.T. bekannt, ich habe ja auch mal angefangen das Zeug zu studieren
    Mir ging es aber nicht um Herleitungen und mathematische Terme sondern um deren Bezug zu unserer Realität.
    Aus der Definition der natürlichen Zahlen geht hervor, daß es "unendlich" viele geben sollte. Nimm das so herum, wenn Dich mein Ausdruck stört.
    Auf die Relität bezogen ist es hier z.B. sinnvoll, von "beliebig vielen" statt von "unendlich vielen" zu reden.
    Hallo Alex,

    ich bin sehr froh, dass Du das ansprichst und tatsächlich habe ich hier nicht explizit unterschieden. My bad - ich habe das irgendwie stillschweigend getan.

    An sich sprechen wir von zwei verschiedenen "Unendlichkeiten", nämlich einer irgendwie unendlich grossen Zahl einerseits und von unendlich grossen Mengen andererseits.

    Erstere gibt es nicht (jedenfalls nicht konsistent), zweitere indes schon. Und für alle Prozesse in der Physik, in der Du Ableitungen oder Integrale verwendest benötigst Du diese. Der Stetigkeitsbegriff macht in einer endlichen Menge keinen Sinn.

    Auch bei Fragestellungen, ob die Quadratwurzel(2) rational ist oder nicht brauchst Du letztlich auch unendlich grosse Mengen (ok, diese sind wenigstens noch abzählbar, da die algebraischen zahlen abzählbar sind), denn sonst könnte man es ja einfach durch ausprobieren überprüfen.

    Und wie Tom oben angesprochen hat wirst Du bei Singularitäten ebenfalls mit solchen Fragestellungen konfrontiert, ebenso bei gewissen nicht-konvergenten Reihen, bei denen man es schafft, einen irrelevanten Teil abzuspalten, der über alle Schranken anwachsen darf, und einen relevantzen, den man zum konvergieren bringt.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  6. #16
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    Zitat Zitat von Schmidts Katze Beitrag anzeigen
    die Liouville'sche Zahl kannte ich nicht
    Hallo Schmidts Katze,

    das war die erste Zahl, von der nachgewiesen werden konnte, dass sie nicht algebraisch sein kann. Bis zu diesem Tag hätte man also mit den transzendenten Zahlen eine überabzählbar grosse Menge gehabt, ohne ein einziges Element von ihr angeben zu können.

    Allerdings war zu diesem Zeitpunkt der Begriff der überabzählbaren Menge noch nicht bekannt, das wurde erst später entdeckt.

    Zitat Zitat von Schmidts Katze Beitrag anzeigen
    hätte ich es mir einfach machen wollen, hätte ich 3.14
    314/100 ist eine rationale Zahl, die man sogar noch kürzen kann. Du meinst vermutlich die Kreiszahl pi; der Beweis ihrer Transzendenz wurde mithilfe der Transzendenz der Euler'schen Zahl über elementarsymmetrische Funktionen geführt; heutzutage macht man das mit normalen Körpererweitungen aus der Galois-Theorie.

    Zitat Zitat von Schmidts Katze Beitrag anzeigen
    oder 1.4142 gewählt.
    Falls Du die Quadratwurzel aus 2 meinst - diese liegt aber noch in der Menge der algebraischen Zahlen, also nicht in der von mir genannten Menge (der transzendenten Zahlen).


    Freundliche Grüsse, Ralf

  7. #17
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Meinst du "konstruieren" oder "definieren"? Das explizite Konstruieren erfordert m.E. das explizite Angeben von Zahlen oder Konstruktionsvorschriften (Algorithmen), aber das ist aufgrund der Abzählbarkeit von Algorithmen für überabzählbare Mengen notorisch schwierig.

    Ich denke nicht, dass es konstruierbare, überbählbare Mengen gibt.
    Hallo Tom,

    ich habe mich hier bewusst schwammig ausgedrückt, weil ich es nicht weiss. Grundsätzlich stimme ich Dir hierin zu. - Ich habe mir einmal die Frage gestellt, ob der algebraische Abschluss aller von Menschen je erdachten komplexen Zahlen abzählbar ist.

    Ich vermute, dass dem so ist; an einem strikten Beweis indes habe ich mich noch nicht versucht.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  8. #18
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    Was meinst du mit algebraischer Abschluss?

    Ich denke, algebraische Zahlen, also Nullstellen von Polynomen über rationalen Zahlen, sind abzählbar gemäß einem verallgemeinerten Diagonalverfahren. Oder täusche ich mich da? Stört es, dass diese Nullstellen i.A. nicht durch Wurzelausdrücke darstellbar sind? D.h. sind sie zwar abzählbar aber nicht konstruierbar?
    Geändert von TomS (16.03.2013 um 21:14 Uhr)
    Gruß
    Tom

    Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

  9. #19
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Was meinst du mit algebraischer Abschluss?

    Ich denke, algebraische Zahlen, also Nullstellen von Polynomen über rationalen Zahlen, sind abzählbar gemäß einem verallgemeinerten Diagonalverfahren. Oder täusche ich mich da? Stört es, dass diese Nullstellen i.A. nicht durch Wurzelausdrücke darstellbar sind? D.h. sind sie zwar abzählbar aber nicht konstruierbar?
    Hallo Tom,

    die algebraischen Zahlen sind aus folgendem Grunde abzählbar:

    1. 2-Tupel abzählbarer Mengen sind abzählbar
    Ich skizziere das jetzt nur; man macht das so, indem man die Indizes (natürliche Zahlen) der beiden Tupel-Elemente addiert; ich verwedne an dieser Stelle statt der natürlichen Zahlen die natürlichen zahlen vereinigt mit 0, denn dann ist der Beweis analog zum Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. Dann gibt es also solche mit Indexsumme 0: (x0,y0) , solche mit Indexsumme 1: (x0,y1) und (x1,y0), solche mit Indexsumme 2: (x0,y2), (x1,y1) und (x2,y0), solche mit Indexsumme 3: (x0,y3), (x1,y2), (x2,y1) und (x3,y0) usw.

    In dieser Reihenfolge kann man die also anordnen und entsprechend durchnummerieren:
    1: (x0,y0)
    2: (x0,y1)
    3: (x1,y0)
    4: (x0,y2)
    5: (x1,y1)
    6: (x2,y0)
    7: (x0,y3)
    8: (x1,y2)
    9: (x2,y1)
    10: (x3,y0)

    usw. - jeder Tupel kommt irgendwann einmal vor und erhält somit eine Nummer.


    2. n-Tupel abzählbarer Mengen sind abzählbar
    Per vollständiger Induktion zeigt man, dass auch n-Tupel abzählbarer Grössen abzählbar sind: bei einem 3-Tupel schreibt man diesen als 2-Tupel des ersten 2-Tupels und des dritten Tupels und vom ersten 2-Tupel wissen wir ja, dass dieser abzählbar ist, somit ist dieser umgeschriebene 3-Tupel ein 2-Tupel zweier abzählbarer Grössen.

    Ersetze einfach 3 durch n+1 und 2 durch n und Du hast die vollständige Induktion.


    3. Interpetiere Polynome vom Grade n als n-Tupel
    Nun betrachten wir Polynome vom Grade n mit rationalen Koeffizienten. Diese ratioanlen Koeffizienten kann man als n-Tupel schreiben, und da die rationalen zahlen abzählbar sind enthalten diese n-Tupel also abzählbare Grössen.

    Somit ist die Menge der Polynome von Grade n abzählbar.

    Somit kann man also eine nummerierte "Liste" dieser Polynome erstellen.


    4. Hauptsatz der Algebra: Polynome vom Grade n haben höchstens n Nullstellen
    Nach dem Hauptsatz der Algebra haben solche Polynome aber höchstens sowiele Nullstellen, wie ihr Grad angibt (das mit den Vielfachheiten brauchen wir hier gar nicht); folglich kann man nun also anstelle der aufgelisteten Polynome ihre Nullstellen auflisten - auch hierin bekommt jede Nullstelle ine Nummer.


    Somit ist die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  10. #20
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    Danke Ralf, soweit ist das klar.

    Und jetzt zu ...

    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    ... sie sind zwar abzählbar aber nicht konstruierbar?
    Gruß
    Tom

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