Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

Ich

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Aber für das Produkt zweier Rotverschiebungen bräuchte ich doch rechts zwei u's; mit welchen Indizes soll ich das machen?
Wo und wieso brauchst du rechts zwei u? Rotverschiebungen sind Skalare, die multiplizierst du wie in #27 angegeben.
Parallelverschiebungen sind Matrizen, und sie wirken auf einen Wellenvektor, und den multiplizierst du dann mit einer (nicht zwei) Vierergeschwindigkeit, um eine Frequenz zu erhalten.
Wenn das Problem nicht die Notation der Matrixmultiplikation war, dann verstehe ich es immer noch nicht.
Falls es hilft:
TomS schrieb:
Im vorliegenden Fall ist das anschaulich klar. Wenn das Photon zuerst den Weg 1 und anschließend den Weg 2 zurücklegt, dann "sammelt" es zuerst entlang 1, dann entlang 2 Beiträge zur Rotverschiebung auf.
Das Zitat wird später noch relevant, glaube ich. Das Photon sammelt Koordinatenänderungen ein, wozu auch eine Drehung gehört, die aber entlang eines nicht geschlossenen Wegs undefiniert bleibt. "Beiträge zur Rotverschiebung" sind das noch nicht, dazu braucht man Beobachter.
Das Photon sammelt Koordinatentransformationen, sonst nichts. Da haben u's nichts verloren, und das hat noch nichts mit Rotverschiebung zu tun. Wann immer man will, kann man ein u reinschmeißen um ein intermediäre Rotverschiebung zu berechnen, aber weiterrechnen muss man natürlich mit dem unveränderten k, nicht mit k*u.
 

TomS

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Ohne 4er-Indizes; die verwirren nur:

1)

$$ 1+z_{1,N} = \prod_{n=1}^N (1+dz_{n,n+1}) = \prod_{n=1}^N \frac{\langle u_{n},k_{n}\rangle}{\langle u_{n+1},D^{-1}_{n,n+1}\,k_{n}\rangle} $$

$$ 1+dz_{n,n+1} = \frac{\langle u_{n},k_{n}\rangle}{\langle u_{n+1},k_{n+1}\rangle} = \frac{\langle u_{n},k_{n}\rangle}{\langle u_{n+1},D^{-1}_{n,n+1}\,k_{n}\rangle} $$

2)

$$ D^{-1}_{1,N} = \prod_{n=1}^N D^{-1}_{n,n+1} $$

$$ 1+z_{1,N} = \frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{N},k_{N}\rangle} = \frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{N},D^{-1}_{1,N}\,k_{1}\rangle} = \frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{N},\,\left[\prod_n D^{-1}_{n,n+1}\right]\,k_{1}\rangle} $$


Was ich suche ist eine Beweis, dass 1+z aus (1) und 1+z aus (2) formal identisch sind, also dass entweder das "Einschieben" von u's und K's in (2) funktioniert und auf (1) führt, oder dass man (1) so umstellen kann, dass sich die Zähler und Nenner kürzen, die sämtliche u's und k's bis auf die an den Endpunkten n=1 und n=N rausfallen.
 
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Bernhard

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Aber das ist doch offensichtlich.
Man könnte überlegen, ob da nicht ein Grenzwertübergang betrachtet werden muss. Das dz berücksichtigt doch nur ein infinitesimales Wegstück? Wenn ja, kann man eventuell doch ein wenig rechnen. Das große N über dem Produktzeichen müsste dann aber durch ein Unendlich-Zeichen ersetzt werden.

Dass man den Weg in endliche Teilstücke zerlegen kann ist trivial.
 
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Ich

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$$ \frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{2},k_{2}\rangle}\frac{\langle u_{2},k_{2}\rangle}{\langle u_{3},k_{3}\rangle}\dots\frac{\langle u_{N-1},k_{N-1}\rangle}{\langle u_{N},k_{N}\rangle}=\frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{N},k_{N}\rangle} $$Das war doch die Frage, oder?
 

TomS

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$$ \frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{2},k_{2}\rangle}\frac{\langle u_{2},k_{2}\rangle}{\langle u_{3},k_{3}\rangle}\dots\frac{\langle u_{N-1},k_{N-1}\rangle}{\langle u_{N},k_{N}\rangle}=\frac{\langle u_{1},k_{1}\rangle}{\langle u_{N},k_{N}\rangle} $$Das war doch die Frage, oder?
Soweit war ich auch schon.

Das sind jetzt irgendwelche, letztlich beliebige k[SUB]n[/SUB]. In der Darstellung (2) sind es jetzt aber spezielle k[SUB]n[/SUB], die gerade durch die D[SUP]-1[/SUP] erzeugt warden, keine anderen.
 

Ich

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Das sind jetzt irgendwelche, letztlich beliebige k[SUB]n[/SUB]. In der Darstellung (2) sind es jetzt aber spezielle k[SUB]n[/SUB], die gerade durch die D[SUP]-1[/SUP] erzeugt warden, keine anderen.
Wenn's für irgendwelche gilt, dann auch für spezielle.
 

TomS

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Wenn's für irgendwelche gilt, dann auch für spezielle.
Stimmt.

Aber trotzdem stehen die beiden Ansätze immer noch irgendwie unverbunden nebeneinander (meiner Meinung nach).

Aber wenn ich der einzige bin, den das stört, dann lassen wir's gut sein.
 

Ich

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Ja mei, sie sind ja in einem gewissen Sinne auch unverbunden, der zweite ist die Vorarbeit für den ersten. Du kannst den zweiten ganz ohne u's erstmal für \(k(\lambda)\) lösen, also k als Funktion des affinen Parameters. Ab da ist dir Dieses D egal, und setzt u's dort ein, wo es dir gefällt, um Rotverschiebungen auszurechnen. Gerne auch in infinitesimalen Schritten, wenn ein Beobachterfeld gegeben ist.

Wie auch immer, ich sehe wie gesagt da überhaupt keine Probleme, weder mathematisch noch physikalisch. Können wir also lassen, wie's ist.
 

Bernhard

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Wie auch immer, ich sehe wie gesagt da überhaupt keine Probleme, weder mathematisch noch physikalisch. Können wir also lassen, wie's ist.
Sehe ich genauso. Es wird einfach eine Formel in eine andere eingesetzt.

Probleme kann es da höchstens bei Grenzwertbildungen geben. Der Numeriker interessiert sich an solchen Stellen auch dafür, inwieweit ein inifintesimales d durch ein endliches aber kleines Delta ersetzt werden darf und welche Fehler dadurch entstehen. Aber diese Problematik (Fehlerglieder) sollte prinzipiell ja hinreichend bekannt sein.
 

Ich

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Ich halte jede der drei Begriffe zur Rotverschiebung für sinnvoll, wenn ein geeigneter Hintergrund existiert.
Sicher. Man muss nur nicht krampfhaft neue, unmessbare Qualitäten des Raums erfinden, um kosmologische Rotverschiebung zu verwenden oder zu erklären.
Aber ist ist auch nur ein Spezialfall. Solange du eine neue derartigen hast, kannst du von einer Hintergrundmetrik sprechen. Was, wenn nicht? OK, im Kontext der Kosmologie ist das zufälligerweise gegeben, aber a priori nicht.
Wirf das doch nicht immer durcheinander. Wir haben es im Kontext der Kosmologie nicht zufällig gegeben, so dass unser Ansatz der Faktorisierung diesmal Glück gehabt hat und ausnahmsweise nicht falsch ist. Sondern wir faktorisieren, weil wir eine Hintergrund gegeben haben.
Und statische Koordinaten haben außerhalb statischer Räume nichts verloren.
Unsinn. Minkowski ist statisch, und jede Raumzeit ist überall lokal Minkowsi, so dass man überall einen statischen Hintergrund für eine Reihenentwicklung gegeben hat. Das ist wichtig, weil man dann immer erst mal in Newtonscher oder schlimmstenfalls Postnewtonscher Näherung rechnen und vor allem denken kann.
Das tue ich nur, weil ich nur so Schwarzschild und deSitter kombiniert kriege.
Eben, genau was ich sage. Statische Koordinaten funktionieren noch, wenn mitbewegte längst die Flügel strecken.
Es zeigt aber eben, letztlich alles an der Wahl des Hintergrundes liegt. Und der kombinierte Fall zeigt, dass man unterschiedliche Zerlegungen sowie unterschiedliche Interpretationen einführen kann. Unterschiedliche Zerlegungen OK, wenn praktisch. Aber unterschiedliche Interpretationen, nur weil der selbe Term anders geschrieben wird?

Ich tendiere momentan eher zu keiner Interpretation.
Das sagst du immer, aber das ist absolut nicht haltbar. Du bist auch Physiker, nicht nur Mathematiker. Und du musst die Welt verstehen, um zu wissen, welche Näherungen und Annahmen unproblematisch sind und wie weit du das Problem vereinfachen darfst, ohne den Kontakt zur wirklichen Welt zu verlieren. Es reicht eben nicht zu sagen "das Problem ist lösbar", sondern man muss es auch lösen können, ohne gleich das FEM anzuschmeißen.
Deswegen ist nach meiner Überzeugung wichtig, so viele Interpretationen wie möglich zu kennen.
Zeigst du mir die Faktorisierung, die du meinst? Und deren Interpretation?
Na, der Empfänger (wir) kennt die Rotverschiebung für Licht vom Koordinatenursprung (ohne SL). Die mag er kosmologisch interpretieren (was man mit Bezug auf den anderen Thread auch tun würde) oder als Kombination gravitativer und kinematischer Rotverschiebung, das ist egal. Und dazu multipliziert man die Rotverschiebung, die von der Position des Emitters in einer reinen (asymptotisch flachen) Schwarzschildmetrik aus herrscht. Die ist gravitativer Natur.
 
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