Sieb des Eratosthenes

[Bernhard]

Die Idee hinter der Formel ist ganz einfach. Mit jeder Primzahl p streiche ich 1/p der übrigen Zahlen. Übrig bleiben also (p-1)/p.

Ok. Man findet die Formel auch in der Arbeit von Lehmer aus dem Jahr 1958. Es ist eine gute Näherungsformel.

[Bernhard]

Zur Approximation durch eine stetig-differenzierbare Funktion stelle ich die folgende DGL auf:
\begin{align}
\dot{\tilde\rho}\left(x\right) = -\frac 1x \tilde\rho\left(x\right)^2
\end{align}

Gibt es für das Quadrat auf der rechten Seite eine anschauliche Begründung? Falls nein, hat man immer noch die Erfolge der Funktion li(x).

Im Rahmen der vorgestellten Herleitung ist das Quadrat nicht offensichtlich.

[Major T.O.M.]

Das Quadrat kommt hinzu, weil die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl eine Primzahl ist mit rho(x-1) geschätzt werden kann.

[Bernhard]

Das Quadrat kommt hinzu, weil die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl eine Primzahl ist mit rho(x-1) geschätzt werden kann.

Ok. Der Differenzenquotient ist nur ungleich Null, wenn x eine Primzahl ist. Um die Steigung der Funktion abzuschätzen, muss rechts deshalb einmal mit rho multipliziert werden.

[Major T.O.M.]

Ja genau. Wie gesagt. Das soll kein mathematisch sauberer Beweis sein, sondern nur zur Veranschaulichung. Vielleicht kann man das auch noch irgendwie diskret veranschaulichen. Ich bin eben mehr im angewandten Bereich unterwegs. Deshalb die Idee mit der DGL. :-)

[Bernhard]

Deshalb die Idee mit der DGL. :-)

Ich finde deine anschauliche Herleitung der Funktion li(x) richtig gut. Großes Lob meinerseits.

Ausgangspunkt ist ja das https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Produkt mit s=1. Der Grenzwert strebt also nach \(1/\zeta(1)\), was damit dann, wie bereits bekannt, gegen Null strebt.

Man kann mit l'Hospital noch zeigen, dass x/ln(x) und li(x) das gleiche Grenzwertverhalten haben.

Will man tiefer in die Thematik einsteigen, lohnt sich der englischsprachige Artikel zur Primzahlfunktion: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-...ion#Exact_form , Abschnitt Exakte Form als Erklärung für diese Grafik: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-...it_Formula.gif im gleichen Artikel.

Was auch eine Motivation ergibt, sich mal die nicht-trivialen Nullstellen der zeta-Funktion anzusehen. Siehe auch Referenz 10 dieses Artikels.

[Bernhard]

Ich bin eben mehr im angewandten Bereich unterwegs.

Off topic: Ich schaue zur Zeit in dieser Hinsicht auch recht gern den Kanal Numberphile auf YouTube. Etwas langatmig, aber ganz toll der Clip zum Satz von Ptolemaios:
A Miraculous Proof (Ptolemy's Theorem) - Numberphile (nur englisch, Numberphile 09.02.2020)

EDIT: Zvezdelina Stankova zeigt in diesem Clip sehr schön, (glaube ich) auch eine Anwendung der riemannschen Zahlenkugel.

[Bernhard]

Was auch eine Motivation ergibt, sich mal die nicht-trivialen Nullstellen der zeta-Funktion anzusehen.

zB:
Berechnungsverfahren zur riemannschen Zeta-Funktion (Wikipedia)
Probabilistic models for Gram's Law (Hanga, Hughes, arxiv.org, 08.11.2019)

[Major T.O.M.]

Off topic: Ich schaue zur Zeit in dieser Hinsicht auch recht gern den Kanal Numberphile auf YouTube. Etwas langatmig, aber ganz toll der Clip zum Satz von Ptolemaios:
A Miraculous Proof (Ptolemy's Theorem) - Numberphile (nur englisch, Numberphile 09.02.2020)

EDIT: Zvezdelina Stankova zeigt in diesem Clip sehr schön, (glaube ich) auch eine Anwendung der riemannschen Zahlenkugel.

Auch sehr interessant. Ich meinte aber eigentlich, dass ich mit numerischer Mathematik zu tun habe. Genau genommen mit Differentialgleichungen und differential-algebraischen Gleichungen. Ich finde aber auch Zahlentheorie und sowas spannend.

[Bernhard]

Ich meinte aber eigentlich, dass ich mit numerischer Mathematik zu tun habe.

Beruflich - Als Student - Doktorand?

Genau genommen mit Differentialgleichungen und differential-algebraischen Gleichungen.

Ich habe in diesem Umfeld erst kürzlich gesehen, dass man sich da per numerischer Integration viel Arbeit sparen kann. Die Poissongleichung kann man zB entweder mit orthogonalen Funktionensystemen oder mit numerischer Integration lösen, wobei der zweite Ansatz deutlich schneller zu Ergebnissen führt.