Zur Interpretation der Rotverschiebung 1+z

Ich

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Ich versuche mal, das hier aus meiner Sicht aufzurollen. Ich sage aber gleich dazu, dass mir die mathematischen Feinheiten zu hoch sind, welcher Operator sich wie nennen darf und so.
Jeder der drei Brüche liefert jeweils einen multiplikativen Faktor der Form "1+z" mit einem spezifischen Rotverschiebungsanteil: Aus dem ersten und dem dritten stammt die rein kinematische Dopplerverschiebungen jeweils lokal bei 1 bzw. 2, d.h. die Rotverschiebungen des tatsächlichen Beobachters ggü. dem gedachten, mitbewegten Beobachter. Aus dem zweiten Term stammt die kosmologische, nicht-lokale Rotverschiebung bzgl. zweier jeweils mitbewegter Beobachter.
Das "kosmologisch" geht in Ordnung. Falls das hier aber konsistent zu unserer Diskussion hier sein soll, dann gibt es hier das erste Veto: Dein Gebrauch des Begriffs "kinematische Dopplerverschiebung" ist weder konsistent mir dem von mir noch mit dem von Bunn&Hogg. Du sprichst von Pekuliargeschwindigkeit, das tun weder die beiden noch ich.
Die erste, implizite Voraussetzung ist also, das man überhaupt mitbewegte Beobachter einführen kann; dies gilt sicher nur dann, wenn man das (homogene und isotrope) kosmologische Standardmodell annimmt.
Das ist im Falle des Begriffs "mitbewegt" sicher richtig. Allgemein aber gilt nur, dass man irgendwelche "kanonischen" Beobachter einführen kann, also welche, die man aus irgendwelchen Gründen als "natürlich" beziehungsweise definierend ansieht. Wenn das z.B. statische wären, dann wären zumindest wir beide wieder konform mit der Definition "kinematischer" Dopplerverschiebung.
Welches ist nun das "richtige" Bezugsystem? Beide! Fakt ist, dass man die Rotverschiebung 1+z auf hier verschiedene Weisen interpretieren kann, die eben unterschiedlichen Bezugsystemen entsprechen. Dies wird jedoch in vielen Diskussionen nicht klar, da man immer nur den Spezialfall exakter Homogenität und Isotropie betrachtet und den Spezialfall des mitbewegten Beobachters. Wenn ich jedoch Inhomogenitäten untersuche und der Tatsache Rechnung trage, dass der mitbewegte Beobachter nur zufällig eindeutig ist, weil wir nur eine physikalische Information zu seiner Definition heranziehen, nämlich den Photonenhintergrund, dann ist die genannte Faktorisierung eben nur zufällig eindeutig; die Mehrdeutigkeit führt letztlich zur Einführung unterschiedlicher Faktoren für den lokalen Dopplereffekt.
Beide sind nicht das "richtige" Bezugssystem. Wenn man Pekuliargeschwindigkeiten von der Expansion trennen will, dann braucht man ein theoretisches Modell für die Expansion, das man als geeignete Hintergrundmetrik verwendet. Jede Ungenauigkeit in diesem Modell wird sich als Pekuliargeschwindigkeit manifestieren. Von daher ist es irreführend, wenn in der Populärwissenschaft der Eindruck erweckt wird, beides sei von vollkommen unterschiedlicher physikalischer Natur.
Wenn du damit auf diesen Thread anspielst: Klar, die Aufteilung ist vom theoretischen Modell abhängig, sie entspricht der Trennung von Perturbation vom idealisierten Modell. Sie ist in demselben Maße unbestimmt, wie das theoretische Modell unbestimmt ist.

Soviel erstmal zu deinem ersten Beitrag.
 

TomS

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Sorry. Aber in der Formel von Schrödinger wird keine Ableitung verwendet.
Ich habe den Artikel nicht vorliegen. Aber ich verwende ja auch durchlegend den Paralleltransport D[SUP]-1 [/SUP]bzw. das pfadgeordnete Produkt; ich motiviere das lediglich als Inverse zur Ableitung D.
 

Bernhard

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Aber ich verwende ja auch durchlegend den Paralleltransport D[SUP]-1 [/SUP]bzw. das pfadgeordnete Produkt;
Dann passt es. Wir müssen hier nicht die Buchstaben korrigieren, wenn klar ist, was gemeint ist.

Welche Vorteile soll denn die Beschreibung der Rotverschiebung von einem Punkt aus genau bringen? Ich finde das, ehrlich gesagt, eher verwirrend. Man könnte statt dem Punkt 1 ja auch den Punkt 2 als Bezugspunkt nehmen.
 

TomS

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Das "kosmologisch" geht in Ordnung. Falls das hier aber konsistent zu unserer Diskussion hier sein soll, dann gibt es hier das erste Veto: Dein Gebrauch des Begriffs "kinematische Dopplerverschiebung" ist weder konsistent mir dem von mir noch mit dem von Bunn&Hogg. Du sprichst von Pekuliargeschwindigkeit, das tun weder die beiden noch ich.
Das ist lediglich ein Missverständnis.

Bunn & Hogg sprechen von "Akkumulation infinitesimaler Dopplerverschiebungen entlang der lichtartigen Geodäten". Das versuche ich in einem späteren Beitrag ebenfalls zu erklären, und das passt m.E. auch zur späteren Konstruktion von D[SUP]-1[/SUP], die ich noch explizit vorführe.

Der von dir zitierte Text bezieht sich jedoch lediglich auf lokale Beobachter an den Orten des Senders und des Empfängers, und die können irgendwelche lokalen Vierergeschwindigkeiten haben. Und das führt eben (in Spezialfällen) auf die Pekuliargeschwindigkeiten. Das hat nichts mit Bunn & Hogg zu tun.

Das ist im Falle des Begriffs "mitbewegt" sicher richtig. Allgemein aber gilt nur, dass man irgendwelche "kanonischen" Beobachter einführen kann, also welche, die man aus irgendwelchen Gründen als "natürlich" beziehungsweise definierend ansieht. Wenn das z.B. statische wären, dann wären zumindest wir beide wieder konform mit der Definition "kinematischer" Dopplerverschiebung.
Ja.

Beide sind nicht das "richtige" Bezugssystem. Wenn man Pekuliargeschwindigkeiten von der Expansion trennen will, dann braucht man ein theoretisches Modell für die Expansion, das man als geeignete Hintergrundmetrik verwendet.
Ja.

Das wollte ich anhand einiger Beispiele noch diskutieren; z.B. Swiss-Cheese und deSitter-Schwarzschild. Da sieht man die Nicht-Eindeutigkeit.

Jede Ungenauigkeit in diesem Modell wird sich als Pekuliargeschwindigkeit manifestieren.
Ja, grundsätzlich. Aber ganz sicher "jede"?

Von daher ist es irreführend, wenn in der Populärwissenschaft der Eindruck erweckt wird, beides sei von vollkommen unterschiedlicher physikalischer Natur.
Ja.

Meine ganze Diskussion dreht sich gerade darum.

Wenn du damit auf diesen Thread anspielst: Klar, die Aufteilung ist vom theoretischen Modell abhängig, sie entspricht der Trennung von Perturbation vom idealisierten Modell. Sie ist in demselben Maße unbestimmt, wie das theoretische Modell unbestimmt ist.
Ja, ich spiele auf einige lose Enden die in diesem Thread an, die wir dort leider nicht zusammenknüpfen konnten.

Vielen Dank für deine Antwort!
 
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TomS

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Dann passt es. Wir müssen hier nicht die Buchstaben korrigieren, wenn klar ist, was gemeint ist.
Wieso? D ist eine Ableitung, D[SUP]-1[/SUP] die Inverse. Statt einem gewöhnlichen Integral wie bei

$$ \partial_\lambda^{-1} = \int d\lambda $$

benötigst du hier eben

$$ (\partial_\lambda - A)^{-1} = \text{P}\,\text{exp}\left[ \int d\lambda \, A \right] $$

Welche Vorteile soll denn die Beschreibung der Rotverschiebung von einem Punkt aus genau bringen? Ich finde das, ehrlich gesagt, eher verwirrend. Man könnte statt dem Punkt 1 ja auch den Punkt 2 als Bezugspunkt nehmen.
Keine Vorteile, nur eine mathematisch äquivalente Darstellung, die jedoch eine andere Interpretation nahelegt.

Der Unterschied ist recht einfach:

D[SUP]-1[/SUP] wirkt auf k: Man transportiert k entlang C von 1 nach 2; in der Standardkosmologie interpretiert man dies als Akkumulation von Frequenzverschiebungen aufgrund der Expansion des Unversums.

D[SUP]-1[/SUP] wirkt auf u[SUB]2[/SUB]: Man transportiert stattdessen u[SUB]2[/SUB] entlang C von 2 nach 1; man vergleicht demnach nicht mehr infinitesimal verschiedene k's in infinitesimal benachbarten Punkten entlang C, sondern man vergleicht infinitesimal verschiedene u's in infinitesimal benachbarten Punkten entlang C, mit jeweils identischem k. Das entspricht aber genau der Idee der Dopplerverschiebung: das selbe k wird von unterschiedlich bewegten Beobachtern unterschiedlich wahrgenommen.
 
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TomS

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Die Autoren gehen auch auf den Fall beliebiger Raumzeiten ein. Sie beschreiben dazu, dass sie entlang des Lichtweges ein Feld von Beobachtern definieren, die jeweils ein infinitesimales dz messen. Die Akkumulation all dieser (1+dz) als Produkt führt zur gesamten Rotverschiebung 1+z. Die Rechnung wird nicht ausgeführt, aber es ist klar, wie dies mittels des o.g. pfadgeordneten Produktes funktioniert: man schiebt für jeden einzelnen Faktor einen Beobachter ein.
Ich habe jetzt versucht, das durchzuführen, und ich muss leider sagen, dass der Zusammenhang leider nicht so klar ist.

Das Problem, einen Zusammenhang herzustellen, besteht in folgendem.

Nehmen wir die Rotverschiebung von b bzgl. a, also

$$ 1+z_{ab}= \frac{\langle u_a, k_a \rangle}{\langle u_b, k_b \rangle} $$

Wir führen nun einen Beobachter bei einem zwischen a und b liegenden Punkt c ein:

$$ 1+z_{ab}= \frac{\langle u_a, k_a \rangle}{\langle u_c, k_c \rangle} \frac{\langle u_c, k_c \rangle}{\langle u_b, k_b \rangle} = (1+z_{ac})\,(1+z_{cb}) $$

Nun betrachten wir die Struktur des pfadgeordneten Produktes für den Weg C von a nach b über den Punkt c.

$$ (D^{-1})_{ab} = (D^{-1})_{ac} \, (D^{-1})_{cb} $$

Zunächst sieht das strukturell identisch aus.

Allerdings kann man in der zweiten Formulierung keinen Beobachter bei c mit u[SUB]c[/SUB] einschieben, da über die Lorentz-Indizes (die ich nicht explizit geschrieben habe) bei c bereits summiert wurde. D.h. aus dem Produkt über die D[SUP]-1[/SUP] der zweiten Darstellung folgt nicht das Produkt über die (1+z) der ersten Darstellung.

Andererseits kann die strukturelle Ähnlichkeit kein Zufall sein. Sieht jemand, wie's dennoch funktioniert?
 
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Bernhard

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Mir fällt da momentan nur eine Kleinigkeit auf:
$$ (D^{-1})_{ab} = (D^{-1})_{ac} \, (D^{-1})_{cb} $$
Muss das nicht wie folgt heißen:
$$ (D^{-1})_{ab} = (D^{-1})_{cb} \, (D^{-1})_{ac} $$
Dann kann das Produkt der Operatoren von rechts nach links gelesen werden und damit kommt dann auch der Operator auf der linke Seite der Gleichung wieder heraus.
 

TomS

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Du hast recht, die Reihenfolge ist falsch.

Für Propagation von a nach c und weiter nach b muss es

$$ (D^{-1})_{a \to b} = (D^{-1})_{c \to b} \, (D^{-1})_{a \to c} $$

heißen.

Ändert aber leider nichts an meinem Problem.
 

Bernhard

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Ändert aber leider nichts an meinem Problem.
Das ist dann aber kein mathematisches Problem, sondern eines der Interpretation, da ja die Bahn von a nach b und damit auch dessen Tangentialvektor (bei jeder hinreichend gutmütigen Metrik) eindeutig gegeben ist.

Ich würde daraus dann schließen, dass die Interpretation der Rotverschiebung als reiner Dopplereffekt nicht ganz korrekt ist. Es wie bei der Krümmung einer Fläche. Die kann man auch nicht wegdiskutieren, weil sie eben prinzipiell messbar ist. Im Fall der Rotverschiebung ist es die Ameise auf dem Gummiband. Die Ameise muss von a nach b eben wirklich weiter gehen, wenn an dem Gummiband gezogen wird.
 
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TomS

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Das ist dann aber kein mathematisches Problem, sondern eines der Interpretation, da ja die Bahn von a nach b und damit auch dessen Tangentialvektor (bei jeder hinreichend gutmütigen Metrik) eindeutig gegeben ist.
Doch, es ist zunächst mal ein rein mathematisches Problem, noch unabhängig von irgendeiner Interpretation. Die multiplikative Zerlegung der Rotverschiebung für auf ein Produkt über Terme der Form (1 + dz), das pfadgeordnete Produkt auf ein Produkt über Terme der Form (1 + dA); ersteres enthält zwei Beobachter je infinitesimale Wegstück; in letzteres kann ich aufgrund der Indexstruktur diese Beobachter nicht "reinbasteln"; zumindest nicht offensichtlich.

Ich würde daraus dann schließen, dass die Interpretation der Rotverschiebung als reiner Dopplereffekt nicht ganz korrekt ist.
Wie gesagt, das Problem existiert ohne jede Interpretation.
 

TomS

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Ich hatte bisher über die rein kinematische Dopplerverschiebung geschrieben sowie den nicht-lokalen Term in

$$1+z = \frac{\langle u_1,k\rangle}{\langle u_2,D^{-1}k\rangle}$$

diskutiert.

Ich möchte nun die Problematik der Interpretation mittels kosmologischer Rotverschiebung versus der gravitativen Rotverschiebung diskutieren. Dies setzt voraus, dass man in irgendeiner Form die Geometrie des expandieren Universums sowie lokale Inhomogenitäten trennen kann. Ich denke, dass dies nicht eindeutig möglich ist.


Zunächst die äußere Schwarzschild-Metrik für eine sphärisch symmetrische Massenverteilung

$$ ds_\text{S}^2 = F_\text{S} \, dt^2 – F_\text{S}^{-1} \, dr^2 – r^2 \, d\Omega^2 $$

$$ F_\text{S}(r) = 1 - \frac{2M}{r} $$


Diese Metrik ist statisch mit zeitartigem Killingvektor. Die Rotverschiebung zwischen zwei statischen Beobachtern 1,2 bei festen Radien folgt gemäß

$$ 1 + z_\text{grav}(r_1,r_2) = \sqrt{\frac{F_\text{S}(r_2)}{F_\text{S}(r_1)}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{2M}{r_2}}{1 - \frac{2M}{r_1}}} $$

und wird als gravitative Rotverschiebung interpretiert.


Die deSitter-Metrik in statischen Koordinaten lautet

$$ ds_\text{dS}^2 = F_\text{dS} \, dt^2 – F_\text{dS}^{-1} \, dr^2 – r^2 \, d\Omega^2 $$

$$ F_\text{dS}(r) = 1 - \frac{\Lambda}{3}r^2 $$


Wiederum folgt die Rotverschiebung mittels

$$ 1 + z (r_1,r_2) = 1 + z_\text{grav}(r_1,r_2) = \sqrt{\frac{F_\text{dS}(r_2)}{F_\text{dS}(r_1)}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\Lambda}{3}r_1^2}{1 - \frac{\Lambda}{3}r_1^2}} $$

Zunächst könnte man dies als gravitative Rotverschiebung für zwei statischen Beobachter, in Analogie zur Schwarzschild-Metrik interpretieren. Allerdings wissen wir, dass die deSitter-Geometrie homogen und isotrop ist und äquivalent (bzw. besser, da ohne Koordinatensingularität) mittels mitbewegter Koordinaten

$$ ds_\text{S}^2 = d\tau^2 – e^{2\tau/l} \, (d\rho^2 – \rho^2 \, d\Omega^2) $$

$$ l^2 = \frac{3}{\Lambda} $$

$$ r = \rho\,e^{\tau/l} $$

$$ t = \tau - \frac{l}{2}\ln\left(-l^2 + \rho^2\,e^{2\tau/l}\right) $$

beschrieben.

Statische Beobachter

$$ r(t) = \text{const.} $$

entsprechen demnach nicht den mitbewegten Beobachtern

$$ \rho(\tau) = \text{const.} $$

Wir erhalten für die rein kosmologische Rotverschiebung mitbewegter Beobachter, d.h. ohne Pekuliargeschwindigkeit

$$ 1 + z_\text{cosm}(\tau_1,\tau_2) = \frac{ e^{\tau_2/l} }{ e^{\tau_1/l} } $$

Da die o.g. statischen Beobachter keine mitbewegten Beobachter darstellen, müssen wir deren Rotverschiebung demnach mittels Pekuliargeschwindigkeiten schreiben als

$$ 1 + z (r_1,r_2) = [1+z_\text{pec}(r_1)] \, [1+z_\text{pec}(r_2)] \, [1+z_\text{cosm}(r_1,r_2)] $$

Der Term entspräche also – mit einer geeigneten Faktorisierung – der lokalen Dopplerverschiebung für beide Beobachter mit jeweils eigener Pekuliargeschwindigkeit, multipliziert mit einer nicht-lokalen kosmologischen Rotverschiebung. Da das deSitter-Universum homogen und isotrop ist, d.h. da kein „Gravitationspotential“ oder „Potentialtopf“ existiert, tritt keine gravitativen Rotverschiebung auf.

Wir können den selben Term demnach auf zweierlei Weisen interpretieren; die Interpretation hängt dabe offensichtlich von der gewählten Darstellung der Metrik, also vomKoordinatensystem ab. Die physikalische = messbare Größe z selbst ist natürlich unabhängig vom Koordinatensystem und damit von dieser Interpretation. Die naheliegende letztgenannte Interpretation folgt ausschließlich deshalb, weil wir den Spezialfall eines deSitter-Universums vorliegen haben und diesen kennen. Andernfalls, d.h. ohne globale Homogenität und Isotropie, wäre die zweite Interpretation keineswegs naheliegend, und die Definition von Pekuliargeschwindigkeitenauf einem „ausgezeichneten Bezugsystem“ nicht eindeutig möglich. Diese sind jedoch essentiell für die Faktorisierung in einen kosmologischen und zwei Doppler-Anteile.

Das deSitter-Modell ist also einausgezeichnetes Modell in dem eine statische Metrik aufgrund der globalen Homogenität und Isotropie vermöge einer speziellen Interpretation nicht aufeine gravitative sondern eine kosmologische Rotverschiebung führt.
 
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TomS

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Nun können wir das Schwarzschild-und das deSitter-Modell zum Schwarzschild-deSitter-Modell kombinieren. Dabei treten die Mehrdeutigkeiten der Interpretation m.E. offen zu tage

$$ ds_\text{SdS}^2 = F_\text{S} \,dt^2 – F_\text{S}^{-1} \, dr^2 – r^2 \, d\Omega^2 $$

$$ F_\text{SdS}(r) = 1 -\frac{2M}{r} - \frac{\Lambda}{3}r^2 $$

Für M > 0 und Λ > 0 liegt eine„Mischung“ aus beiden Geometrien vor.

Für genügend kleine r (und festes M und Λ)

$$ \frac{2M}{r} \gg\frac{\Lambda}{3}r^2 $$

werden wir die Rotverschiebung sinnvollerweise gravitativ analog zum reinen Schwarzschild-Fall interpretieren. Dies führt auf

$$ 1 - \frac{2M}{r} -\frac{\Lambda}{3}r^2 = \left[1 - \frac{2M}{r} \right] \left[1 -\frac{\Lambda}{3}r^2 \frac{1}{1 - \frac{2M}{r} }\right] $$

mit einem Korrekturterm, d.h. auf eine Faktorisierung der Rotverschiebung gemäß

$$ 1 + z(r_1,r_2) = [1 +z_\text{grav}(r_1,r_2)] \, [1 + \zeta(r_1,r_2)] $$

Für genügend große r (und festes M und Λ)

$$ \frac{2M}{r} \ll\frac{\Lambda}{3}r^2 $$

werden wir die Rotverschiebung dagegen kosmologisch analog zum reinen deSitter-Fall interpretieren. Dies führt auf

$$ 1 - \frac{2M}{r} -\frac{\Lambda}{3}r^2 = \left[1 - \frac{\Lambda}{3}r^2 \right] \left[1 -\frac{2M}{r} \frac{1}{1 - \frac{\Lambda}{3}r^2 }\right] $$

Die Faktorisierung der Rotverschiebung lautet vermöge der Interpretation des ersten Terms aus dem deSitter-Modell

$$ 1 + z(r_1,r_2) =[1+z_\text{pec}(r_1)] \, [1+z_\text{pec}(r_2)] \, [1+z_\text{cosm}(r_1,r_2)] \,[1 + \zeta_\text{grav}(r_1,r_2)] $$

Das Schwarzschild-deSitter-Modell erlaubt beide Faktorisierung, die jedoch unterschiedlich zu interpretieren sind. Man beachte, dass in beiden Fällen eine Gravitationsrotverschiebung vorliegt, die jedoch mittels verschiedener Terme berechnet wird und daher unterschiedliche Werte annimmt:

$$ z_\text{grav}(r_1,r_2) \neq\zeta_\text{grav}(r_1,r_2) $$

Im Falle

$$ \frac{2M}{r} \simeq\frac{\Lambda}{3}r^2 $$

oder für den gemischten Fall, dass sich ein Beobachter bei sehr kleinem r, der andere bei sehr großem r befindet, gibt es keinen Grund, eine der beiden Interpretationen zu bevorzugen und eine entsprechende Faktorisierung vorzunehmen; es handelt sich letztlich um reine Geschmackssache.
 

Ich

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Weiter in meiner Aufarbeitung. Ich komme leider nicht in Echtzeit hinterher.
Bunn & Hogg sprechen von "Akkumulation infinitesimaler Dopplerverschiebungen entlang der lichtartigen Geodäten". Das versuche ich in einem späteren Beitrag ebenfalls zu erklären, und das passt m.E. auch zur späteren Konstruktion von D[SUP]-1[/SUP], die ich noch explizit vorführe.

Der von dir zitierte Text bezieht sich jedoch lediglich auf lokale Beobachter an den Orten des Senders und des Empfängers, und die können irgendwelche lokalen Vierergeschwindigkeiten haben. Und das führt eben (in Spezialfällen) auf die Pekuliargeschwindigkeiten. Das hat nichts mit Bunn & Hogg zu tun.
Genau deswegen empfehle ich dringend, die Dopplerverschiebung aufgrund der Pekuliarbewegung nicht auch noch "kinematisch" zu nennen, sonst wird die Begriffswahl inkonsistent.

#5 ist bekannt, man kriegt den Wellenvektor durch Paralleverschiebung entlang einer Geodäten.
#6 formuliert das noch weiter aus.
Im vorliegenden Fall ist das anschaulich klar. Wenn das Photon zuerst den Weg 1 und anschließend den Weg 2 zurücklegt, dann "sammelt" es zuerst entlang 1, dann entlang 2 Beiträge zur Rotverschiebung auf.
Das Zitat wird später noch relevant, glaube ich. Das Photon sammelt Koordinatenänderungen ein, wozu auch eine Drehung gehört, die aber entlang eines nicht geschlossenen Wegs undefiniert bleibt. "Beiträge zur Rotverschiebung" sind das noch nicht, dazu braucht man Beobachter.
#12: Man kann die Geschwindigkeit statt des Wellenvektors verschieben. Alle, die das machen, berufen sich üblicherweise auf Synge, 1960. Das Buch ist ziemlich angestaubt, vielleicht findest du dort etwas über die mathematischen Feinheiten.
Ich denke, da ist noch ein Missverständnis drin:
Die Autoren argumentieren nun, dass die Interpretation von 1+z als Akkumulation von Dopplerverschiebung oder als Veschiebung aufgrund der Expansion ausschließlich von der Konstruktion der Beobachter abhängt. Je nach Wahl des Beobachterfeldes darf man von dem einen oder dem anderen reden! [...] Die Interpreration der kosmologischen Rotverschiebung verursacht durch Expansion lehnen die Autoren ab, da sie im Kontext der Kosmologie mitbewegte Beobachter und damit infinitesimale Dopplerverschiebungen als natürlicher ansehen.
Nein, das Beobachterfeld unterscheidet zwischen gravitativer und kinematischer Rotverschiebung, wobei B&H frei fallende Beobachter mit kinematischer Verschiebung assoziieren. Im kosmologischen Kontext ist das Beobachterfeld für kosmologische und kinematische Interpretation dasselbe, nämlich frei fallende mitbewegte Beobachter. Sie lehnen bloß die Interpretation aufgrund dieses unsäglichen "stretching of space" ab und sagen: Das, was eigentlich dahintersteckt, ist eine kinematische Rotverschiebung.
Allerdings kann man in der zweiten Formulierung keinen Beobachter bei c mit u[SUB]c[/SUB] einschieben, da über die Lorentz-Indizes (die ich nicht explizit geschrieben habe) bei c bereits summiert wurde. D.h. aus dem Produkt über die D[SUP]-1[/SUP] der zweiten Darstellung folgt nicht das Produkt über die (1+z) der ersten Darstellung.

Andererseits kann die strukturelle Ähnlichkeit kein Zufall sein. Sieht jemand, wie's dennoch funktioniert?
Ich verstehe das Problem nicht. Diese D^-1 ergeben doch keine Rotverschiebung, sie verschieben nur einen Vektor. Von a nach b, und gerne auch über c. Wenn man mit einem Vektor ka bei a startet, dann hat man mit dem gesamten Produkt kb, mit dem ersten (also rechten) Teil kc. Der zweite Teil macht aus kb das kc. Das ist alles. Rotverschiebung wird daraus erst, wenn man an diesen Orten Beobachter mit ua,ub,uc spezifiziert - die folgen in keinster Weise aus den D^-1. Ich sehe überhaupt nicht, wieso man da keinen weiteren Beobachter einfügen könnte und wie gesagt auch nicht, was du da als problematisch siehst. Hast du da etwas anderes erwartet?

Zum Rest später.
 
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TomS

Registriertes Mitglied
Genau deswegen empfehle ich dringend, die Dopplerverschiebung aufgrund der Pekuliarbewegung nicht auch noch "kinematisch" zu nennen, sonst wird die Begriffswahl inkonsistent.
OK


#5 ist bekannt, man kriegt den Wellenvektor durch Paralleverschiebung entlang einer Geodäten.
#6 formuliert das noch weiter aus.
Das Zitat wird später noch relevant, glaube ich. Das Photon sammelt Koordinatenänderungen ein, wozu auch eine Drehung gehört, die aber entlang eines nicht geschlossenen Wegs undefiniert bleibt. "Beiträge zur Rotverschiebung" sind das noch nicht, dazu braucht man Beobachter.
OK

#12: Man kann die Geschwindigkeit statt des Wellenvektors verschieben. Alle, die das machen, berufen sich üblicherweise auf Synge, 1960. Das Buch ist ziemlich angestaubt, vielleicht findest du dazu etwas über die mathematischen Feinheiten.
Ich denke nicht, dass ich bzgl. der Mathematik ein echtes Problem habe. Das funktioniert ähnlich wie bei der SU(N), und da kenn‘ ich aus. Aber danke.

Ich denke, da ist noch ein Missverständnis drin:
Nein, das Beobachterfeld unterscheidet zwischen gravitativer und kinematischer Rotverschiebung, wobei B&H frei fallende Beobachter mit kinematischer Verschiebung assoziieren. Im kosmologischen Kontext ist das Beobachterfeld für kosmologische und kinematische Interpretation dasselbe, nämlich frei fallende mitbewegte Beobachter. Sie lehnen bloß die Interpretation aufgrund dieses unsäglichen "stretching of space" ab und sagen: Das, was eigentlich dahintersteckt, ist eine kinematische Rotverschiebung.
Danke.

Dann hatte ich die Feinheiten nicht verstanden und das auch noch unglücklich zusammengefasst.

Ich verstehe das Problem nicht. Diese D^-1 ergeben doch keine Rotverschiebung, sie verschieben nur einen Vektor. Von a nach b, und gerne auch über c. Wenn man mit einem Vektor ka bei a startet, dann hat man mit dem gesamten Produkt kb, mit dem ersten (also rechten) Teil kc. Der zweite Teil macht aus kb das kc. Das ist alles. Rotverschiebung wird daraus erst, wenn man an diesen Orten Beobachter mit ua,ub,uc spezifiziert - die folgen in keinster Weise aus den D^-1.
Ich bin völlig bei dir, genau so ist das.

Ich sehe überhaupt nicht, wieso man da keinen weiteren Beobachter einfügen könnte und wie gesagt auch nicht, was du da als problematisch siehst. Hast du da etwas anderes erwartet?.
Nun betrachten wir aber nochmal die beiden Formeln. Ich kann (1+z) bzgl. des Weges C von Punkten 1 nach N in immer feinere Stücke unterteilen und die genannte Beobachterfamilie einschieben. Ich erhalte

$$ 1+z_{1,N} = \prod_n (1+dz_{n,n+1}) $$

mit infinitesimalen Verschiebungen; bei der Wahl der Beobachter, die ich einschiebe, bin ich (mathematisch) frei.

Nun mache ich das selbe für die Parallelverschiebung, d.h. ich benutze die bereits vorher diskutierte Darstellung

$$ D^{-1}_{1,N} = \prod_n (1 – dx^\sigma\,\Gamma^{\mu}_{\rho\sigma})_n $$

(die Indexnotation ist nicht ganz korrekt)

Ich kann exakt die selben Stücke wie oben verwenden, und ich kann je Stück von n nach n+1 den Faktor

$$ (D^{-1}_{n,n+1})^\mu_\rho = (1 – dx^\sigma\,\Gamma^{\mu}_{\rho\sigma})_n $$

am Punkt n nutzen um wieder eine Rotverschiebung

$$ (1+dz_{n,n+1}) $$

mittels zweier Beobachter bei n und n+1 zu berechnen. Die infinitesimalen Rotverschiebungen 1+dz sind in beiden Fällen identisch, vorausgesetzt ich schiebe die selben Beobachter ein.

Intuitiv sehe ich dem Ausdruck an, dass ich das Einschieben der Beobachter auch für das Produkt als Ganzes vornehmen kann, nicht nur für einen einzelnen Term, und ich erwarte dann, dass ich das o.g. Produkt für (1+z) erhalte. Wenn man sich die Formeln so anschaut, dann muss das einfach so sein (die Idee ist ein bisschen wie in der QM das Einschieben der Eins)

Aber es funktioniert rein mathematisch nicht, weil ich im Produkt für die Verschiebung keine freien Indizes habe, und die brauche ich für das Skalarprodukt mit der jeweiligen Beobachtergeschwindigkeit. Die Indizes sind in dem Produkt nicht frei, da sie mit dem nächsten Faktor kontrahiert werden. D.h. es funktioniert nur je einzelnem Term, nicht jedoch für das Produkt.

Das ist für die aktuelle Diskussion nicht relevant, aber es stört mich.
 

Ich

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Aber es funktioniert rein mathematisch nicht, weil ich im Produkt für die Verschiebung keine freien Indizes habe, und die brauche ich für das Skalarprodukt mit der jeweiligen Beobachtergeschwindigkeit. Die Indizes sind in dem Produkt nicht frei, da sie mit dem nächsten Faktor kontrahiert werden. D.h. es funktioniert nur je einzelnem Term, nicht jedoch für das Produkt.
Aber du kontrahierst doch nichts, du machst Matrixmultiplikationen. Dafür musst du einen Dummyindex reinschmeißen:
$$ (D^{-1}_{1,3})^\mu_\rho = (D^{-1}_{1,2})^\mu_\lambda (D^{-1}_{2,3})^\lambda_\rho,$$
dann hast du wieder eine Matrix mit zwei freien Indizes.
 

Ich

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Das deSitter-Modell ist also ein ausgezeichnetes Modell in dem eine statische Metrik aufgrund der globalen Homogenität und Isotropie vermöge einer speziellen Interpretation nicht aufeine gravitative sondern eine kosmologische Rotverschiebung führt.
Ich empfinde es eigentlich andersherum: In der de Sitter Metrik kann man eine kosmologische Rotverschiebung eindeutig als Produkt einer gravitativen und einer kinematischen Rotverschiebung darstellen. Das ist deswegen wichtig, weil kosmologische Rotverschiebung in der Populärwissenschaft meist als eine "dritte Art" Rotverschiebung dargestellt wird, die nichts mit den beiden anderen (dem vorgebildeten Laien bekannten) Arten zu tun habe und vielmehr nur durch eine neuartige Qualität expandierenden Raums, nämlich einer Dehnung desselben, erklärbar sei. Mit diesem Mythos aufzuräumen ist m.E. interessanter als die Feststellung, dass statische Beobachter in einem expandierenden Koordinatensystem eine Pekuliargeschwindigkeit haben.


Im Falle
$$ \frac{2M}{r} \simeq\frac{\Lambda}{3}r^2 $$

oder für den gemischten Fall, dass sich ein Beobachter bei sehr kleinem r, der andere bei sehr großem r befindet, gibt es keinen Grund, eine der beiden Interpretationen zu bevorzugen und eine entsprechende Faktorisierung vorzunehmen; es handelt sich letztlich um reine Geschmackssache.
Es ist ja klar, dass die Faktorisierung nicht mehr hinhaut, wenn beides ähnlich groß ist. Die Hintergrundmetrik für Schwarzschild-de Sitter ist nunmal Schwarzschild-de Sitter. Allerdings gibt es durchaus einen triftigen Grund, die erste Interpretation zu verwenden: Man kann darin vernünftig rechnen. Expandierende Koordinaten haben außerhalb homogener, isotroper Räume nichts verloren, sie sind dann mathematisch und vor allem intuitiv eine einzige Katastrophe. Es ist kommt nicht von ungefähr, dass du hier auch für die kosmologische Interpretation statische Koordinaten verwendest, die du im vorherigen Beitrag noch mit gravitativer Rotverschiebung assoziiert hattest.

Aber um den Faden wieder aufzunehmen:
Diese lokalen Inhomogenitäten sind perturbativ ganz gut zu behandeln - oder, wenn sie wirklich lokal genug sind. Bei Quasaren kann man Hinweise auf gravitative Rotverschiebung in manchen Linienformen sehen; wenn's nicht in kosmologischer Entfernung sein muss, kann man das auch gut bei manchen weißen Zwergen sehen. Die Trennung der gravitativen Rotverschiebung von den anderen Beiträgen ist da konzeptuell recht eindeutig. Im allgemeinen Fall ausgedehnterer lokaler Inhomogenitäten hat man es mit dem Sachs-Wolfe-Effekt zu tun, wo man auch ein lokales Potential verwendet.
Also, die Faktorisierung klappt wenn die Störung in ihrer Amplitude gering ist oder wenn sie stark lokalisiert ist. Ersteres ist bei Schwarzschild ganz sicher nicht der Fall, sondern wir reden da über perturbative Methoden, kleine Abweichungen von der Hintergrundmetrik. Die Faktorisierung bei S-dS allerdings klappt ausgerechnet deswegen immer, weil ein Beobahcter (der Emitter) bei sehr kleinem r ist, wo man die Störung durch Lambda vollkommen vernachlässigen kann, und der Empfänger (wir) so weit weg davon sind, dass das SL keinen Beitrag mehr zum Potential leistet. Damit hat man gravitative Rotverschiebung vor flachem Hintergrund, multipliziert mit kosmologischer Rotverschiebung.
 
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TomS

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Aber du kontrahierst doch nichts, du machst Matrixmultiplikationen. Dafür musst du einen Dummyindex reinschmeißen:
$$ (D^{-1}_{1,3})^\mu_\rho = (D^{-1}_{1,2})^\mu_\lambda (D^{-1}_{2,3})^\lambda_\rho,$$
dann hast du wieder eine Matrix mit zwei freien Indizes.
Das istbschon klar.

Aber für das Produkt zweier Rotverschiebungen bräuchte ich doch rechts zwei u's; mit welchen Indizes soll ich das machen?
 

TomS

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Ich empfinde es eigentlich andersherum: In der de Sitter Metrik kann man eine kosmologische Rotverschiebung eindeutig als Produkt einer gravitativen und einer kinematischen Rotverschiebung darstellen. Das ist deswegen wichtig, weil kosmologische Rotverschiebung in der Populärwissenschaft meist als eine "dritte Art" Rotverschiebung dargestellt wird, die nichts mit den beiden anderen (dem vorgebildeten Laien bekannten) Arten zu tun habe und vielmehr nur durch eine neuartige Qualität expandierenden Raums, nämlich einer Dehnung desselben, erklärbar sei. Mit diesem Mythos aufzuräumen ist m.E. interessanter als die Feststellung, dass statische Beobachter in einem expandierenden Koordinatensystem eine Pekuliargeschwindigkeit haben.
Ich halte jede der drei Begriffe zur Rotverschiebung für sinnvoll, wenn ein geeigneter Hintergrund existiert.

Es ist ja klar, dass die Faktorisierung nicht mehr hinhaut, wenn beides ähnlich groß ist. Die Hintergrundmetrik für Schwarzschild-de Sitter ist nunmal Schwarzschild-de Sitter.
Aber ist ist auch nur ein Spezialfall. Solange du eine neue derartigen hast, kannst du von einer Hintergrundmetrik sprechen. Was, wenn nicht? OK, im Kontext der Kosmologie ist das zufälligerweise gegeben, aber a priori nicht.

Expandierende Koordinaten haben außerhalb homogener, isotroper Räume nichts verloren, sie sind dann mathematisch und vor allem intuitiv eine einzige Katastrophe.
Und statische Koordinaten haben außerhalb statischer Räume nichts verloren.

Es ist kommt nicht von ungefähr, dass du hier auch für die kosmologische Interpretation statische Koordinaten verwendest, die du im vorherigen Beitrag noch mit gravitativer Rotverschiebung assoziiert hattest.
Das tue ich nur, weil ich nur so Schwarzschild und deSitter kombiniert kriege.

Es zeigt aber eben, letztlich alles an der Wahl des Hintergrundes liegt. Und der kombinierte Fall zeigt, dass man unterschiedliche Zerlegungen sowie unterschiedliche Interpretationen einführen kann. Unterschiedliche Zerlegungen OK, wenn praktisch. Aber unterschiedliche Interpretationen, nur weil der selbe Term anders geschrieben wird?

Ich tendiere momentan eher zu keiner Interpretation.

Aber um den Faden wieder aufzunehmen:
Also, die Faktorisierung klappt wenn die Störung in ihrer Amplitude gering ist oder wenn sie stark lokalisiert ist.
Klar.

Die Faktorisierung bei S-dS allerdings klappt ausgerechnet deswegen immer, weil ein Beobahcter (der Emitter) bei sehr kleinem r ist, wo man die Störung durch Lambda vollkommen vernachlässigen kann, und der Empfänger (wir) so weit weg davon sind, dass das SL keinen Beitrag mehr zum Potential leistet. Damit hat man gravitative Rotverschiebung vor flachem Hintergrund, multipliziert mit kosmologischer Rotverschiebung.
Verstehe ich nicht.

Zeigst du mir die Faktorisierung, die du meinst? Und deren Interpretation?
 
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