Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

TomS

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Ich möchte die Diskussion zu diesem Thema nochmals aufgreifen. Ich habe dazu einige Ideen und mich würde eure Meinung interessieren.

Grundsätzlich möchte ich eine Interpretation immer ausgehend von physikalischen Beobachtungen sowie der allgemeingültigen theoretischen Beschreibung her formulieren. Kurz zur Wiederholung: Die Rotverschiebung z bzgl. zweier Beobachter 1 und 2 (für Sender bzw. Empfänger) mit lokaler Vierergeschwindigkeiten u_1 bzw. u_2 für ein Lichtsignal mit Vierer-Wellenvektor k beim Sender 1 ist allgemein definiert als

$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$

D steht für die kovariante Richtungsableitung entlang der lichtartigen Geodäten zwischen 1 und 2; ihr Inverses ist formal mittels eines pfadgeordneten Produktes definiert. Dies ermöglicht es mathematisch, den Wellenvektor k entlang der Geodäten zu verschieben und so den Effekt der Raumzeit auf k zu berechnen. Falls Interesse an der präzisen mathematischen Definition von D und D[SUP]-1[/SUP] besteht, kann ich diese gerne nachliefern; zunächst benötigen wir sie nicht.

Nun führen wir zuerst zwei gedachte, bei 1 und 2 lokalisierte, mitbewegte Beobachter ein; ich kennzeichne dies durch einen Querstrich; die Formel lautet dann

$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle\bar{u}_1,k\rangle}\, \frac{\langle\bar{u}_1,k\rangle}{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}\, \frac{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle} $$

Jeder der drei Brüche liefert jeweils einen multiplikativen Faktor der Form "1+z" mit einem spezifischen Rotverschiebungsanteil: Aus dem ersten und dem dritten stammt die rein kinematische Dopplerverschiebungen jeweils lokal bei 1 bzw. 2, d.h. die Rotverschiebungen des tatsächlichen Beobachters ggü. dem gedachten, mitbewegten Beobachter. Aus dem zweiten Term stammt die kosmologische, nicht-lokale Rotverschiebung bzgl. zweier jeweils mitbewegter Beobachter.

Die erste, implizite Voraussetzung ist also, das man überhaupt mitbewegte Beobachter einführen kann; dies gilt sicher nur dann, wenn man das (homogene und isotrope) kosmologische Standardmodell annimmt. Die zweite Näherung wäre nun, diesem Standardmodell eine kleine lokale Inhomogenität aufzuprägen, die es erlaubt, eine gravitative Rotverschiebung einzuführen und so den zweiten Term näherungsweise nochmals zu faktorisieren.

Beide Spezialfälle sind immer dann problematisch, wenn man explizit Abweichungen von der Homogenität bzw. Isotropie untersuchen will. Bereits bei der Einführung der lokalen Dopplerverschiebungen sehe ich folgendes Problem: diese erfordert einen mitbewegten Beobachter. Im Falle exakter Homogenität und Isotropie ist das klar. Nun schauen wir uns mal die Untersuchung der Fluktuationen der kosmologischen Hintergrundstrahlung an. Diese sind ein Indiz für kleine Abweichungen von der exakter Homogenität und Isotropie. Man definiert die "mitbewegten Beobachter bzgl. der CMB" so, dass das Dipolmoment der CMB gerade verschwindet; man rechnet also die Bewegung der Erde ggü. der CMB heraus. Dies liefert ein einziges, speziell ausgezeichnetes Bezugsystem (s.o. die Formel).

Wären wir nun in der Lage, z.B. den kosmischen Neutrinohintergrund ohne Sonnenneutrinos u.a. (!) ebenfalls zu messen, so würde uns dieser ein anderes derart ausgezeichnetes Bezugsystem liefern. Diese beiden Bezugsysteme wären i.A. nicht identisch; die Neutrinos stammen aus einem "früheren Universum" als die Photonen, und so wären aufgrund ihrer Masse "länger" aus Sicht unseres Bezugsystems unterwegs gewesen. Die Darstellung der beobachteten Photonfrequenz omega bzgl. dieser unterschiedlichen Bezugsysteme wäre dann

$$ \omega = \langle u_1,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\nu,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\nu,k\rangle $$

gamma und nu stehen für Photonen bzw. Neutrinos.

Welches ist nun das "richtige" Bezugsystem? Beide! Fakt ist, dass man die Rotverschiebung 1+z auf hier verschiedene Weisen interpretieren kann, die eben unterschiedlichen Bezugsystemen entsprechen. Dies wird jedoch in vielen Diskussionen nicht klar, da man immer nur den Spezialfall exakter Homogenität und Isotropie betrachtet und den Spezialfall des mitbewegten Beobachters. Wenn ich jedoch Inhomogenitäten untersuche und der Tatsache Rechnung trage, dass der mitbewegte Beobachter nur zufällig eindeutig ist, weil wir nur eine physikalische Information zu seiner Definition heranziehen, nämlich den Photonenhintergrund, dann ist die genannte Faktorisierung eben nur zufällig eindeutig; die Mehrdeutigkeit führt letztlich zur Einführung unterschiedlicher Faktoren für den lokalen Dopplereffekt.

Mich würden eure Meinungen dazu interessieren.

In einem zweiten Beitrag möchte ich die Problematik der Faktorisierung des nicht-lokalen Terms diskutieren.
 
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Bernhard

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Hi Tom,

Mich würden eure Meinungen dazu interessieren.
dieser Beitrag gefällt wohl jedem Leser, der sich bereits mit der sehr allgemein verwendbaren Formel, die angeblich zuerst von E. Schrödinger veröffentlicht wurde, beschäftigt hat.

Ein Kritikpunkt ist eventuell die fehlende Machbarkeitseinschätzung der Vermessung des Neutrinohintergrundes. Meines Wissens nach kann die aktuelle Neutrinophysik das noch nicht leisten, allerdings arbeite ich auch nicht auf diesem Gebiet, weswegen diese Aussage gut falsch sein kann.
 

TomS

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Hi Tom,


dieser Beitrag gefällt wohl jedem Leser, der sich bereits mit der sehr allgemein verwendbaren Formel, die angeblich zuerst von E. Schrödinger veröffentlicht wurde, beschäftigt hat.
Danke!

Ich hatte das vor Jahren mal irgendwo gelesen und mir selbst wieder hergeleitet. Ich stelle noch ein paar mehr Formeln ein, wäre schön, wenn du die prüfen könntest.

Ein Kritikpunkt ist eventuell die fehlende Machbarkeitseinschätzung der Vermessung des Neutrinohintergrundes. Meines Wissens nach kann die aktuelle Neutrinophysik das noch nicht leisten, allerdings arbeite ich auch nicht auf diesem Gebiet, weswegen diese Aussage gut falsch sein kann.
Ich denke nicht, dass mein Vorschlag praktisch umsetzbar ist. Hättest du eine Idee für eine andere Definition eines Bezugssystems?

Mir ging es ja im wesentlichen darum, zu zeigen, dass diese "Eindeutigkeit" eher zufällig ist. Ja, sie passt natürlich zu den Beobachtungen in der Astronomie, aber dies sollte nicht den Blick darauf verstellen, dass die Interpretation nur unter diesen impliziten Annahmen gültig ist. Ich habe nichts gegen die Interpretation, ich möchte nur die Annahmen explizit machen.
 

Bernhard

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Ich stelle noch ein paar mehr Formeln ein, wäre schön, wenn du die prüfen könntest.
Ich kann das probieren, wenngleich mit der Formel von Schrödinger eigentlich ja alle benötigten Fälle abgedeckt sein sollten. Weitere Formeln können da eigentich nur noch Spezialfälle davon sein.

Hättest du eine Idee für eine andere Definition eines Bezugssystems?
Denkbar wäre noch ein Gravitationswellenhintergrund, der dann aber noch schwerer auszumessen ist. Einen Fehlversuch dazu gab es ja bereits.

Mir ging es ja im wesentlichen darum, zu zeigen, dass diese "Eindeutigkeit" eher zufällig ist.
Das ist zwar richtig, trotzdem ist dieser "Zufall" doch eine recht praktische Diskussionsgrundlage ;-) .
 

TomS

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Ich kann das probieren, wenngleich mit der Formel von Schrödinger eigentlich ja alle benötigten Fälle abgedeckt sein sollten.
Die Formel von Schrödinger der ist m.E. allgemeingültig; mir ging es lediglich um die Erklärung, was sie bedeutet (und ja, ich hatte seinen Artikel schon mal gelesen).

Lokal messbare Frequenz omega und Rotverschiebung z hatten wir ja schon:

$$\omega = (u,k) = u_\mu k^\mu$$

$$1+z = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{\langle u_1,k_1 \rangle}{\langle u_2,k_2\rangle}$$

Als nächste benötigen wir den Zusammenhang A, die kovariante Richtungsableitung D sowie die Parallelverschiebung des Wellenvektors k mittels der Christoffel-Symbole Gamma

$$A^\mu_\rho = -\Gamma^\mu_{\rho\sigma} \, \dot{x}^\sigma$$

$$(Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0$$

entlang der lichtartigen Geodäten x

$$\dot{v}^\mu + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \, v^\rho \, v^\sigma = 0$$

wobei v die Geschwindigkeit (Ableitung) bzgl. des affinen Parameters lambda entlang x bezeichnet

$$v^\mu = \dot{x}^\mu = \partial_\lambda \, x^\mu(\lambda)$$

k steht in jedem Punkt senkrecht auf den sich ausbreitenden Wellenfronten. x bzw. v erfüllt eine lichtartige Geodätengleichung, und der Wellen- bzw. Impulsvektor k eines Photons entlang x zeigt immer parallel zum Geschwindigkeitsvektor v; v und k sind in jedem Punkt Tangentenvektoren zur lichtartigen Geodäten x.

D.h. es gilt

$$k^\mu = \kappa \, v^\mu$$

für eine zunächst unbestimmte Konstante kappa.

Da x die Geodätengleichung löst, ist v außerdem eine spezielle Lösung der Gleichung zur Paralleltransport (es handelt sich um den Paralleltransport des Tangentenvektors v an x). Diese Gleichung ist aber linear im zu verschiebenden Vektor, d.h. mit v ist auch

$$k^\mu = \kappa \,v^\mu$$

eine Lösung zum Paralleltransport (nicht jedoch der Geodätengleichung).

Für die Frequenz folgt also

$$\omega = u_\mu \, k^\mu = \kappa\,u_\mu\,v^\mu$$

Die Konstante kappa fällt bei der Bildung des Quotienten heraus und es folgt

$$1+z = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{\langle u_1,k_1 \rangle }{\langle u_2,k_2 \rangle } $$

Daraus folgt, dass die Rotverschiebung z alleine durch die lokal definierten Vierergeschwindigkeiten u zweier Beobachter i = 1,2 sowie die lichtartige Geodäte x bzw. den Tangentenvektor v gegeben ist. Letzterer kodiert die Effekte der Raumzeitkrümmung.



Formal kann der Paralleltransport für k

$$(Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0$$

mittels eines sogenannten pfadgeordneten Produktes gelöst werden. Ich verwende als Notation die Umkehrung der oben eingeführten Ableitung D entlang der Geodäten C. Damit folgt der Wellenzahlvektor k an einem beliebigen Punkt auf der Geodäten aus dem Wellenzahlvektor im Startpunkt

$$k^\mu_2 = (D^{-1}\,k_1)^\mu$$

Die allgemeingültige Formel für die Rotverschiebung lautet damit

$$1+z = \frac{\langle u_1, k_1\rangle}{\langle u_2, D^{-1}\,k_1\rangle}$$
 
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TomS

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Die Differentialgleichung

$$ (Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0 $$

kann i.A. nicht geschlossen gelöst werden. Zum ersten ist A eine Matrix, zum zweiten ist die Ableitung als Richtungsableitung entlang der Geodäten C zu verstehen, und zum dritten ist A eine Funktion der Raumzeit entlang C.

Betrachten wir einfachere Probleme.


Der einfachste Fall wäre

$$ \dot{f} - a f = 0 $$

für eine skalare Funktion von lambda und eine Konstante a.

Die Lösung dieser Gleichung lautet

$$ f = f_0 \, e^{a\lambda} $$


Der nächstschwierigere Fall ist

$$ \dot{f} - a(\lambda)\,f = 0 $$

mit einer beliebigen Funktion a.

Die Lösung lautet

$$ f = f_0 \, e^{\int_0^\lambda d\lambda^\prime \, a(\lambda^\prime)} $$

wie man durch Differenzieren der e-Funktion und Nachdifferenzieren des Exponenten nachprüft.

Im Exponenten steht ein Integral, d.h. eine Summe über einzelne infinitesimale Terme. Diese kann man als Produkt schreiben

$$ e^{\int_0^\lambda d\lambda^\prime \, a(\lambda^\prime)} = e^{\sum_n d\lambda_n a(\lambda_n)} = \prod_n e^{d\lambda_n a(\lambda_n)} $$

Da jeder Term infinitesimal ist, darf man eine Taylorentwicklung bis zum ersten Glied durchführen und erhält

$$ e^{\int_0^\lambda d\lambda^\prime \, a(\lambda^\prime)} = \prod_n [1 + d\lambda_n a(\lambda_n)] $$

wobei die lambda_n entlang der x-Achse von 0 bis lambda laufen und

$$\lambda_{n+1} = \lambda_n + d\lambda $$ gilt.


Dieses Produkt ist im o.g. Fall natürlich nicht notwendig, da ja eine exakte Lösung bekannt ist. Diese Darstellung erlaubt es jedoch, auch den allgemeinen Fall

$$ (Dk)^\mu = \dot{k}^\mu - A^\mu_\rho \, k^\rho = 0 $$

zu lösen.

Man definiert formal

$$ D^{-1}_C[A] = \prod_n [1 + d\lambda_n A(\lambda_n)] $$

wobei lambda jetzt den affinen Parameter entlang der Geodäten C bezeichnet, und wobei A den eingangs definierten matrix-wertigen Zusammenhang darstellt (die Indizes habe ich unterdrückt; die "1" ist als Einheitsmatrix aufzufassen). Dies ist das sogenannte pfadgeordnete Produkt entlang C über das Feld A. Es liefert eine formale Lösung der eingangs genannten Gleichung. Das pfadgeordnete Produkt "sammelt" dabei gewissermaßen infinitesimale Beiträge von A entlang des "Pfades" C auf und enthält deswegen die Effekte der in A kodierten Raumzeit, d.h. die infinitesimale Veränderungen des Vektors k entlang C.

Zuletzt stelle ich noch den Zusammenhang zum gewöhnlichen Kurvenintegral her. Dazu benutze ich die o.g. Definition für A und schreibe

$$d\lambda \, A^\mu_\rho = - d\lambda \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\,\frac{dx^\sigma}{d\lambda} = - dx^\sigma \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma}$$

Dies liefert das pfadgeordnete Produkt, jetzt dargestellt mittels infinitesimaler, lichtartigen Kurvenstücke dx^\mu entlang C.

$$ D^{-1}_C[A] = \prod_n [1 - dx^\sigma \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma}] $$

Man findet häufig die formale Schreibweise

$$ D^{-1}_C[\Gamma] = \text{P}\,\text{exp}\left[- \int_C dx^\sigma \, \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \right] $$

Das "P" bedeutet "Pfadordnung entlang C".
 
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Bernhard

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Ist das pfadgeordnete Produkt als rein formale Lösung zu verstehen oder gibt es da bereits auch erfolgreiche Anwendungen in numerischen Anwendungen?
 

TomS

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Das pfadgeordnete Produkt ist eine Verallgeneinerung der Zeitordnung T, bekannt aus der Dyson-Reihe der QED u.a. Feldtheorien. Dies führt letztlich auf die Störungsreihe.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series
https://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_series
https://en.wikipedia.org/wiki/Path-ordering#Time_ordering

Im Falle einer geschossenen Integrationskontur und für den Fall, dass A das Eichpotential darstellt, führt dies auf den Wilson-Loop. Anwendungen dazu findet man in Eichtheorien, insbs. der Gittereichtheorie und der numerischen Auswertung der Wirkung / der Monte-Carlo-Simulation des Pfadintegrals, z.B. zur Berechnung des "Quark-Antiquark-Potentials" direkt mittels Wilson-Loop, Hadron-Eigenschatten wie Masse, elektrische und magnetische Momente u.a.
https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson_loop
https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_gauge_theory#Yang.E2.80.93Mills_action
https://arxiv.org/pdf/0906.4487v1.pdf

In der Schleifenquantengravitation nutzt man den Wilson-Loop zur Definition der Loop-Darstellung, daher der Begriff Loop Quantum Gravity
https://en.wikipedia.org/wiki/Loop_quantum_gravity#Introduction_of_the_loop_representation
 
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TomS

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Noch einige Ergänzungen:

i) der Begriff Pfadordnung beinhaltet eine strikte Reihenfolge der Terme im Produkt entlang des Pfades, da diese Terme nicht kommutieren.

ii) es gilt eine Art Gruppenstruktur sowie insbs. eine Multiplikation für das Zusammensetzen von zwei Wegen

$$ \text{P}\,\text{exp} \left[\int_{C = C_1 + C_2}dx^\mu\ldots\right] = \text{P}\,\text{exp} \left[\int_{C_1}dx^\mu\ldots\right] \,\cdot\, \text{P}\,\text{exp} \left[\int_{C_2}dx^\mu\ldots\right] $$

Im vorliegenden Fall ist das anschaulich klar. Wenn das Photon zuerst den Weg 1 und anschließend den Weg 2 zurücklegt, dann "sammelt" es zuerst entlang 1, dann entlang 2 Beiträge zur Rotverschiebung auf.

iii) im Falle von Liegruppen, z.B. SU(N) für Eichtheorien, transformiert das pfadgeordnete Produkt mittels zwei Faktoren, einen am Anfang und einen am Ende des Pfades. Geschlossene Pfade liefern den Wilson-Loop, eine i.A. nicht-verschwindende Invariante unter Eichtransformationen.

Im hier vorliegenden Fall der Rotverschiebung existieren keine derartigen geschlossenen Pfade, da die Pfade in der 4-dim. Raumzeit definiert sind.
 
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Bernhard

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iv) Im Fall der Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer vorgegebenen Kurve bleibt die Norm, d.h. die Länge des Vektors erhalten.
 

TomS

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iv) Im Fall der Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer vorgegebenen Kurve bleibt die Norm, d.h. die Länge des Vektors erhalten.
Richtig, Danke.

Im konkreten Fall der Rotverschiebung bedeutet das, dass k || v und dass k lichtartig bleibt.

(irgendwie klar, aber gut, dass du nochmal explizit darauf hinweist)
 

TomS

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Jetzt sollten wir nochmal über die Frage der Interpretation nachdenken.

Die allgemeingültige Formel für die Rotverschiebung lautet damit

$$1+z = \frac{\langle u_1, k_1\rangle}{\langle u_2, D^{-1}\,k_1\rangle}$$

Das interessante ist, dass man in der Bilinearform <,> den Paralleltransport D[SUP]-1[/SUP] auf die andere Seite bringen kann; das entspricht in etwa der Adjungierten zu D[SUP]-1[/SUP]. Ich bin mir aber über die mathematischen Feinheiten noch nicht ganz im Klaren, deswegen verwende ich ein anderes Symbol:

$$ \langle u_2, D^{-1}\,k_1\rangle = \langle \bar{D}^{-1}\,u_2,k_1\rangle = \langle \bar{u}_1,k_1\rangle $$

Was bedeutet das?

Anstatt den Wellenvektor k von 1 nach 2 zu transportieren, transportieren wir jetzt die Geschwindigkeit u[SUB]2[/SUB] zum Punkt 1. In der Formel für 1+z treten nun ausschließlich Terme auf, die am Punkt des Senders definiert sind; wir haben den realen Beobachter bei 2 durch einen gedachten Beobachter bei 1 ersetzt. D.h. in der Formel

$$1+z = \frac{\langle u_1, k_1\rangle}{\langle \bar{u}_1,k_1\rangle}$$

wird eine rein lokale Dopplerverschiebungen zwischen diesen beiden Beobachtern, dem realen sowie dem gedachten definiert!

In diesem Sinne ist die Interpretation der kosmologischen Rotverschiebung aufgrund einer Expansion nicht unumstritten. Zum einen tritt in den allgemeinen Formeln überhaupt kein Term auf, der eine Expansion beschreibt, und zum anderen existiert eine vollständig äquivalente Darstellung, gemäß derer die Rotverschiebung als Dopplerverschiebungen dargestellt werden kann.


An dieser Stelle sei auf ein Paper von Bunn und Hogg verwiesen, in den die Autoren zu einer ähnlichen Schlussfolgerung für den Spezialfall des homogen und isotrop expandierenden Universums gelangen: die Rotverschiebung ist eine Akkumulation infinitesimaler Dopplerverschiebungen:

https://arxiv.org/abs/0808.1081
The kinematic origin of the cosmological redshift


Emory F. Bunn, David W. Hogg
(Submitted on 7 Aug 2008 (v1), last revised 14 Apr 2009 (this version, v2))
A common belief about big-bang cosmology is that the cosmological redshift cannot be properly viewed as a Doppler shift (that is, as evidence for a recession velocity), but must be viewed in terms of the stretching of space. We argue that, contrary to this view, the most natural interpretation of the redshift is as a Doppler shift, or rather as the accumulation of many infinitesimal Doppler shifts. The stretching-of-space interpretation obscures a central idea of relativity, namely that it is always valid to choose a coordinate system that is locally Minkowskian. We show that an observed frequency shift in any spacetime can be interpreted either as a kinematic (Doppler) shift or a gravitational shift by imagining a suitable family of observers along the photon's path. In the context of the expanding universe the kinematic interpretation corresponds to a family of comoving observers and hence is more natural.


Die Autoren gehen auch auf den Fall beliebiger Raumzeiten ein. Sie beschreiben dazu, dass sie entlang des Lichtweges ein Feld von Beobachtern definieren, die jeweils ein infinitesimales dz messen. Die Akkumulation all dieser (1+dz) als Produkt führt zur gesamten Rotverschiebung 1+z. Die Rechnung wird nicht ausgeführt, aber es ist klar, wie dies mittels des o.g. pfadgeordneten Produktes funktioniert: man schiebt für jeden einzelnen Faktor einen Beobachter ein. Die Autoren argumentieren nun, dass die Interpretation von 1+z als Akkumulation von Dopplerverschiebung oder als Veschiebung aufgrund der Expansion ausschließlich von der Konstruktion der Beobachter abhängt. Je nach Wahl des Beobachterfeldes darf man von dem einen oder dem anderen reden! Das ist - wenn man das pfadgeordneten Produkt betrachtet - auch nachvollziehbar, da dieses selbst weder das eine noch das andere enthält. Die Interpreration der kosmologischen Rotverschiebung verursacht durch Expansion lehnen die Autoren ab, da sie im Kontext der Kosmologie mitbewegte Beobachter und damit infinitesimale Dopplerverschiebungen als natürlicher ansehen.

Bunn und Hogg benennen auch die dritte Alternative, nämlich keine Interpretation von 1+z. Ich tendiere dazu, mit dieser dritten Alternative zu starten, und jede Interpretation immer in einen speziellen Kontext zu stellen.
 
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Bernhard

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iii) im Falle von Liegruppen, z.B. SU(N) für Eichtheorien
Der Vollständigkeit halber möchte ich dem (off topic) hinzufügen, dass man hier eigentlich Prinzipalfaserbündel verwendet. Der Pfad verläuft dann wie gewohnt in der Mannigfaltigkeit (normalerweise der |R^4) und es gibt dann neben dem benutzten Tangentialraum zusätzlich in jeder Faser auch noch die benötigte Liegruppe :cool: .

Sonst wird es für den Anfänger zu unübersichtlich.
 

TomS

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Der Vollständigkeit halber möchte ich dem (off topic) hinzufügen, dass man hier eigentlich Prinzipalfaserbündel verwendet. Der Pfad verläuft dann wie gewohnt in der Mannigfaltigkeit (normalerweise der |R^4) und es gibt dann neben dem benutzten Tangentialraum zusätzlich in jeder Faser auch noch die benötigte Liegruppe :cool: .

Sonst wird es für den Anfänger zu unübersichtlich.
Und das ist für den Anfänger übersichtlicher? :p

Sorry, nur Spaß, musste sein.

Hinweis: ich habe noch am vorigen Beitrag editiert und diesen erweitert.
 
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Bernhard

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In der Formel für 1+z treten nun ausschließlich Terme auf, die am Punkt des Senders definiert sind
Der Nenner im rechten Teil der ursprünglichen Gleichung kann offensichtlich vom Ort des Beobachters 2 abhängen, wie man an konkreten Beispielen wie der homogenen Expansion zeigen kann. Die Rotverschiebung hängt in diesen Fällen also zweifelsfrei vom Ort des zweiten Beobachters ab. Formt man die Gleichung dann um, darf sich daran nichts ändern.

Das \(\bar{u}_1\) muss in diesen Fällen also ebenfalls vom Ort des zweiten Beobachters abhängen, weil \(k_1\) nicht vom Ort des Beobachters 2 abhängt.
 
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TomS

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Der Nenner im rechten Teil der ursprünglichen Gleichung kann offensichtlich vom Ort des Beobachters 2 abhängen, wie man an konkreten Beispielen wie der homogenen Expansion zeigen kann. Die Rotverschiebung hängt in diesen Fällen also zweifelsfrei [von Größen am] Ort des zweiten Beobachters ab. Formt man die Gleichung dann um, darf sich daran nichts ändern.

Das \(\bar{u}_1\) muss in diesen Fällen also ebenfalls [von Größen am] Ort des zweiten Beobachters abhängen, weil \(k_1\) nicht vom Ort des Beobachters 2 abhängt.
[von Größen am] von mir geändert.

Ich war unpräzise: sämtliche mathematischen Objekte sind am Ort 1 definiert; d.h. es handelt sich um Vektoren bei 1, bzw. um Elemente des Tangentialraumes an 1. Nicht-lokale Objekte wie D[SUP]-1[/SUP] sowie Objekte bei 2 wie u[SUB]2 [/SUB]sind eliminiert. 1+z ist mathematisch gesehen ein lokales Objekt bei 1.

Aber natürlich resultiert aus der Definition implizit die Abhängigkeit von 2 bzw. sogar von ganz C, denn in

$$ \bar{u}_1 = \bar{D}^{-1}_C\,u_2 $$

nimmt man die Vierergeschwindigkeit des Beobachters bei 2 und transportiert sie entlang C zurück nach 1. Der resultierende Vierervektor ist definiert bei 1, hängt jedoch vom ursprünglichen Vierervektor bei 2 sowie der Geodäten C von 1 nach 2 ab.

Letztlich führt dies auf eine gedachte Frequenz

$$ \bar{\omega}_1 = \langle \bar{u}_1,k\rangle $$

die der mittels eines mathematischen Kunstgriffs konstruierte, gedachte Beobachter, der den realen Beobachter bei 2 ersetzt, sehen würde

Und natürlich entspricht die gedachte Frequenz bei 1 der realen Frequenz bei 2

$$ \bar{\omega}_1 = \omega_2 $$

denn dies ist ja das Ziel der Konstruktion.
 
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Bernhard

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Hallo Tom,

Die Rotverschiebung z bzgl. zweier Beobachter 1 und 2 (für Sender bzw. Empfänger) mit lokaler Vierergeschwindigkeiten u_1 bzw. u_2 für ein Lichtsignal mit Vierer-Wellenvektor k beim Sender 1 ist allgemein definiert als

$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$

D steht für die kovariante Richtungsableitung entlang der lichtartigen Geodäten zwischen 1 und 2;
dazu muss ich nun leider erst nachträglich den folgenden Vorschlag, bzw. die folgende Kritik einbringen. D^-1 ist hier natürlich nicht die kovariante Richtungsableitung sondern eine Parallelverschiebung des Tangentialvektors k vom Punkt 1 nach 2.

Die kovariante Richtungsableitung ist ein lokaler Operator. Er wird in der Literatur bekanntlich mit Hilfe der kovarianten Ableitung eingeführt.

Die Parallelverschiebung ist dagegen eher so etwas wie ein globaler Operator, weil die Wirkung dieses Operators vom Weg abhängt und eben auch von den Punkten 1 und 2. Ich persönlich finde deswegen die Bezeichnung D ungünstig, weil damit so etwas wie eine Differentiation suggeriert wird, die hier aber nicht ausreichend ist. Es handelt sich eher um einen Integraloperator.

Abgesehen davon kann man trotzdem (wie gewünscht) den Operator der Parallelverschiebung einführen und dann auch den von Dir aufgeschriebenen Formalismus für das pfadgeordnete Produkt verwenden.
 

TomS

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Hallo Tom,


dazu muss ich nun leider erst nachträglich den folgenden Vorschlag, bzw. die folgende Kritik einbringen. D^-1 ist hier natürlich nicht die kovariante Richtungsableitung sondern eine Parallelverschiebung des Tangentialvektors k vom Punkt 1 nach 2 ...
Das verstehe ich jetzt überhaupt nicht. Mein ganzer Beitrag dreht sich darum, dass D die Ableitung und D[SUP]-[/SUP][SUP]1 [/SUP] das inverse bezeichnet. Lies bitte nochmal nach, was ich geschrieben habe.
 
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