Symmetrien: Suche nach einer Theorie für Alles

TomS

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Vielleicht ist es ja die Idee eines allgemeinen Formalismus, der alle vier Grundkräfte zusammenfasst und beschreibt.
Das ist grundsätzlich klar.

Aber mir ist unklar, we Nicolai das bewerkstelligen will. Ich sehe keinen wirklichen Startpunkt und keine Strategie, sondern nur einzelne Puzzleteilchen und lose Enden. Liegt aber sicher eher an mir als an ihm :)
 

Bernhard

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Um das im Detail verstehen zu können, muss man jedoch zunächst die entsprechende Klassifizierung endlich-dimensionaler Lie-Algebren nach Cartan, Dynkin u.a. verstanden haben. Dann erkennt man, dass der Schritt von E8 zu E9 bzw. E10 scheitert, weil für die Cartan-Matrizen det C(E9) = 0 bzw. det C(E10) < 0 gilt. Im letzten Fall spricht Nicolai dann von imaginären Wurzeln, d.h. letztlich unendlich vielen Generatoren der Algebra E10. Diesen Teil hätten wir zunächst gemeinsam diskutieren können; für endlich-dimensionaler Lie-Algebren ist das gut nachvollziehbar..
Für den Fall, dass man das noch vertiefen will, möchte ich noch die folgenden Links einbringen:

Halbeinfache Lie-Algebra (WP-Artikel)
Klassifikation von Wurzelsystemen

Ich muss mir dabei erst mal klar darüber werden, wie die halbeinfachen Lie-Algebren dargestellt werden.
 

TomS

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Für den Fall, dass man das noch vertiefen will, möchte ich noch die folgenden Links einbringen:

Halbeinfache Lie-Algebra (WP-Artikel)
Klassifikation von Wurzelsystemen
Danke für die Links.

Ich hatte die Klassifikation vor vielen Jahren mal für ein Seminar durchgearbeitet. Der Weg hin zur Klassifizierung mittels Cartan-Matrix ist also klar.

Schwieriger ist der Rückweg, also die Tatsache, dass und wie man aus der Cartan-Matrix das Wurzelsystem und damit letztlich die Lie-Algebra rekonstruieren kann.

Im vorliegenden Kontext muss man außerdem den Weg über die E(8) hinaus verstehen. In diesem Fall ist - wie oben erwähnt - det C(E9) = 0 und det C(E10) < 0. Der von dir genannte Weg bedarf also einer Modifikation. Ich denke, dabei handelt es sich gerade um die imaginären Wurzeln. Rekonstruiert man die Algebra, so stellt man offensichtlich fest, dass die Konstruktion der verallgemeinerten Generatoren nicht abbricht, d.h. dass man unendlich viele und damit eine unendlich-dimensionale Algebra erhält.

Das würde ich gerne genauer verstehen.

Danach muss man sich dann der Physik zuwenden.
 

Bernhard

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Ich hatte die Klassifikation vor vielen Jahren mal für ein Seminar durchgearbeitet. Der Weg hin zur Klassifizierung mittels Cartan-Matrix ist also klar.
Ausgehend von dem Buch von K. Erdmann und MJ Wildon würde ich eher die Wurzelsysteme in den Mittelpunkt stellen. Kann man diese Systeme klassifizieren, so hat man wegen des Isomorphiesatzes auch die Klassifikation der endlichen, halbeinfachen Lie-Algebren. Den Beweis des Isomorphiesatzes kann man ebenda nachlesen. Das ist aber nur ein Detail und vielleicht auch nur eine Geschmacksfrage.

Im vorliegenden Kontext muss man außerdem den Weg über die E(8) hinaus verstehen. In diesem Fall ist - wie oben erwähnt - det C(E9) = 0 und det C(E10) < 0. Der von dir genannte Weg bedarf also einer Modifikation. Ich denke, dabei handelt es sich gerade um die imaginären Wurzeln. Rekonstruiert man die Algebra, so stellt man offensichtlich fest, dass die Konstruktion der verallgemeinerten Generatoren nicht abbricht, d.h. dass man unendlich viele und damit eine unendlich-dimensionale Algebra erhält.
In dem genannten Buch und insbesondere in dem kleinen Abschnitt über die Kac-Moody-Algebren werden die Serre Beziehungen (Serre relations) erwähnt. Mit Hilfe dieser Beziehungen kann man scheinbar aus einer verallgemeinerten Cartan-Matrix die zugehörige (Kac-Moody) Lie-Algebra konstruieren. Mehr dazu gebe ich prinzipiell und vorerst aber nur per PN weiter um keine Kopierrechte zu verletzen, wobei das Buch die gesuchte Verallgemeinerung nicht weiter beschreibt. Im Literaturverzeichnis wird noch ein Buch von Kac erwähnt. Es handelt sich um den dritten Eintrag der Bibliography-Liste dieses Artikels: https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Kac ;-).
 
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TomS

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In dem genannten Buch und insbesondere in dem kleinen Abschnitt über die Kac-Moody-Algebren werden die Serre Beziehungen (Serre relations) erwähnt. Mit Hilfe dieser Beziehungen kann man scheinbar aus einer verallgemeinerten Cartan-Matrix die zugehörige (Kac-Moody) Lie-Algebra konstruieren.
Genau das meine ich:

http://mathworld.wolfram.com/Chevalley-SerreRelations.html

Diese Konstruktion muss im Vergleich zu den halbeinfachen Lie-Algebren modifiziert werden.
 

TomS

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Bist Du sicher? Im Buch von Erdmann und Wildon steht davon nichts.
Im Falle einer Kac-Moody-Algebra ist das Wurzelsystem ggf. unendlich, d.h. dass die Rekonstruktion der Wurzeln aus den einfachen Wurzeln ggf. nicht terminiert. Das bedeutet nicht zwingend eine Modifikation der zugrundeliegenden Formeln, aber eben ggf. unendlich statt endlich viele Schritte.
 
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Bernhard

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Danach muss man sich dann der Physik zuwenden.
Ich greife dem mal voraus und tippe darauf, dass die E(10) die Generatoren der lokalen Supersymmetrie-Transformation bilden.

EDIT: Hilfreich für das Verständnis der E(10) sollte auch noch dieses pdf sein: E10 for Beginners von RW. Gebert und H. Nicolai. Dort findet man auf Seite 2 auch eine Konstruktionsvorschrift für (die gesuchte?) Kac-Moody-Algebra.
 
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Bernhard

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Die Lösung hat aktuell aber noch das Problem, dass R(r) für sehr große r nicht gegen Null, sondern gegen eine Integrationskonstante konvergiert. Vielleicht liegt das daran, dass R(r) am EH divergiert, was man auch so interpretieren kann, dass es eben doch keine gemeinsame Wellenfunktion für den Innen- und Außenbereich gibt.
Auch wenn es eigentlich off-topic ist, möchte ich hier noch etwas über die oben gezeigte Gleichung mitteilen. Das Verhalten für sehr große r kann nämlich so verstanden werden, dass im stationären Fall die Wellenfunktion im gesamten Außenbereich des SL überall verschwinden muss. Das macht insofern Sinn, da auch ein einzelner Testkörper ohne Bahn-Drehimpuls radial in das SL fällt.

Interessant ist noch das weitere Ergebnis, dass es scheinbar eine stationäre und normierbare Lösung im Innenraum gibt. Das ist eine stehende Welle in einem Potentialtopf spricht dafür, dass die Vorstellung einer physikalischen Singularität bei r=0 lediglich als mathematisches Modell zu verstehen ist.

Interessant bleibt auch das Ergebnis, dass der EH nicht von innen nach außen durchtunnelt werden kann. So ganz klar, war mir das vorher nicht.
 
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Bernhard

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Diese wird jedoch zur Lösung für das Informationsparadoxon nichts beitragen.
[ot]Die Gleichung für den Radialteil eines Elektrons im Schwerefeld eines Schwarzen Loches (SL) zeigt, dass man hier (z.B. im Fall verschwindenden Bahndrehimpulses) auf dem Standardweg erst mal keine normierten Lösungen findet.

Auch das ist ein interessantes Ergebnis, zeigt es doch, dass man mit Strömen rechnen muss und das könnte bedeuten, dass ein Teil der Informationen des Elektronenfeldes außerhalb des Ereignishoriziontes (EH) einfach mit den virtuellen Elektron-Positron-Paaren des Vakuums wechselwirkt. Damit könnte man der Hawking-Strahlung eine ähnliche Funktion wie die der postulierten "Feuerwand" zuordnen. Ein Teil der Informationen des Außenfeldes wird damit wieder nach außen gestreut und ein Teil der Informationen verschwindet im SL. Bei beiden Prozessen wird die Unitarität vermutlich nicht verletzt.

Sämtliche Konjunktive in diesem Modell sollten sich per Rechnung klären lassen. :) [/ot]
 
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