TomS
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Ich möchte die Diskussion zu diesem Thema nochmals aufgreifen. Ich habe dazu einige Ideen und mich würde eure Meinung interessieren.
Grundsätzlich möchte ich eine Interpretation immer ausgehend von physikalischen Beobachtungen sowie der allgemeingültigen theoretischen Beschreibung her formulieren. Kurz zur Wiederholung: Die Rotverschiebung z bzgl. zweier Beobachter 1 und 2 (für Sender bzw. Empfänger) mit lokaler Vierergeschwindigkeiten u_1 bzw. u_2 für ein Lichtsignal mit Vierer-Wellenvektor k beim Sender 1 ist allgemein definiert als
$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$
D steht für die kovariante Richtungsableitung entlang der lichtartigen Geodäten zwischen 1 und 2; ihr Inverses ist formal mittels eines pfadgeordneten Produktes definiert. Dies ermöglicht es mathematisch, den Wellenvektor k entlang der Geodäten zu verschieben und so den Effekt der Raumzeit auf k zu berechnen. Falls Interesse an der präzisen mathematischen Definition von D und D[SUP]-1[/SUP] besteht, kann ich diese gerne nachliefern; zunächst benötigen wir sie nicht.
Nun führen wir zuerst zwei gedachte, bei 1 und 2 lokalisierte, mitbewegte Beobachter ein; ich kennzeichne dies durch einen Querstrich; die Formel lautet dann
$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle\bar{u}_1,k\rangle}\, \frac{\langle\bar{u}_1,k\rangle}{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}\, \frac{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle} $$
Jeder der drei Brüche liefert jeweils einen multiplikativen Faktor der Form "1+z" mit einem spezifischen Rotverschiebungsanteil: Aus dem ersten und dem dritten stammt die rein kinematische Dopplerverschiebungen jeweils lokal bei 1 bzw. 2, d.h. die Rotverschiebungen des tatsächlichen Beobachters ggü. dem gedachten, mitbewegten Beobachter. Aus dem zweiten Term stammt die kosmologische, nicht-lokale Rotverschiebung bzgl. zweier jeweils mitbewegter Beobachter.
Die erste, implizite Voraussetzung ist also, das man überhaupt mitbewegte Beobachter einführen kann; dies gilt sicher nur dann, wenn man das (homogene und isotrope) kosmologische Standardmodell annimmt. Die zweite Näherung wäre nun, diesem Standardmodell eine kleine lokale Inhomogenität aufzuprägen, die es erlaubt, eine gravitative Rotverschiebung einzuführen und so den zweiten Term näherungsweise nochmals zu faktorisieren.
Beide Spezialfälle sind immer dann problematisch, wenn man explizit Abweichungen von der Homogenität bzw. Isotropie untersuchen will. Bereits bei der Einführung der lokalen Dopplerverschiebungen sehe ich folgendes Problem: diese erfordert einen mitbewegten Beobachter. Im Falle exakter Homogenität und Isotropie ist das klar. Nun schauen wir uns mal die Untersuchung der Fluktuationen der kosmologischen Hintergrundstrahlung an. Diese sind ein Indiz für kleine Abweichungen von der exakter Homogenität und Isotropie. Man definiert die "mitbewegten Beobachter bzgl. der CMB" so, dass das Dipolmoment der CMB gerade verschwindet; man rechnet also die Bewegung der Erde ggü. der CMB heraus. Dies liefert ein einziges, speziell ausgezeichnetes Bezugsystem (s.o. die Formel).
Wären wir nun in der Lage, z.B. den kosmischen Neutrinohintergrund ohne Sonnenneutrinos u.a. (!) ebenfalls zu messen, so würde uns dieser ein anderes derart ausgezeichnetes Bezugsystem liefern. Diese beiden Bezugsysteme wären i.A. nicht identisch; die Neutrinos stammen aus einem "früheren Universum" als die Photonen, und so wären aufgrund ihrer Masse "länger" aus Sicht unseres Bezugsystems unterwegs gewesen. Die Darstellung der beobachteten Photonfrequenz omega bzgl. dieser unterschiedlichen Bezugsysteme wäre dann
$$ \omega = \langle u_1,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\nu,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\nu,k\rangle $$
gamma und nu stehen für Photonen bzw. Neutrinos.
Welches ist nun das "richtige" Bezugsystem? Beide! Fakt ist, dass man die Rotverschiebung 1+z auf hier verschiedene Weisen interpretieren kann, die eben unterschiedlichen Bezugsystemen entsprechen. Dies wird jedoch in vielen Diskussionen nicht klar, da man immer nur den Spezialfall exakter Homogenität und Isotropie betrachtet und den Spezialfall des mitbewegten Beobachters. Wenn ich jedoch Inhomogenitäten untersuche und der Tatsache Rechnung trage, dass der mitbewegte Beobachter nur zufällig eindeutig ist, weil wir nur eine physikalische Information zu seiner Definition heranziehen, nämlich den Photonenhintergrund, dann ist die genannte Faktorisierung eben nur zufällig eindeutig; die Mehrdeutigkeit führt letztlich zur Einführung unterschiedlicher Faktoren für den lokalen Dopplereffekt.
Mich würden eure Meinungen dazu interessieren.
In einem zweiten Beitrag möchte ich die Problematik der Faktorisierung des nicht-lokalen Terms diskutieren.
Grundsätzlich möchte ich eine Interpretation immer ausgehend von physikalischen Beobachtungen sowie der allgemeingültigen theoretischen Beschreibung her formulieren. Kurz zur Wiederholung: Die Rotverschiebung z bzgl. zweier Beobachter 1 und 2 (für Sender bzw. Empfänger) mit lokaler Vierergeschwindigkeiten u_1 bzw. u_2 für ein Lichtsignal mit Vierer-Wellenvektor k beim Sender 1 ist allgemein definiert als
$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$
D steht für die kovariante Richtungsableitung entlang der lichtartigen Geodäten zwischen 1 und 2; ihr Inverses ist formal mittels eines pfadgeordneten Produktes definiert. Dies ermöglicht es mathematisch, den Wellenvektor k entlang der Geodäten zu verschieben und so den Effekt der Raumzeit auf k zu berechnen. Falls Interesse an der präzisen mathematischen Definition von D und D[SUP]-1[/SUP] besteht, kann ich diese gerne nachliefern; zunächst benötigen wir sie nicht.
Nun führen wir zuerst zwei gedachte, bei 1 und 2 lokalisierte, mitbewegte Beobachter ein; ich kennzeichne dies durch einen Querstrich; die Formel lautet dann
$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle\bar{u}_1,k\rangle}\, \frac{\langle\bar{u}_1,k\rangle}{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}\, \frac{\langle \bar{u}_2,D^{-1}k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle} $$
Jeder der drei Brüche liefert jeweils einen multiplikativen Faktor der Form "1+z" mit einem spezifischen Rotverschiebungsanteil: Aus dem ersten und dem dritten stammt die rein kinematische Dopplerverschiebungen jeweils lokal bei 1 bzw. 2, d.h. die Rotverschiebungen des tatsächlichen Beobachters ggü. dem gedachten, mitbewegten Beobachter. Aus dem zweiten Term stammt die kosmologische, nicht-lokale Rotverschiebung bzgl. zweier jeweils mitbewegter Beobachter.
Die erste, implizite Voraussetzung ist also, das man überhaupt mitbewegte Beobachter einführen kann; dies gilt sicher nur dann, wenn man das (homogene und isotrope) kosmologische Standardmodell annimmt. Die zweite Näherung wäre nun, diesem Standardmodell eine kleine lokale Inhomogenität aufzuprägen, die es erlaubt, eine gravitative Rotverschiebung einzuführen und so den zweiten Term näherungsweise nochmals zu faktorisieren.
Beide Spezialfälle sind immer dann problematisch, wenn man explizit Abweichungen von der Homogenität bzw. Isotropie untersuchen will. Bereits bei der Einführung der lokalen Dopplerverschiebungen sehe ich folgendes Problem: diese erfordert einen mitbewegten Beobachter. Im Falle exakter Homogenität und Isotropie ist das klar. Nun schauen wir uns mal die Untersuchung der Fluktuationen der kosmologischen Hintergrundstrahlung an. Diese sind ein Indiz für kleine Abweichungen von der exakter Homogenität und Isotropie. Man definiert die "mitbewegten Beobachter bzgl. der CMB" so, dass das Dipolmoment der CMB gerade verschwindet; man rechnet also die Bewegung der Erde ggü. der CMB heraus. Dies liefert ein einziges, speziell ausgezeichnetes Bezugsystem (s.o. die Formel).
Wären wir nun in der Lage, z.B. den kosmischen Neutrinohintergrund ohne Sonnenneutrinos u.a. (!) ebenfalls zu messen, so würde uns dieser ein anderes derart ausgezeichnetes Bezugsystem liefern. Diese beiden Bezugsysteme wären i.A. nicht identisch; die Neutrinos stammen aus einem "früheren Universum" als die Photonen, und so wären aufgrund ihrer Masse "länger" aus Sicht unseres Bezugsystems unterwegs gewesen. Die Darstellung der beobachteten Photonfrequenz omega bzgl. dieser unterschiedlichen Bezugsysteme wäre dann
$$ \omega = \langle u_1,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\gamma,k\rangle = \frac{\langle u,k\rangle}{\langle \bar{u}_\nu,k\rangle}\,\langle \bar{u}_\nu,k\rangle $$
gamma und nu stehen für Photonen bzw. Neutrinos.
Welches ist nun das "richtige" Bezugsystem? Beide! Fakt ist, dass man die Rotverschiebung 1+z auf hier verschiedene Weisen interpretieren kann, die eben unterschiedlichen Bezugsystemen entsprechen. Dies wird jedoch in vielen Diskussionen nicht klar, da man immer nur den Spezialfall exakter Homogenität und Isotropie betrachtet und den Spezialfall des mitbewegten Beobachters. Wenn ich jedoch Inhomogenitäten untersuche und der Tatsache Rechnung trage, dass der mitbewegte Beobachter nur zufällig eindeutig ist, weil wir nur eine physikalische Information zu seiner Definition heranziehen, nämlich den Photonenhintergrund, dann ist die genannte Faktorisierung eben nur zufällig eindeutig; die Mehrdeutigkeit führt letztlich zur Einführung unterschiedlicher Faktoren für den lokalen Dopplereffekt.
Mich würden eure Meinungen dazu interessieren.
In einem zweiten Beitrag möchte ich die Problematik der Faktorisierung des nicht-lokalen Terms diskutieren.
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