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Thema: Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

  1. #1
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    Standard Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

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    Ich möchte die Diskussion zu diesem Thema nochmals aufgreifen. Ich habe dazu einige Ideen und mich würde eure Meinung interessieren.

    Grundsätzlich möchte ich eine Interpretation immer ausgehend von physikalischen Beobachtungen sowie der allgemeingültigen theoretischen Beschreibung her formulieren. Kurz zur Wiederholung: Die Rotverschiebung z bzgl. zweier Beobachter 1 und 2 (für Sender bzw. Empfänger) mit lokaler Vierergeschwindigkeiten u_1 bzw. u_2 für ein Lichtsignal mit Vierer-Wellenvektor k beim Sender 1 ist allgemein definiert als

    $$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$

    D steht für die kovariante Richtungsableitung entlang der lichtartigen Geodäten zwischen 1 und 2; ihr Inverses ist formal mittels eines pfadgeordneten Produktes definiert. Dies ermöglicht es mathematisch, den Wellenvektor k entlang der Geodäten zu verschieben und so den Effekt der Raumzeit auf k zu berechnen. Falls Interesse an der präzisen mathematischen Definition von D und D-1 besteht, kann ich diese gerne nachliefern; zunächst benötigen wir sie nicht.

    Nun führen wir zuerst zwei gedachte, bei 1 und 2 lokalisierte, mitbewegte Beobachter ein; ich kennzeichne dies durch einen Querstrich; die Formel lautet dann

    $$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle\bar{u}_1,k\rangle}\, \frac{\langle\bar{u}_1,k\rangle}{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}\, \frac{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle} $$

    Jeder der drei Brüche liefert jeweils einen multiplikativen Faktor der Form "1+z" mit einem spezifischen Rotverschiebungsanteil: Aus dem ersten und dem dritten stammt die rein kinematische Dopplerverschiebungen jeweils lokal bei 1 bzw. 2, d.h. die Rotverschiebungen des tatsächlichen Beobachters ggü. dem gedachten, mitbewegten Beobachter. Aus dem zweiten Term stammt die kosmologische, nicht-lokale Rotverschiebung bzgl. zweier jeweils mitbewegter Beobachter.

    Die erste, implizite Voraussetzung ist also, das man überhaupt mitbewegte Beobachter einführen kann; dies gilt sicher nur dann, wenn man das (homogene und isotrope) kosmologische Standardmodell annimmt. Die zweite Näherung wäre nun, diesem Standardmodell eine kleine lokale Inhomogenität aufzuprägen, die es erlaubt, eine gravitative Rotverschiebung einzuführen und so den zweiten Term näherungsweise nochmals zu faktorisieren.

    Beide Spezialfälle sind immer dann problematisch, wenn man explizit Abweichungen von der Homogenität bzw. Isotropie untersuchen will. Bereits bei der Einführung der lokalen Dopplerverschiebungen sehe ich folgendes Problem: diese erfordert einen mitbewegten Beobachter. Im Falle exakter Homogenität und Isotropie ist das klar. Nun schauen wir uns mal die Untersuchung der Fluktuationen der kosmologischen Hintergrundstrahlung an. Diese sind ein Indiz für kleine Abweichungen von der exakter Homogenität und Isotropie. Man definiert die "mitbewegten Beobachter bzgl. der CMB" so, dass das Dipolmoment der CMB gerade verschwindet; man rechnet also die Bewegung der Erde ggü. der CMB heraus. Dies liefert ein einziges, speziell ausgezeichnetes Bezugsystem (s.o. die Formel).

    Wären wir nun in der Lage, z.B. den kosmischen Neutrinohintergrund ohne Sonnenneutrinos u.a. (!) ebenfalls zu messen, so würde uns dieser ein anderes derart ausgezeichnetes Bezugsystem liefern. Diese beiden Bezugsysteme wären i.A. nicht identisch; die Neutrinos stammen aus einem "früheren Universum" als die Photonen, und so wären aufgrund ihrer Masse "länger" aus Sicht unseres Bezugsystems unterwegs gewesen. Die Darstellung der beobachteten Photonfrequenz omega bzgl. dieser unterschiedlichen Bezugsysteme wäre dann

    $$ \omega = \langle u_1,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\nu,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\nu,k\rangle $$

    gamma und nu stehen für Photonen bzw. Neutrinos.

    Welches ist nun das "richtige" Bezugsystem? Beide! Fakt ist, dass man die Rotverschiebung 1+z auf hier verschiedene Weisen interpretieren kann, die eben unterschiedlichen Bezugsystemen entsprechen. Dies wird jedoch in vielen Diskussionen nicht klar, da man immer nur den Spezialfall exakter Homogenität und Isotropie betrachtet und den Spezialfall des mitbewegten Beobachters. Wenn ich jedoch Inhomogenitäten untersuche und der Tatsache Rechnung trage, dass der mitbewegte Beobachter nur zufällig eindeutig ist, weil wir nur eine physikalische Information zu seiner Definition heranziehen, nämlich den Photonenhintergrund, dann ist die genannte Faktorisierung eben nur zufällig eindeutig; die Mehrdeutigkeit führt letztlich zur Einführung unterschiedlicher Faktoren für den lokalen Dopplereffekt.

    Mich würden eure Meinungen dazu interessieren.

    In einem zweiten Beitrag möchte ich die Problematik der Faktorisierung des nicht-lokalen Terms diskutieren.
    Geändert von TomS (06.01.2017 um 12:19 Uhr)
    Gruß
    Tom

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  2. #2
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    Hi Tom,

    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Mich würden eure Meinungen dazu interessieren.
    dieser Beitrag gefällt wohl jedem Leser, der sich bereits mit der sehr allgemein verwendbaren Formel, die angeblich zuerst von E. Schrödinger veröffentlicht wurde, beschäftigt hat.

    Ein Kritikpunkt ist eventuell die fehlende Machbarkeitseinschätzung der Vermessung des Neutrinohintergrundes. Meines Wissens nach kann die aktuelle Neutrinophysik das noch nicht leisten, allerdings arbeite ich auch nicht auf diesem Gebiet, weswegen diese Aussage gut falsch sein kann.
    Freundliche Grüße, B.

  3. #3
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Hi Tom,


    dieser Beitrag gefällt wohl jedem Leser, der sich bereits mit der sehr allgemein verwendbaren Formel, die angeblich zuerst von E. Schrödinger veröffentlicht wurde, beschäftigt hat.
    Danke!

    Ich hatte das vor Jahren mal irgendwo gelesen und mir selbst wieder hergeleitet. Ich stelle noch ein paar mehr Formeln ein, wäre schön, wenn du die prüfen könntest.

    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Ein Kritikpunkt ist eventuell die fehlende Machbarkeitseinschätzung der Vermessung des Neutrinohintergrundes. Meines Wissens nach kann die aktuelle Neutrinophysik das noch nicht leisten, allerdings arbeite ich auch nicht auf diesem Gebiet, weswegen diese Aussage gut falsch sein kann.
    Ich denke nicht, dass mein Vorschlag praktisch umsetzbar ist. Hättest du eine Idee für eine andere Definition eines Bezugssystems?

    Mir ging es ja im wesentlichen darum, zu zeigen, dass diese "Eindeutigkeit" eher zufällig ist. Ja, sie passt natürlich zu den Beobachtungen in der Astronomie, aber dies sollte nicht den Blick darauf verstellen, dass die Interpretation nur unter diesen impliziten Annahmen gültig ist. Ich habe nichts gegen die Interpretation, ich möchte nur die Annahmen explizit machen.
    Gruß
    Tom

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  4. #4
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    Ich stelle noch ein paar mehr Formeln ein, wäre schön, wenn du die prüfen könntest.
    Ich kann das probieren, wenngleich mit der Formel von Schrödinger eigentlich ja alle benötigten Fälle abgedeckt sein sollten. Weitere Formeln können da eigentich nur noch Spezialfälle davon sein.

    Hättest du eine Idee für eine andere Definition eines Bezugssystems?
    Denkbar wäre noch ein Gravitationswellenhintergrund, der dann aber noch schwerer auszumessen ist. Einen Fehlversuch dazu gab es ja bereits.

    Mir ging es ja im wesentlichen darum, zu zeigen, dass diese "Eindeutigkeit" eher zufällig ist.
    Das ist zwar richtig, trotzdem ist dieser "Zufall" doch eine recht praktische Diskussionsgrundlage ;-) .
    Freundliche Grüße, B.

  5. #5
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Ich kann das probieren, wenngleich mit der Formel von Schrödinger eigentlich ja alle benötigten Fälle abgedeckt sein sollten.
    Die Formel von Schrödinger der ist m.E. allgemeingültig; mir ging es lediglich um die Erklärung, was sie bedeutet (und ja, ich hatte seinen Artikel schon mal gelesen).

    Lokal messbare Frequenz omega und Rotverschiebung z hatten wir ja schon:

    $$\omega = (u,k) = u_\mu k^\mu$$

    $$1+z = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{\langle u_1,k_1 \rangle}{\langle u_2,k_2\rangle}$$

    Als nächste benötigen wir den Zusammenhang A, die kovariante Richtungsableitung D sowie die Parallelverschiebung des Wellenvektors k mittels der Christoffel-Symbole Gamma

    $$A^\mu_\rho = -\Gamma^\mu_{\rho\sigma} \, \dot{x}^\sigma$$

    $$(Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0$$

    entlang der lichtartigen Geodäten x

    $$\dot{v}^\mu + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \, v^\rho \, v^\sigma = 0$$

    wobei v die Geschwindigkeit (Ableitung) bzgl. des affinen Parameters lambda entlang x bezeichnet

    $$v^\mu = \dot{x}^\mu = \partial_\lambda \, x^\mu(\lambda)$$

    k steht in jedem Punkt senkrecht auf den sich ausbreitenden Wellenfronten. x bzw. v erfüllt eine lichtartige Geodätengleichung, und der Wellen- bzw. Impulsvektor k eines Photons entlang x zeigt immer parallel zum Geschwindigkeitsvektor v; v und k sind in jedem Punkt Tangentenvektoren zur lichtartigen Geodäten x.

    D.h. es gilt

    $$k^\mu = \kappa \, v^\mu$$

    für eine zunächst unbestimmte Konstante kappa.

    Da x die Geodätengleichung löst, ist v außerdem eine spezielle Lösung der Gleichung zur Paralleltransport (es handelt sich um den Paralleltransport des Tangentenvektors v an x). Diese Gleichung ist aber linear im zu verschiebenden Vektor, d.h. mit v ist auch

    $$k^\mu = \kappa \,v^\mu$$

    eine Lösung zum Paralleltransport (nicht jedoch der Geodätengleichung).

    Für die Frequenz folgt also

    $$\omega = u_\mu \, k^\mu = \kappa\,u_\mu\,v^\mu$$

    Die Konstante kappa fällt bei der Bildung des Quotienten heraus und es folgt

    $$1+z = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{\langle u_1,k_1 \rangle }{\langle u_2,k_2 \rangle } $$

    Daraus folgt, dass die Rotverschiebung z alleine durch die lokal definierten Vierergeschwindigkeiten u zweier Beobachter i = 1,2 sowie die lichtartige Geodäte x bzw. den Tangentenvektor v gegeben ist. Letzterer kodiert die Effekte der Raumzeitkrümmung.



    Formal kann der Paralleltransport für k

    $$(Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0$$

    mittels eines sogenannten pfadgeordneten Produktes gelöst werden. Ich verwende als Notation die Umkehrung der oben eingeführten Ableitung D entlang der Geodäten C. Damit folgt der Wellenzahlvektor k an einem beliebigen Punkt auf der Geodäten aus dem Wellenzahlvektor im Startpunkt

    $$k^\mu_2 = (D^{-1}\,k_1)^\mu$$

    Die allgemeingültige Formel für die Rotverschiebung lautet damit

    $$1+z = \frac{\langle u_1, k_1\rangle}{\langle u_2, D^{-1}\,k_1\rangle}$$
    Geändert von TomS (06.01.2017 um 17:21 Uhr)
    Gruß
    Tom

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  6. #6
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    Die Differentialgleichung

    $$ (Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0 $$

    kann i.A. nicht geschlossen gelöst werden. Zum ersten ist A eine Matrix, zum zweiten ist die Ableitung als Richtungsableitung entlang der Geodäten C zu verstehen, und zum dritten ist A eine Funktion der Raumzeit entlang C.

    Betrachten wir einfachere Probleme.


    Der einfachste Fall wäre

    $$ \dot{f} - a f = 0 $$

    für eine skalare Funktion von lambda und eine Konstante a.

    Die Lösung dieser Gleichung lautet

    $$ f = f_0 \, e^{a\lambda} $$


    Der nächstschwierigere Fall ist

    $$ \dot{f} - a(\lambda)\,f = 0 $$

    mit einer beliebigen Funktion a.

    Die Lösung lautet

    $$ f = f_0 \, e^{\int_0^\lambda d\lambda^\prime \, a(\lambda^\prime)} $$

    wie man durch Differenzieren der e-Funktion und Nachdifferenzieren des Exponenten nachprüft.

    Im Exponenten steht ein Integral, d.h. eine Summe über einzelne infinitesimale Terme. Diese kann man als Produkt schreiben

    $$ e^{\int_0^\lambda d\lambda^\prime \, a(\lambda^\prime)} = e^{\sum_n d\lambda_n a(\lambda_n)} = \prod_n e^{d\lambda_n a(\lambda_n)} $$

    Da jeder Term infinitesimal ist, darf man eine Taylorentwicklung bis zum ersten Glied durchführen und erhält

    $$ e^{\int_0^\lambda d\lambda^\prime \, a(\lambda^\prime)} = \prod_n [1 + d\lambda_n a(\lambda_n)] $$

    wobei die lambda_n entlang der x-Achse von 0 bis lambda laufen und

    $$\lambda_{n+1} = \lambda_n + d\lambda $$ gilt.


    Dieses Produkt ist im o.g. Fall natürlich nicht notwendig, da ja eine exakte Lösung bekannt ist. Diese Darstellung erlaubt es jedoch, auch den allgemeinen Fall

    $$ (Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0 $$

    zu lösen.

    Man definiert formal

    $$ D^{-1}_C[A] = \prod_n [1 + d\lambda_n A(\lambda_n)] $$

    wobei lambda jetzt den affinen Parameter entlang der Geodäten C bezeichnet, und wobei A den eingangs definierten matrix-wertigen Zusammenhang darstellt (die Indizes habe ich unterdrückt; die "1" ist als Einheitsmatrix aufzufassen). Dies ist das sogenannte pfadgeordnete Produkt entlang C über das Feld A. Es liefert eine formale Lösung der eingangs genannten Gleichung. Das pfadgeordnete Produkt "sammelt" dabei gewissermaßen infinitesimale Beiträge von A entlang des "Pfades" C auf und enthält deswegen die Effekte der in A kodierten Raumzeit, d.h. die infinitesimale Veränderungen des Vektors k entlang C.

    Zuletzt stelle ich noch den Zusammenhang zum gewöhnlichen Kurvenintegral her. Dazu benutze ich die o.g. Definition für A und schreibe

    $$d\lambda \, A^\mu_\rho = - d\lambda \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\,\frac{dx^\sigma}{d\lambda } = - dx^\sigma \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma}$$

    Dies liefert das pfadgeordnete Produkt, jetzt dargestellt mittels infinitesimaler, lichtartigen Kurvenstücke dx^\mu entlang C.

    $$ D^{-1}_C[A] = \prod_n [1 - dx^\sigma \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma}] $$

    Man findet häufig die formale Schreibweise

    $$ D^{-1}_C[\Gamma] = \text{P}\,\text{exp}\left[- \int_C dx^\sigma \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \right] $$

    Das "P" bedeutet "Pfadordnung entlang C".
    Geändert von Webmaster (10.01.2017 um 09:49 Uhr) Grund: Vorzeichenfehler auf Wunsch des Autors korrigiert
    Gruß
    Tom

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  7. #7
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    Ist das pfadgeordnete Produkt als rein formale Lösung zu verstehen oder gibt es da bereits auch erfolgreiche Anwendungen in numerischen Anwendungen?
    Freundliche Grüße, B.

  8. #8
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    Das pfadgeordnete Produkt ist eine Verallgeneinerung der Zeitordnung T, bekannt aus der Dyson-Reihe der QED u.a. Feldtheorien. Dies führt letztlich auf die Störungsreihe.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series
    https://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_series
    https://en.wikipedia.org/wiki/Path-o...#Time_ordering

    Im Falle einer geschossenen Integrationskontur und für den Fall, dass A das Eichpotential darstellt, führt dies auf den Wilson-Loop. Anwendungen dazu findet man in Eichtheorien, insbs. der Gittereichtheorie und der numerischen Auswertung der Wirkung / der Monte-Carlo-Simulation des Pfadintegrals, z.B. zur Berechnung des "Quark-Antiquark-Potentials" direkt mittels Wilson-Loop, Hadron-Eigenschatten wie Masse, elektrische und magnetische Momente u.a.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson_loop
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lattic...93Mills_action
    https://arxiv.org/pdf/0906.4487v1.pdf

    In der Schleifenquantengravitation nutzt man den Wilson-Loop zur Definition der Loop-Darstellung, daher der Begriff Loop Quantum Gravity
    https://en.wikipedia.org/wiki/Loop_q...representation
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 11:26 Uhr) Grund: Link ergänzt, Wilson-Loop präzisiert
    Gruß
    Tom

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  9. #9
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    Noch einige Ergänzungen:

    i) der Begriff Pfadordnung beinhaltet eine strikte Reihenfolge der Terme im Produkt entlang des Pfades, da diese Terme nicht kommutieren.

    ii) es gilt eine Art Gruppenstruktur sowie insbs. eine Multiplikation für das Zusammensetzen von zwei Wegen

    $$ \text{P}\,\text{exp} \left[\int_{C = C_1 + C_2}dx^\mu\ldots\right] = \text{P}\,\text{exp} \left[\int_{C_1}dx^\mu\ldots\right] \,\cdot\, \text{P}\,\text{exp} \left[\int_{C_2}dx^\mu\ldots\right] $$

    Im vorliegenden Fall ist das anschaulich klar. Wenn das Photon zuerst den Weg 1 und anschließend den Weg 2 zurücklegt, dann "sammelt" es zuerst entlang 1, dann entlang 2 Beiträge zur Rotverschiebung auf.

    iii) im Falle von Liegruppen, z.B. SU(N) für Eichtheorien, transformiert das pfadgeordnete Produkt mittels zwei Faktoren, einen am Anfang und einen am Ende des Pfades. Geschlossene Pfade liefern den Wilson-Loop, eine i.A. nicht-verschwindende Invariante unter Eichtransformationen.

    Im hier vorliegenden Fall der Rotverschiebung existieren keine derartigen geschlossenen Pfade, da die Pfade in der 4-dim. Raumzeit definiert sind.
    Geändert von TomS (07.01.2017 um 11:28 Uhr)
    Gruß
    Tom

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  10. #10
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    iv) Im Fall der Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer vorgegebenen Kurve bleibt die Norm, d.h. die Länge des Vektors erhalten.
    Freundliche Grüße, B.

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