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Thema: Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

  1. #11
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    iv) Im Fall der Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer vorgegebenen Kurve bleibt die Norm, d.h. die Länge des Vektors erhalten.
    Richtig, Danke.

    Im konkreten Fall der Rotverschiebung bedeutet das, dass k || v und dass k lichtartig bleibt.

    (irgendwie klar, aber gut, dass du nochmal explizit darauf hinweist)
    Gruß
    Tom

    Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
    Ludwig Wittgenstein

  2. #12
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    Jetzt sollten wir nochmal über die Frage der Interpretation nachdenken.

    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Die allgemeingültige Formel für die Rotverschiebung lautet damit

    $$1+z = \frac{\langle u_1, k_1\rangle}{\langle u_2, D^{-1}\,k_1\rangle}$$
    Das interessante ist, dass man in der Bilinearform <,> den Paralleltransport D-1 auf die andere Seite bringen kann; das entspricht in etwa der Adjungierten zu D-1. Ich bin mir aber über die mathematischen Feinheiten noch nicht ganz im Klaren, deswegen verwende ich ein anderes Symbol:

    $$ \langle u_2, D^{-1}\,k_1\rangle = \langle \bar{D}^{-1}\,u_2,k_1\rangle = \langle \bar{u}_1,k_1\rangle $$

    Was bedeutet das?

    Anstatt den Wellenvektor k von 1 nach 2 zu transportieren, transportieren wir jetzt die Geschwindigkeit u2 zum Punkt 1. In der Formel für 1+z treten nun ausschließlich Terme auf, die am Punkt des Senders definiert sind; wir haben den realen Beobachter bei 2 durch einen gedachten Beobachter bei 1 ersetzt. D.h. in der Formel

    $$1+z = \frac{\langle u_1, k_1\rangle}{\langle \bar{u}_1,k_1\rangle}$$

    wird eine rein lokale Dopplerverschiebungen zwischen diesen beiden Beobachtern, dem realen sowie dem gedachten definiert!

    In diesem Sinne ist die Interpretation der kosmologischen Rotverschiebung aufgrund einer Expansion nicht unumstritten. Zum einen tritt in den allgemeinen Formeln überhaupt kein Term auf, der eine Expansion beschreibt, und zum anderen existiert eine vollständig äquivalente Darstellung, gemäß derer die Rotverschiebung als Dopplerverschiebungen dargestellt werden kann.


    An dieser Stelle sei auf ein Paper von Bunn und Hogg verwiesen, in den die Autoren zu einer ähnlichen Schlussfolgerung für den Spezialfall des homogen und isotrop expandierenden Universums gelangen: die Rotverschiebung ist eine Akkumulation infinitesimaler Dopplerverschiebungen:

    https://arxiv.org/abs/0808.1081
    The kinematic origin of the cosmological redshift


    Emory F. Bunn, David W. Hogg
    (Submitted on 7 Aug 2008 (v1), last revised 14 Apr 2009 (this version, v2))
    A common belief about big-bang cosmology is that the cosmological redshift cannot be properly viewed as a Doppler shift (that is, as evidence for a recession velocity), but must be viewed in terms of the stretching of space. We argue that, contrary to this view, the most natural interpretation of the redshift is as a Doppler shift, or rather as the accumulation of many infinitesimal Doppler shifts. The stretching-of-space interpretation obscures a central idea of relativity, namely that it is always valid to choose a coordinate system that is locally Minkowskian. We show that an observed frequency shift in any spacetime can be interpreted either as a kinematic (Doppler) shift or a gravitational shift by imagining a suitable family of observers along the photon's path. In the context of the expanding universe the kinematic interpretation corresponds to a family of comoving observers and hence is more natural.


    Die Autoren gehen auch auf den Fall beliebiger Raumzeiten ein. Sie beschreiben dazu, dass sie entlang des Lichtweges ein Feld von Beobachtern definieren, die jeweils ein infinitesimales dz messen. Die Akkumulation all dieser (1+dz) als Produkt führt zur gesamten Rotverschiebung 1+z. Die Rechnung wird nicht ausgeführt, aber es ist klar, wie dies mittels des o.g. pfadgeordneten Produktes funktioniert: man schiebt für jeden einzelnen Faktor einen Beobachter ein. Die Autoren argumentieren nun, dass die Interpretation von 1+z als Akkumulation von Dopplerverschiebung oder als Veschiebung aufgrund der Expansion ausschließlich von der Konstruktion der Beobachter abhängt. Je nach Wahl des Beobachterfeldes darf man von dem einen oder dem anderen reden! Das ist - wenn man das pfadgeordneten Produkt betrachtet - auch nachvollziehbar, da dieses selbst weder das eine noch das andere enthält. Die Interpreration der kosmologischen Rotverschiebung verursacht durch Expansion lehnen die Autoren ab, da sie im Kontext der Kosmologie mitbewegte Beobachter und damit infinitesimale Dopplerverschiebungen als natürlicher ansehen.

    Bunn und Hogg benennen auch die dritte Alternative, nämlich keine Interpretation von 1+z. Ich tendiere dazu, mit dieser dritten Alternative zu starten, und jede Interpretation immer in einen speziellen Kontext zu stellen.
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 13:38 Uhr) Grund: Hinweis auf Bunn und Hogg
    Gruß
    Tom

    Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
    Ludwig Wittgenstein

  3. #13
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    iii) im Falle von Liegruppen, z.B. SU(N) für Eichtheorien
    Der Vollständigkeit halber möchte ich dem (off topic) hinzufügen, dass man hier eigentlich Prinzipalfaserbündel verwendet. Der Pfad verläuft dann wie gewohnt in der Mannigfaltigkeit (normalerweise der |R^4) und es gibt dann neben dem benutzten Tangentialraum zusätzlich in jeder Faser auch noch die benötigte Liegruppe .

    Sonst wird es für den Anfänger zu unübersichtlich.
    Freundliche Grüße, B.

  4. #14
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Der Vollständigkeit halber möchte ich dem (off topic) hinzufügen, dass man hier eigentlich Prinzipalfaserbündel verwendet. Der Pfad verläuft dann wie gewohnt in der Mannigfaltigkeit (normalerweise der |R^4) und es gibt dann neben dem benutzten Tangentialraum zusätzlich in jeder Faser auch noch die benötigte Liegruppe .

    Sonst wird es für den Anfänger zu unübersichtlich.
    Und das ist für den Anfänger übersichtlicher?

    Sorry, nur Spaß, musste sein.

    Hinweis: ich habe noch am vorigen Beitrag editiert und diesen erweitert.
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 13:25 Uhr) Grund: typo
    Gruß
    Tom

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  5. #15
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Und das ist für den Anfänger übersichtlicher?
    Na, dann korrigiere ich das mal zu "besser nachvollziehbar" ;-) .
    Geändert von Bernhard (07.01.2017 um 17:32 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

  6. #16
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    In der Formel für 1+z treten nun ausschließlich Terme auf, die am Punkt des Senders definiert sind
    Der Nenner im rechten Teil der ursprünglichen Gleichung kann offensichtlich vom Ort des Beobachters 2 abhängen, wie man an konkreten Beispielen wie der homogenen Expansion zeigen kann. Die Rotverschiebung hängt in diesen Fällen also zweifelsfrei vom Ort des zweiten Beobachters ab. Formt man die Gleichung dann um, darf sich daran nichts ändern.

    Das \(\bar{u}_1\) muss in diesen Fällen also ebenfalls vom Ort des zweiten Beobachters abhängen, weil \(k_1\) nicht vom Ort des Beobachters 2 abhängt.
    Geändert von Bernhard (07.01.2017 um 17:30 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

  7. #17
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Der Nenner im rechten Teil der ursprünglichen Gleichung kann offensichtlich vom Ort des Beobachters 2 abhängen, wie man an konkreten Beispielen wie der homogenen Expansion zeigen kann. Die Rotverschiebung hängt in diesen Fällen also zweifelsfrei [von Größen am] Ort des zweiten Beobachters ab. Formt man die Gleichung dann um, darf sich daran nichts ändern.

    Das \(\bar{u}_1\) muss in diesen Fällen also ebenfalls [von Größen am] Ort des zweiten Beobachters abhängen, weil \(k_1\) nicht vom Ort des Beobachters 2 abhängt.
    [von Größen am] von mir geändert.

    Ich war unpräzise: sämtliche mathematischen Objekte sind am Ort 1 definiert; d.h. es handelt sich um Vektoren bei 1, bzw. um Elemente des Tangentialraumes an 1. Nicht-lokale Objekte wie D-1 sowie Objekte bei 2 wie u2 sind eliminiert. 1+z ist mathematisch gesehen ein lokales Objekt bei 1.

    Aber natürlich resultiert aus der Definition implizit die Abhängigkeit von 2 bzw. sogar von ganz C, denn in

    $$ \bar{u}_1 = \bar{D}^{-1}_C\,u_2 $$

    nimmt man die Vierergeschwindigkeit des Beobachters bei 2 und transportiert sie entlang C zurück nach 1. Der resultierende Vierervektor ist definiert bei 1, hängt jedoch vom ursprünglichen Vierervektor bei 2 sowie der Geodäten C von 1 nach 2 ab.

    Letztlich führt dies auf eine gedachte Frequenz

    $$ \bar{\omega}_1 = \langle \bar{u}_1,k\rangle $$

    die der mittels eines mathematischen Kunstgriffs konstruierte, gedachte Beobachter, der den realen Beobachter bei 2 ersetzt, sehen würde

    Und natürlich entspricht die gedachte Frequenz bei 1 der realen Frequenz bei 2

    $$ \bar{\omega}_1 = \omega_2 $$

    denn dies ist ja das Ziel der Konstruktion.
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 19:35 Uhr) Grund: Präzisierung
    Gruß
    Tom

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    Ludwig Wittgenstein

  8. #18
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    Hallo Tom,

    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Die Rotverschiebung z bzgl. zweier Beobachter 1 und 2 (für Sender bzw. Empfänger) mit lokaler Vierergeschwindigkeiten u_1 bzw. u_2 für ein Lichtsignal mit Vierer-Wellenvektor k beim Sender 1 ist allgemein definiert als

    $$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$

    D steht für die kovariante Richtungsableitung entlang der lichtartigen Geodäten zwischen 1 und 2;
    dazu muss ich nun leider erst nachträglich den folgenden Vorschlag, bzw. die folgende Kritik einbringen. D^-1 ist hier natürlich nicht die kovariante Richtungsableitung sondern eine Parallelverschiebung des Tangentialvektors k vom Punkt 1 nach 2.

    Die kovariante Richtungsableitung ist ein lokaler Operator. Er wird in der Literatur bekanntlich mit Hilfe der kovarianten Ableitung eingeführt.

    Die Parallelverschiebung ist dagegen eher so etwas wie ein globaler Operator, weil die Wirkung dieses Operators vom Weg abhängt und eben auch von den Punkten 1 und 2. Ich persönlich finde deswegen die Bezeichnung D ungünstig, weil damit so etwas wie eine Differentiation suggeriert wird, die hier aber nicht ausreichend ist. Es handelt sich eher um einen Integraloperator.

    Abgesehen davon kann man trotzdem (wie gewünscht) den Operator der Parallelverschiebung einführen und dann auch den von Dir aufgeschriebenen Formalismus für das pfadgeordnete Produkt verwenden.
    Freundliche Grüße, B.

  9. #19
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Hallo Tom,


    dazu muss ich nun leider erst nachträglich den folgenden Vorschlag, bzw. die folgende Kritik einbringen. D^-1 ist hier natürlich nicht die kovariante Richtungsableitung sondern eine Parallelverschiebung des Tangentialvektors k vom Punkt 1 nach 2 ...
    Das verstehe ich jetzt überhaupt nicht. Mein ganzer Beitrag dreht sich darum, dass D die Ableitung und D-1 das inverse bezeichnet. Lies bitte nochmal nach, was ich geschrieben habe.
    Gruß
    Tom

    Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
    Ludwig Wittgenstein

  10. #20
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Mein ganzer Beitrag dreht sich darum, dass D die Ableitung und D-1 das inverse bezeichnet.
    Sorry. Aber in der Formel von Schrödinger wird keine Ableitung verwendet.
    Freundliche Grüße, B.

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