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Thema: Über Unendlichkeiten

  1. #1
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    Standard Über Unendlichkeiten

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    Hallo zusammen,

    das Thema Doomsday-Argument wird derzeit von einer Diskussion über Unendlichkeiten "überschattet", wobei vage Vermutungen, Herumraten und mathematisch korrekte Herleitungen wild vermischt werden.

    Das bringt einfach nichts; aus diesem Grunde schlage ich vor, in diesem Thread solche Fragestellungen zu erörtern.

    Ich könnte mir folgende Agenda vorstellen:

    1.) warum ist die Gleichung 1/0 nicht definiert ?
    2.) wie gross ist die grösste natürliche Zahl ?
    3.) ist die Menge der Brüche "grösser" als die Menge der natürlichen Zahlen ?
    4.) was ist das "Kontinuum" ?
    5.) ist "minus unendlich" dasselbe wie "plus unendlich" ?
    6.) nenne mir ein Element der Menge "reelle Zahlen ohne n.-te Wurzeln"


    Freundliche Grüsse, Ralf

  2. #2
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    Standard

    Hallo Ralf,

    meiner Meinung nach gehört das in "Über den Tellerrand", es geht ja um Mathematik; aber das ist eigentlich ja egal.
    Aber du hast hier einige sehr gute Fragen gestellt.

    Ich beantworte mal deine Frage 6 mit 2,718281828459045235...

    Grüße
    SK
    "There must be some way out of here," said the joker to the thief.

  3. #3
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    Standard

    Einen Unterschied in der Behandlung von "Unendlich" ist mir schon früher öfter aufgefallen;

    Mathematische Formeln haben gelegentlich etwas als Ergebnis, das man "unendlich" nennen könnte; z.B. das besagte 1/0. Oder die größte natürliche Zahl.

    Mathematik ist aber nur ein Instrument, das wir wählen um Ergebnisse zu bekommen. Es ist IMMER fraglich, wie wir diese Ergebnisse für unsere, reale, physikalische Welt interpretieren.

    Beispiel, um zu erläutern was ich meine:

    Wir stehen vor der Frage, wieviele Äpfel die Kinder bekommen sollen.
    Nach eingehenden Studien stellen wir fest, daß wir die Zahl der Äpfel durch die Zahl der Kinder teilen müssen um die Antwort darauf zu erhalten. Das klappt jahrelang prima.
    Irgendwann nun sind die Kinder außer Haus. Es gibt keine mehr.
    Wir wenden wieder unsere tolle Formel an und sie sagt uns: Jedes Kind bekommt unendlich viele Äpfel.

    Hinsichtlich unseres Problems, für das wir diese Formel gefunden hatten, hilft es uns nicht weiter: das Ergebnis ist Quatsch, nicht anwendbar da es keine Kinder gibt.

    Jedes andere Problem, das irgendwie "unendlich" ausspuckt, läuft in unserem Universum auf etwas ähnliches hinaus: unser Universum ist evtl. selbst nicht unendlich groß und selbst wenn es das wäre, hat jemand, der jeden Tag einen Apfel ißt, zu keinem Zeitpunkt unendlich viele Äpfel gegessen.

    Mathematisch korrekte Ergebnisse, die etwas ausspucken das man als "unendlich" lesen würde, können in unserer Welt daher nie richtig sein. Sie sind entweder a) vielmehr ein Zeichen davon, daß man etwas nicht verstanden hat und für diesen Fall eine andere Formel braucht (im Fall der Kinder braucht man nun eine Formel für die Kosten von Biomüllentsorgung), oder sind b) Ergebnis einer reinen Zahlenspielerei, da "unendlich" etwas beschreibt, das es so nicht gibt - ähnlich wie man einfach "blobs" definieren könnte als "Zustand, bei dem gilt: A>B>C>A".

    Für die Ausgangsfragestellung gilt daher:

    1.) warum ist die Gleichung 1/0 nicht definiert ? - hier gilt a)
    2.) wie gross ist die grösste natürliche Zahl ? - hier gilt b)
    3.) ist die Menge der Brüche "grösser" als die Menge der natürlichen Zahlen ? - auch hier gilt b) ; mathematisch zwar lösbar und eindeutig, in unserer Welt aber ohne mir bekannte Relevanz
    4.) was ist das "Kontinuum" ? - hier gilt a) - Paradoxien wie die der Lampe, die nach sich stets halbierenden Zeitintervallen an- und ausgeschaltet wird zeigen recht eindeutig, daß zumindest die Zeit nicht kontinuierlich fließen kann, sondern (vergleichbar einem Monitorbild) Sprünge macht.
    5.) ist "minus unendlich" dasselbe wie "plus unendlich" ? - hier gilt b) ; für unsere Welt ohne Relevanz
    6.) nenne mir ein Element der Menge "reelle Zahlen ohne n.-te Wurzeln" - wieder b) ; ein rein mathematisches Problem.

    Sorry an die Mathematiker wenn ich so barsch zwischen realisierbaren und rein mathematischen Lösungen unterscheide, aber wenn man einen echten Fall betrachtet wie das des DA, und man in der mathematischen Betrachtung über Unendlichkeiten stolpert, sollte man einen Schritt zurückgehen und sich überlegen was da falsch ist oder was das für die reellen Auswirkungen bedeutet.

    Gruß Alex

  4. #4
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    Zitat Zitat von Schmidts Katze Beitrag anzeigen
    Ich beantworte mal deine Frage 6 mit 2,718281828459045235...
    Hallo Schmidts Katze,

    Du hättest es Dir einfacher machen können, wenn Du die Liouville'sche Zahl genommen hättest (0.11000100000000000000000100...) - diese Zahl hat überall eine 0 mit Ausnahme derjenigen Kommastellen, die eine Fakultät sind. Aber darauf wollte ich gar nicht hinaus - ich wollte nur ansprechen, dass es verhältnismässig einfach ist, eine überabzählbare Menge zu konstruieren, ohne so ohne weiteres ein einziges Element angeben zu können.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  5. #5
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    Zitat Zitat von Alex74 Beitrag anzeigen
    Mathematische Formeln haben gelegentlich etwas als Ergebnis, das man "unendlich" nennen könnte; z.B. das besagte 1/0.
    Hallo Alex,

    eine Lösung von 1/0 müsste wie folgt aussehen:

    1=0*x

    Ich nehme jetzt stillschweigend an, dass wir wenigstens eine Ringstruktur mit Einselement (Neutralelement der Multiplikation) vorliegen haben.

    Dann gilt:

    1 = 0*x; ersetze 0 durch 1-1
    1 = (1+(-1))*x; in einer Ringstruktur gilt das Distributivgesetz
    1 = x+(-x); in einer Ringstruktur bildet die "Addition" eine Gruppe
    1 = 0; dies folgt aus der Eindeutigkeit des additiv inversen Elementes

    und das ist nun ein Widerspruch.


    Das Einselement benötigt man übrigens streng genommen nicht, es genügt, dass der Ring per definitionem neben der 0 noch mindestens ein weiteres Element hat.

    Wie man hierbei sehen kann kommt der Begriff "unendlich" gar nicht vor und in einem endlichen Ring - beispielsweise dem Restklassenring modulo 4 - hat 1/0 einfach keine Lösung und kann auch nicht irgendwie durch "unendlich" angenähert werden.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  6. #6
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    Zitat Zitat von Alex74 Beitrag anzeigen
    Oder die größte natürliche Zahl.
    Hallo Alex,

    die natürlichen Zahlen sind bis auf Isomorphie eindeutig durch die Peano-Axiome definiert. Diese Peano-Axiome sind letztlich der Grund, warum das mit der vollständigen Induktion klappt. In der Schule lernt man, dass man bei den natürlichen Zahlen die vollständige Induktion anwenden kann und viele begreifen das nicht so recht, aber an sich ist es falsch herum, was man da in der Schule lernt: richtig wäre, zu sagen, dass die natürlichen Zahlen eine Struktur sind, in der die vollständige Induktion anwendbar ist.

    Und das aber heisst, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine nächst-grössere gibt. Hätte man also die grösste natürliche Zahl, so könnte man ihren Nachfolger nehmen, der ist nämlich eins grösser und somit kann die vorher genannte natürliche Zahl nicht deren grösstes Exemplar gewesen sein.

    Dieses Phänomen des "verkehrtherum definierens" finden wir übrigens auch bei den Bruchrechenregeln, die man in der Schule lernt: hat man Brüche, so kann man zeigen, dass die Bruchrechenregeln gültig sind.

    Auch das ist letztlich falsch herum gedacht: in Wirklichkeit sind die rationalen Zahlen eine Struktur, in der die Bruchrechenregeln gültig sind. Darauf kommt man, wenn man untersucht, wie man den Integritätsbereich der ganzen Zahlen (also Ring und Einselement und keine Nullteiler, wie man sie beispielsweise im Restklasssenring mod 4 noch antrifft (2*2=0 modulo 4)) auf einen Körper erweitern kann; dazu braucht man dann Äquivalenzklassen, da beispielsweise 1/2 = 2/4 dieselbe Zahl darstellt usw usw.

    Und da man rationale Zahlen als 2-Tupel von Zähler und Nenner schreiben kann, hat das zur Folge, dass auch die dicht in IR liegenden rationalen Zahlen nur abzählbar unendlich sind. Das ist in der Mathematik übrigens äusserst wichtig, denn dank der Dreieckungleichung kann man auf diese eise jede reelle Zahl durch zwei rationale Zahlen beliebig genau approximieren und damit das Kontinuum (also z.B. die reellen Zahlen) mit einer abzählbaren Menge "bändigen".


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (15.03.2013 um 21:41 Uhr)

  7. #7
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    Zitat Zitat von Alex74 Beitrag anzeigen
    Für die Ausgangsfragestellung gilt daher:

    1.) warum ist die Gleichung 1/0 nicht definiert ? - hier gilt a)
    2.) wie gross ist die grösste natürliche Zahl ? - hier gilt b)
    3.) ist die Menge der Brüche "grösser" als die Menge der natürlichen Zahlen ? - auch hier gilt b) ; mathematisch zwar lösbar und eindeutig, in unserer Welt aber ohne mir bekannte Relevanz
    4.) was ist das "Kontinuum" ? - hier gilt a) - Paradoxien wie die der Lampe, die nach sich stets halbierenden Zeitintervallen an- und ausgeschaltet wird zeigen recht eindeutig, daß zumindest die Zeit nicht kontinuierlich fließen kann, sondern (vergleichbar einem Monitorbild) Sprünge macht.
    5.) ist "minus unendlich" dasselbe wie "plus unendlich" ? - hier gilt b) ; für unsere Welt ohne Relevanz
    6.) nenne mir ein Element der Menge "reelle Zahlen ohne n.-te Wurzeln" - wieder b) ; ein rein mathematisches Problem.

    Sorry an die Mathematiker wenn ich so barsch zwischen realisierbaren und rein mathematischen Lösungen unterscheide, aber wenn man einen echten Fall betrachtet wie das des DA, und man in der mathematischen Betrachtung über Unendlichkeiten stolpert, sollte man einen Schritt zurückgehen und sich überlegen was da falsch ist oder was das für die reellen Auswirkungen bedeutet.
    Hallo Alex,

    es ist gut, dass Du hier mitmachst - ich glaube, da gibt es noch viel Arbeit für Dich. Aber das heben wir uns für die nächste Woche auf.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  8. #8
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    Ein Mathematiker, ein Physiker und ein Biologe stehen vor einem Fahrstuhl.
    Es steigen 9 Personen in den Fahrstuhl hinein. Nach einiger Zeit kommt der Fahrstuhl wieder und es steigen 10 Personen aus.
    Was denken sich die drei?
    Der Biologe:
    Na, die haben sich anscheinend vermehrt!
    Der Physiker:
    Naja, 15% Rechenungenauigkeit!
    Der Mathematiker:
    Wenn jetzt noch einer rein geht, ist der Fahrstuhl leer.

    Nein, das soll niemanden beleidigen, nur witzig sein und verdeutlichen das nicht jedes mathematisch korrekte Gedankenspiel realistisch ist.
    Angewandte Mathematik !=Mathematik

    mfg
    Geändert von Kibo (15.03.2013 um 22:08 Uhr)
    101010

  9. #9
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    Zitat Zitat von Alex74 Beitrag anzeigen
    Mathematisch korrekte Ergebnisse, die etwas ausspucken das man als "unendlich" lesen würde, können in unserer Welt daher nie richtig sein.
    Schon mal was vom Urknall oder von schwarzen Löchern gehört?

  10. #10
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    @ralfkannenberg:
    Die Axiome sind mir z.T. bekannt, ich habe ja auch mal angefangen das Zeug zu studieren
    Mir ging es aber nicht um Herleitungen und mathematische Terme sondern um deren Bezug zu unserer Realität.
    Aus der Definition der natürlichen Zahlen geht hervor, daß es "unendlich" viele geben sollte. Nimm das so herum, wenn Dich mein Ausdruck stört.
    Auf die Relität bezogen ist es hier z.B. sinnvoll, von "beliebig vielen" statt von "unendlich vielen" zu reden.

    Deine Rechnung bestätigt übrigens das, was ich zum Realitätsbezug einer Formel wie x/y sagte.

    Schon mal was vom Urknall oder von schwarzen Löchern gehört?
    Auch hier treten nirgendwo Unendlichkeiten auf. Das verbietet bereits die Unschärferelation.

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