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Thema: Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

  1. #21
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    Ich versuche mal, das hier aus meiner Sicht aufzurollen. Ich sage aber gleich dazu, dass mir die mathematischen Feinheiten zu hoch sind, welcher Operator sich wie nennen darf und so.
    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Jeder der drei Brüche liefert jeweils einen multiplikativen Faktor der Form "1+z" mit einem spezifischen Rotverschiebungsanteil: Aus dem ersten und dem dritten stammt die rein kinematische Dopplerverschiebungen jeweils lokal bei 1 bzw. 2, d.h. die Rotverschiebungen des tatsächlichen Beobachters ggü. dem gedachten, mitbewegten Beobachter. Aus dem zweiten Term stammt die kosmologische, nicht-lokale Rotverschiebung bzgl. zweier jeweils mitbewegter Beobachter.
    Das "kosmologisch" geht in Ordnung. Falls das hier aber konsistent zu unserer Diskussion hier sein soll, dann gibt es hier das erste Veto: Dein Gebrauch des Begriffs "kinematische Dopplerverschiebung" ist weder konsistent mir dem von mir noch mit dem von Bunn&Hogg. Du sprichst von Pekuliargeschwindigkeit, das tun weder die beiden noch ich.
    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Die erste, implizite Voraussetzung ist also, das man überhaupt mitbewegte Beobachter einführen kann; dies gilt sicher nur dann, wenn man das (homogene und isotrope) kosmologische Standardmodell annimmt.
    Das ist im Falle des Begriffs "mitbewegt" sicher richtig. Allgemein aber gilt nur, dass man irgendwelche "kanonischen" Beobachter einführen kann, also welche, die man aus irgendwelchen Gründen als "natürlich" beziehungsweise definierend ansieht. Wenn das z.B. statische wären, dann wären zumindest wir beide wieder konform mit der Definition "kinematischer" Dopplerverschiebung.
    Welches ist nun das "richtige" Bezugsystem? Beide! Fakt ist, dass man die Rotverschiebung 1+z auf hier verschiedene Weisen interpretieren kann, die eben unterschiedlichen Bezugsystemen entsprechen. Dies wird jedoch in vielen Diskussionen nicht klar, da man immer nur den Spezialfall exakter Homogenität und Isotropie betrachtet und den Spezialfall des mitbewegten Beobachters. Wenn ich jedoch Inhomogenitäten untersuche und der Tatsache Rechnung trage, dass der mitbewegte Beobachter nur zufällig eindeutig ist, weil wir nur eine physikalische Information zu seiner Definition heranziehen, nämlich den Photonenhintergrund, dann ist die genannte Faktorisierung eben nur zufällig eindeutig; die Mehrdeutigkeit führt letztlich zur Einführung unterschiedlicher Faktoren für den lokalen Dopplereffekt.
    Beide sind nicht das "richtige" Bezugssystem. Wenn man Pekuliargeschwindigkeiten von der Expansion trennen will, dann braucht man ein theoretisches Modell für die Expansion, das man als geeignete Hintergrundmetrik verwendet. Jede Ungenauigkeit in diesem Modell wird sich als Pekuliargeschwindigkeit manifestieren. Von daher ist es irreführend, wenn in der Populärwissenschaft der Eindruck erweckt wird, beides sei von vollkommen unterschiedlicher physikalischer Natur.
    Wenn du damit auf diesen Thread anspielst: Klar, die Aufteilung ist vom theoretischen Modell abhängig, sie entspricht der Trennung von Perturbation vom idealisierten Modell. Sie ist in demselben Maße unbestimmt, wie das theoretische Modell unbestimmt ist.

    Soviel erstmal zu deinem ersten Beitrag.

  2. #22
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Sorry. Aber in der Formel von Schrödinger wird keine Ableitung verwendet.
    Ich habe den Artikel nicht vorliegen. Aber ich verwende ja auch durchlegend den Paralleltransport D-1 bzw. das pfadgeordnete Produkt; ich motiviere das lediglich als Inverse zur Ableitung D.
    Gruß
    Tom

    Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
    Ludwig Wittgenstein

  3. #23
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Aber ich verwende ja auch durchlegend den Paralleltransport D-1 bzw. das pfadgeordnete Produkt;
    Dann passt es. Wir müssen hier nicht die Buchstaben korrigieren, wenn klar ist, was gemeint ist.

    Welche Vorteile soll denn die Beschreibung der Rotverschiebung von einem Punkt aus genau bringen? Ich finde das, ehrlich gesagt, eher verwirrend. Man könnte statt dem Punkt 1 ja auch den Punkt 2 als Bezugspunkt nehmen.
    Freundliche Grüße, B.

  4. #24
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    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Das "kosmologisch" geht in Ordnung. Falls das hier aber konsistent zu unserer Diskussion hier sein soll, dann gibt es hier das erste Veto: Dein Gebrauch des Begriffs "kinematische Dopplerverschiebung" ist weder konsistent mir dem von mir noch mit dem von Bunn&Hogg. Du sprichst von Pekuliargeschwindigkeit, das tun weder die beiden noch ich.
    Das ist lediglich ein Missverständnis.

    Bunn & Hogg sprechen von "Akkumulation infinitesimaler Dopplerverschiebungen entlang der lichtartigen Geodäten". Das versuche ich in einem späteren Beitrag ebenfalls zu erklären, und das passt m.E. auch zur späteren Konstruktion von D-1, die ich noch explizit vorführe.

    Der von dir zitierte Text bezieht sich jedoch lediglich auf lokale Beobachter an den Orten des Senders und des Empfängers, und die können irgendwelche lokalen Vierergeschwindigkeiten haben. Und das führt eben (in Spezialfällen) auf die Pekuliargeschwindigkeiten. Das hat nichts mit Bunn & Hogg zu tun.

    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Das ist im Falle des Begriffs "mitbewegt" sicher richtig. Allgemein aber gilt nur, dass man irgendwelche "kanonischen" Beobachter einführen kann, also welche, die man aus irgendwelchen Gründen als "natürlich" beziehungsweise definierend ansieht. Wenn das z.B. statische wären, dann wären zumindest wir beide wieder konform mit der Definition "kinematischer" Dopplerverschiebung.
    Ja.

    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Beide sind nicht das "richtige" Bezugssystem. Wenn man Pekuliargeschwindigkeiten von der Expansion trennen will, dann braucht man ein theoretisches Modell für die Expansion, das man als geeignete Hintergrundmetrik verwendet.
    Ja.

    Das wollte ich anhand einiger Beispiele noch diskutieren; z.B. Swiss-Cheese und deSitter-Schwarzschild. Da sieht man die Nicht-Eindeutigkeit.

    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Jede Ungenauigkeit in diesem Modell wird sich als Pekuliargeschwindigkeit manifestieren.
    Ja, grundsätzlich. Aber ganz sicher "jede"?

    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Von daher ist es irreführend, wenn in der Populärwissenschaft der Eindruck erweckt wird, beides sei von vollkommen unterschiedlicher physikalischer Natur.
    Ja.

    Meine ganze Diskussion dreht sich gerade darum.

    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Wenn du damit auf diesen Thread anspielst: Klar, die Aufteilung ist vom theoretischen Modell abhängig, sie entspricht der Trennung von Perturbation vom idealisierten Modell. Sie ist in demselben Maße unbestimmt, wie das theoretische Modell unbestimmt ist.
    Ja, ich spiele auf einige lose Enden die in diesem Thread an, die wir dort leider nicht zusammenknüpfen konnten.

    Vielen Dank für deine Antwort!
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 23:29 Uhr) Grund: typos
    Gruß
    Tom

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  5. #25
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Dann passt es. Wir müssen hier nicht die Buchstaben korrigieren, wenn klar ist, was gemeint ist.
    Wieso? D ist eine Ableitung, D-1 die Inverse. Statt einem gewöhnlichen Integral wie bei

    $$ \partial_\lambda^{-1} = \int d\lambda $$

    benötigst du hier eben

    $$ (\partial_\lambda - A)^{-1} = \text{P}\,\text{exp}\left[ \int d\lambda \, A \right] $$

    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Welche Vorteile soll denn die Beschreibung der Rotverschiebung von einem Punkt aus genau bringen? Ich finde das, ehrlich gesagt, eher verwirrend. Man könnte statt dem Punkt 1 ja auch den Punkt 2 als Bezugspunkt nehmen.
    Keine Vorteile, nur eine mathematisch äquivalente Darstellung, die jedoch eine andere Interpretation nahelegt.

    Der Unterschied ist recht einfach:

    D-1 wirkt auf k: Man transportiert k entlang C von 1 nach 2; in der Standardkosmologie interpretiert man dies als Akkumulation von Frequenzverschiebungen aufgrund der Expansion des Unversums.

    D-1 wirkt auf u2: Man transportiert stattdessen u2 entlang C von 2 nach 1; man vergleicht demnach nicht mehr infinitesimal verschiedene k's in infinitesimal benachbarten Punkten entlang C, sondern man vergleicht infinitesimal verschiedene u's in infinitesimal benachbarten Punkten entlang C, mit jeweils identischem k. Das entspricht aber genau der Idee der Dopplerverschiebung: das selbe k wird von unterschiedlich bewegten Beobachtern unterschiedlich wahrgenommen.
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 23:54 Uhr)
    Gruß
    Tom

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  6. #26
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    $$ \partial_\lambda^{-1} = \int d\lambda $$
    OK. Jetzt hat es "klick" gemacht.
    Geändert von Bernhard (07.01.2017 um 23:56 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

  7. #27
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Die Autoren gehen auch auf den Fall beliebiger Raumzeiten ein. Sie beschreiben dazu, dass sie entlang des Lichtweges ein Feld von Beobachtern definieren, die jeweils ein infinitesimales dz messen. Die Akkumulation all dieser (1+dz) als Produkt führt zur gesamten Rotverschiebung 1+z. Die Rechnung wird nicht ausgeführt, aber es ist klar, wie dies mittels des o.g. pfadgeordneten Produktes funktioniert: man schiebt für jeden einzelnen Faktor einen Beobachter ein.
    Ich habe jetzt versucht, das durchzuführen, und ich muss leider sagen, dass der Zusammenhang leider nicht so klar ist.

    Das Problem, einen Zusammenhang herzustellen, besteht in folgendem.

    Nehmen wir die Rotverschiebung von b bzgl. a, also

    $$ 1+z_{ab}= \frac{\langle u_a, k_a \rangle}{\langle u_b, k_b \rangle} $$

    Wir führen nun einen Beobachter bei einem zwischen a und b liegenden Punkt c ein:

    $$ 1+z_{ab}= \frac{\langle u_a, k_a \rangle}{\langle u_c, k_c \rangle} \frac{\langle u_c, k_c \rangle}{\langle u_b, k_b \rangle} = (1+z_{ac})\,(1+z_{cb}) $$

    Nun betrachten wir die Struktur des pfadgeordneten Produktes für den Weg C von a nach b über den Punkt c.

    $$ (D^{-1})_{ab} = (D^{-1})_{ac} \, (D^{-1})_{cb} $$

    Zunächst sieht das strukturell identisch aus.

    Allerdings kann man in der zweiten Formulierung keinen Beobachter bei c mit uc einschieben, da über die Lorentz-Indizes (die ich nicht explizit geschrieben habe) bei c bereits summiert wurde. D.h. aus dem Produkt über die D-1 der zweiten Darstellung folgt nicht das Produkt über die (1+z) der ersten Darstellung.

    Andererseits kann die strukturelle Ähnlichkeit kein Zufall sein. Sieht jemand, wie's dennoch funktioniert?
    Geändert von TomS (08.01.2017 um 01:11 Uhr)
    Gruß
    Tom

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  8. #28
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    Mir fällt da momentan nur eine Kleinigkeit auf:
    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    $$ (D^{-1})_{ab} = (D^{-1})_{ac} \, (D^{-1})_{cb} $$
    Muss das nicht wie folgt heißen:
    $$ (D^{-1})_{ab} = (D^{-1})_{cb} \, (D^{-1})_{ac} $$
    Dann kann das Produkt der Operatoren von rechts nach links gelesen werden und damit kommt dann auch der Operator auf der linke Seite der Gleichung wieder heraus.
    Freundliche Grüße, B.

  9. #29
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    Du hast recht, die Reihenfolge ist falsch.

    Für Propagation von a nach c und weiter nach b muss es

    $$ (D^{-1})_{a \to b} = (D^{-1})_{c \to b} \, (D^{-1})_{a \to c} $$

    heißen.

    Ändert aber leider nichts an meinem Problem.
    Gruß
    Tom

    Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
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  10. #30
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Ändert aber leider nichts an meinem Problem.
    Das ist dann aber kein mathematisches Problem, sondern eines der Interpretation, da ja die Bahn von a nach b und damit auch dessen Tangentialvektor (bei jeder hinreichend gutmütigen Metrik) eindeutig gegeben ist.

    Ich würde daraus dann schließen, dass die Interpretation der Rotverschiebung als reiner Dopplereffekt nicht ganz korrekt ist. Es wie bei der Krümmung einer Fläche. Die kann man auch nicht wegdiskutieren, weil sie eben prinzipiell messbar ist. Im Fall der Rotverschiebung ist es die Ameise auf dem Gummiband. Die Ameise muss von a nach b eben wirklich weiter gehen, wenn an dem Gummiband gezogen wird.
    Geändert von Bernhard (08.01.2017 um 11:59 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

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