Einsteins Worte waren: "Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt". So war das also ursprünglich gemeint, wobei Masse als ein Maß für die Trägheit des Körpers verstanden wird. Ob die kinetische Energie eines Körpers auch dazugezählt werden sollte ist eine spätere Diskussion, hier ging es nur um Ruhemasse und Ruheenergie. Historisch also reden wir von m0=E0.
Die weitere Diskussion geht dann hauptsächlich darüber, wie man die Begriffe "Masse" und "Energie" genau definiert, damit man möglichst nah an der "intuitiven" Bedeutung der Begriffe bleibt. Bei der Energie ist das relativ eindeutig, bei der Masse aber ein bisschen Geschmackssache. Wenn ich nach Newton unter träger Masse das m aus F=ma verstehe, dann drängt sich als erster Ansatz die relativistische Masse mr=gamma*m0 auf. Auf den zweiten Blick ist das aber ziemlicher Mist. Zum einen, weil diese hübsche Formel nur bei Beschleunigung in Bewegungsrichtung funktioniert. Wenn man quer beschleunigt, bräuchte man eine andere Masse, die "transversale Masse". Das hat mit dem herkömmlichen Verständnis von Masse wenig zu tun, von daher ist es besser, wenn man einfach anerkennt, dass F=ma in der RT nicht mehr gilt. Zum anderen verstehen die meisten Menschen unter Masse eine feststehende Eigenschaft eines Körpers, die nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängen kann. Aus diesen Gründen definiert man heute Masse als die Ruhemasse eines Körpers.
Mathematisch:
Energie und Impuls bilden die Komponenten eines Vektors (E,px,py,pz). Wenn man zwei solche Vektoren addiert, ist die Gesamtenergie die Summe der Einzelenergien, genauso die Impulse. Es gilt also automatisch Energie- und Impulserhaltung. Und beide Größen sind von der Wahl des Bezugssystems abhängig, auch das war in der vorrelativistischen Physik schon so.
Die Masse ist die "Länge" dieses Vektors (definiert aber als m²=E²-p², nicht m²=E²+p²!). Weil der Wechsel in ein anderes Bezugssystem einer Drehung entspricht, die alle solchen Vektorlängen unverändert lässt, bleibt sie in allen Bezugssystemen gleich. Wenn man Vektoren addiert, ist die Länge der Summe im Allgemeinen aber anders als die Länge der Einzelvektoren, es ändert sich also die Masse. Das bezeichnet man dann normalerweiseetwas schwammig als "Umwandlung von Energie in Masse".
