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Thema: Symmetrien: Suche nach einer Theorie für Alles

  1. #21
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Vielleicht ist es ja die Idee eines allgemeinen Formalismus, der alle vier Grundkräfte zusammenfasst und beschreibt.
    Das ist grundsätzlich klar.

    Aber mir ist unklar, we Nicolai das bewerkstelligen will. Ich sehe keinen wirklichen Startpunkt und keine Strategie, sondern nur einzelne Puzzleteilchen und lose Enden. Liegt aber sicher eher an mir als an ihm :-)
    Gruß
    Tom

    Ἓν οἶδα, ὅτι οὐδὲν οἶδα.
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  2. #22
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Um das im Detail verstehen zu können, muss man jedoch zunächst die entsprechende Klassifizierung endlich-dimensionaler Lie-Algebren nach Cartan, Dynkin u.a. verstanden haben. Dann erkennt man, dass der Schritt von E8 zu E9 bzw. E10 scheitert, weil für die Cartan-Matrizen det C(E9) = 0 bzw. det C(E10) < 0 gilt. Im letzten Fall spricht Nicolai dann von imaginären Wurzeln, d.h. letztlich unendlich vielen Generatoren der Algebra E10. Diesen Teil hätten wir zunächst gemeinsam diskutieren können; für endlich-dimensionaler Lie-Algebren ist das gut nachvollziehbar..
    Für den Fall, dass man das noch vertiefen will, möchte ich noch die folgenden Links einbringen:

    Halbeinfache Lie-Algebra (WP-Artikel)
    Klassifikation von Wurzelsystemen

    Ich muss mir dabei erst mal klar darüber werden, wie die halbeinfachen Lie-Algebren dargestellt werden.
    Freundliche Grüße, B.

  3. #23
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Für den Fall, dass man das noch vertiefen will, möchte ich noch die folgenden Links einbringen:

    Halbeinfache Lie-Algebra (WP-Artikel)
    Klassifikation von Wurzelsystemen
    Danke für die Links.

    Ich hatte die Klassifikation vor vielen Jahren mal für ein Seminar durchgearbeitet. Der Weg hin zur Klassifizierung mittels Cartan-Matrix ist also klar.

    Schwieriger ist der Rückweg, also die Tatsache, dass und wie man aus der Cartan-Matrix das Wurzelsystem und damit letztlich die Lie-Algebra rekonstruieren kann.

    Im vorliegenden Kontext muss man außerdem den Weg über die E(8) hinaus verstehen. In diesem Fall ist - wie oben erwähnt - det C(E9) = 0 und det C(E10) < 0. Der von dir genannte Weg bedarf also einer Modifikation. Ich denke, dabei handelt es sich gerade um die imaginären Wurzeln. Rekonstruiert man die Algebra, so stellt man offensichtlich fest, dass die Konstruktion der verallgemeinerten Generatoren nicht abbricht, d.h. dass man unendlich viele und damit eine unendlich-dimensionale Algebra erhält.

    Das würde ich gerne genauer verstehen.

    Danach muss man sich dann der Physik zuwenden.
    Gruß
    Tom

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  4. #24
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Ich hatte die Klassifikation vor vielen Jahren mal für ein Seminar durchgearbeitet. Der Weg hin zur Klassifizierung mittels Cartan-Matrix ist also klar.
    Ausgehend von dem Buch von K. Erdmann und MJ Wildon würde ich eher die Wurzelsysteme in den Mittelpunkt stellen. Kann man diese Systeme klassifizieren, so hat man wegen des Isomorphiesatzes auch die Klassifikation der endlichen, halbeinfachen Lie-Algebren. Den Beweis des Isomorphiesatzes kann man ebenda nachlesen. Das ist aber nur ein Detail und vielleicht auch nur eine Geschmacksfrage.

    Im vorliegenden Kontext muss man außerdem den Weg über die E(8) hinaus verstehen. In diesem Fall ist - wie oben erwähnt - det C(E9) = 0 und det C(E10) < 0. Der von dir genannte Weg bedarf also einer Modifikation. Ich denke, dabei handelt es sich gerade um die imaginären Wurzeln. Rekonstruiert man die Algebra, so stellt man offensichtlich fest, dass die Konstruktion der verallgemeinerten Generatoren nicht abbricht, d.h. dass man unendlich viele und damit eine unendlich-dimensionale Algebra erhält.
    In dem genannten Buch und insbesondere in dem kleinen Abschnitt über die Kac-Moody-Algebren werden die Serre Beziehungen (Serre relations) erwähnt. Mit Hilfe dieser Beziehungen kann man scheinbar aus einer verallgemeinerten Cartan-Matrix die zugehörige (Kac-Moody) Lie-Algebra konstruieren. Mehr dazu gebe ich prinzipiell und vorerst aber nur per PN weiter um keine Kopierrechte zu verletzen, wobei das Buch die gesuchte Verallgemeinerung nicht weiter beschreibt. Im Literaturverzeichnis wird noch ein Buch von Kac erwähnt. Es handelt sich um den dritten Eintrag der Bibliography-Liste dieses Artikels: https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Kac ;-).
    Geändert von Bernhard (07.05.2017 um 17:07 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

  5. #25
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    In dem genannten Buch und insbesondere in dem kleinen Abschnitt über die Kac-Moody-Algebren werden die Serre Beziehungen (Serre relations) erwähnt. Mit Hilfe dieser Beziehungen kann man scheinbar aus einer verallgemeinerten Cartan-Matrix die zugehörige (Kac-Moody) Lie-Algebra konstruieren.
    Genau das meine ich:

    http://mathworld.wolfram.com/Chevall...Relations.html

    Diese Konstruktion muss im Vergleich zu den halbeinfachen Lie-Algebren modifiziert werden.
    Gruß
    Tom

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  6. #26
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Diese Konstruktion muss im Vergleich zu den halbeinfachen Lie-Algebren modifiziert werden.
    Bist Du sicher? Im Buch von Erdmann und Wildon steht davon nichts.
    Freundliche Grüße, B.

  7. #27
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Bist Du sicher? Im Buch von Erdmann und Wildon steht davon nichts.
    Im Falle einer Kac-Moody-Algebra ist das Wurzelsystem ggf. unendlich, d.h. dass die Rekonstruktion der Wurzeln aus den einfachen Wurzeln ggf. nicht terminiert. Das bedeutet nicht zwingend eine Modifikation der zugrundeliegenden Formeln, aber eben ggf. unendlich statt endlich viele Schritte.
    Geändert von TomS (08.05.2017 um 12:50 Uhr)
    Gruß
    Tom

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  8. #28
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Danach muss man sich dann der Physik zuwenden.
    Ich greife dem mal voraus und tippe darauf, dass die E(10) die Generatoren der lokalen Supersymmetrie-Transformation bilden.

    EDIT: Hilfreich für das Verständnis der E(10) sollte auch noch dieses pdf sein: E10 for Beginners von RW. Gebert und H. Nicolai. Dort findet man auf Seite 2 auch eine Konstruktionsvorschrift für (die gesuchte?) Kac-Moody-Algebra.
    Geändert von Bernhard (09.05.2017 um 00:07 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

  9. #29
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Ich greife dem mal voraus und tippe darauf, dass die E(10) die Generatoren der lokalen Supersymmetrie-Transformation bilden.
    Die E(10) beinhaltet keine Supersymmetrie, d.h. keine fermionischen Generatoren.
    Gruß
    Tom

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  10. #30
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Die E(10) beinhaltet keine Supersymmetrie, d.h. keine fermionischen Generatoren.
    Ok. Das war eine Spekulation, die aber vielleicht teilweise noch mit dieser Arbeit aufzuwerten wäre: The emergence of fermions and the E11 content .
    Freundliche Grüße, B.

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