Das die Eigenzeitdifferenz gleich Null ist, impliziert offensichtlich nicht, dass der raumartige Abstand ebenfalls Null ist. Er ist es offensichtlich nicht. Es handelt sich um zwei unterschiedliche Abstandsbegriffe.
woraus folgerst Du das? Ich wär mir da nicht so sicher.
Das ist elementare Geometrie.
Der invariante Abstand tau zwischen zwei Ereignissen mit zeitlichem Abstand dt und räumlichem Abstand dr berechnet sich zu
$$c^2 \, d\tau^2 = c^2 \, dt^2 - dr^2$$
Diese Definition gilt allgemein und lässt drei Kategorien zu:
1) raumartige Abstände
$$d\tau^2 < 0$$
Diese können nicht als Eigenzeit eines physikalischen Objektes realisiert sein. Bsp.: der Abstand zwischen Erde und Mond zu gleicher Koordinatenzeit, "jetzt", also dt = 0.
2) zeitartige Abstände
$$d\tau^2 > 0$$
Diese können als Eigenzeit eines physikalischen Objektes interpretiert werden. Bsp.: die Zeitdauer, die ich hier an einem festen Ort beim Schreiben dieses Beitrags sitze, also für dr = 0. In diesem Spezialfall dr = 0 sind Eigenzeit tau und Koordinatenzeit t identisch.
Wenn ein Objekt mit Geschwindigkeit v eine gewisse Strecke dr in einer gewissen Koordinatenzeit dt zurücklegt, dann gilt
$$dr = v \, dt$$
Einsetzen liefert
$$c^2 \, d\tau^2 = (c^2 - v^2) \,dt^2$$
In dieser Formel steckt letztlich die Zeitdilatation.
Damit ist auch klar, warum raumartige Abstände nicht durch Eigenzeiten eines Objektes realisiert sein können; dieses müsste sich nämlich mit v > c bewegen.
3) lichtartigen Abstände
$$d\tau = 0$$
Diese können speziell durch Photonen realisiert sein. Man setzt in die o.g. Formel einfach v = c.
Dies liefert
$$c^2 \, d\tau^2 = c^2 \, dt^2 - dr^2 = c^2 \, dt^2 - c^2 \, dt^2 = 0$$
Wir schreiben also (in unserem Koordinatensystem) den Orten der Quelle und des Empfängers eines Photons einen räumlichen Abstand
$$dr > 0 $$
zu.
Und wir schreiben (in unserer Koordinatenzeit) den Momenten der Emission sowie der Absorption einen zeitlichen Abstand
$$dt > 0$$
zu.
Dennoch vergeht für das Photon zwischen Emission und Absorption die Eigenzeit
$$d\tau = 0$$
Das ist sozusagen der Grenzfall der Zeitdilatation für v = c.
Schlussfolgerung - s.o.: Dass die Eigenzeitdifferenz dtau gleich Null ist, impliziert nicht, dass der raumartige Abstand dr ebenfalls Null ist.