Integral einer Fallbeschleunigung zu einem Potential - Schritt für Schritt

ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

ich möchte den Thread Thema: Gravitative Zeitdilatation und Masse-Zentren nicht übermässig belasten und deswegen diese einfache Aufgabe von "Ich" in einen eigenen Thread auslagern. Ich möchte Stück um Stück voranschreiten und bitte auch um Disziplin und Themenstabilität, dass wir nicht beständig neue Baustellen eröffnen, sondern einfach nur Schritt um Schritt bei dieser Aufgabe verbleiben, bis sie gelöst ist.

Fragen zum Lösungsweg bitte ich, hier sofort zu stellen, damit wir unterbrechen und diese erörtern können.


Die 1. Aufgabe lautet wie folgt:


Voraussetzungen:
1. sei die Erde eine ideale Kugel mit Masse M[sub]E[/sub] und Radius r[sub]E[/sub].
2. sei die Fallbeschleunigung a(r) = G*M(r)/r²
3. sei das Potential das Integral der Fallbeschleunigung über r vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche beim Abstand r[sub]E[/sub] vom Erdmittelpunkt.
4. sei die Erdmasse homogen über die Erde verteilt und die Dichte habe den Wert ρ[sub]E[/sub].


Aufgabe:
Welchen Wert hat das Potential ?


Lösungsweg:
1. ermittele die Fallbeschleunigung a(r), d.h. setze die Dichte ρ[sub]E[/sub] in M(r) ein
2. ermittele die Stammfunktion der Fallbeschleunigung (unbestimmtes Integral)
3. setze die Integrationsgrenzen ein (bestimmtes Integral)


Viel Spass beim Lösen der Aufgabe.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Ich

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3. sei das Potential das Integral der Fallbeschleunigung über r vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche beim Abstand r[sub]E[/sub] vom Erdmittelpunkt.
...das Potential an der Erdoberfläche. Ganz allgemein ist das Potential eine Funktion von r.

...und diese Aufgabe wurde schon gelöst, wenn ich mich recht entsinne.
 

ralfkannenberg

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...das Potential an der Erdoberfläche. Ganz allgemein ist das Potential eine Funktion von r.
Hallo Ich,

selbstverständlich. Allerdings wollte ich in diesem Thread nicht zu viel Physikkenntnisse voraussetzen, so dass ich das Potential nicht definiert habe, sondern brute force in die Voraussetzungen gepackt habe.

...und diese Aufgabe wurde schon gelöst, wenn ich mich recht entsinne.
Ja, aber nicht von Lothar. - Und ich habe nicht den Eindruck, dass er die Lösung wirklich verstanden hat. Statt dessen hat er da irgendwie im CAS herumgetippt und meist ein Ergebnis erhalten, welches nicht zutreffend war.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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... falls 0 <= r < r_E, und \(a(r) = -G M_E / r^2\), falls r >= r_E

EDIT: Beachte das negative Vorzeichen bei beiden Formeln.
Hallo Bernhard,

das ist natürlich richtig, aber gemäss Voraussetzung 3 betrachten wir nur den Fall r <= r[sub]E[/sub].
Und dort gilt: Fallbeschleunigung a(r) = -G*M(r)/r²


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Hallo Ich,

Lothar hat da ein "Monster" erstellt, zahlreiche neue Variable eingeführt, die man nicht braucht, und jede Menge zusätzliche Gedanken eingebracht, die die Aufgabe unnötig verkomplizieren.

Ich möchte einfach von ihm eine Lösung der Aufgabe, und zwar ohne Umschweife, ohne Ablenkungen, ohne Zusatzideen sehen - eine solche Lösung umfasst vielleicht 5 Zeilen.

Das muss doch möglich sein !!


Da fällt es mir schwer, zu widersprechen.
Und mein Ziel dieses Threads ist es, dass Du mir nach vielleicht 2 Seiten widersprechen kannst.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Ich würde ihm dazu möglichst anschaulich erklären, dass hier eine Potentialdifferenz berechnet werden muss und dass dieser Wert auch eine physikalische Bedeutung hat.
Hallo Bernhard,

warum denn ? Genau sowas ist es doch, was alles zerredet. Er hat da alternative Vorstellungen von "Potentialdifferenzen" und dann wird innert kürzester Zeit alles zerredet statt einfach mal zwei ganz banale Formeln aufzulösen.

Ich meine: es kann doch nicht so schwer sein, mal eine Formel ("Dichte") in eine andere einzusetzen, dabei zu bemerken, dass sich ein Quadrat der Variablen, über die integriert werden soll, herauskürzt, und dann nachfolgend die Stammfunktion einer linearen Funktion zu bestimmen !

Ich bin mir sicher, dass Lothar bis heute noch nicht bemerkt hat, welch banale Mathematik dem ganzen zugrundeliegt. Und ich denke, eben hieran muss man arbeiten.

Und danach dann das grosse Bild aufbauen, also zeigen, in welchen Kontext das ganze zu setzen ist, d.h. welche physikalische Bedeutung das hat.

Natürlich, bei normalen Physikern soll man erst die physikalische Bedeutung überlegen und dann rechnen. Aber das klappt nicht bei Leuten, die andere Vorstellungen von der physikalischen Bedeutung haben und diese um jeden Preis zu verteidigen versuchen: bei solchen Leuten muss man es eben mal gemeinsam durchrechnen. - Vor allem, wenn die Rechnungen wie in diesem Fall so einfach sind.

Das war ja letztlich auch der Grund, warum Ich diese Aufgabe entworfen hat: damit Lothar die Zusammenhänge einmal an einem ganz konkreten Beispiel sehen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
Zuletzt bearbeitet:

Bernhard

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Das war ja letztlich auch der Grund, warum Ich diese Aufgabe entworfen hat: damit Lothar die Zusammenhänge einmal an einem ganz konkreten Beispiel sehen kann.
Hallo Ralf,

das Nachbarthema ist aus meiner Sicht gründlich schief gegangen und es macht auch wenig Spaß darin zu lesen, weil es formelmäßig total überfrachtet ist. Ich deute das als Hinweis darauf, dass hier die zugehörigen Begrifflichkeiten nicht ausreichend oder in ungünstiger Weise erklärt/geklärt wurden, aber das ist natürlich nur (m)eine Meinung.
 

ralfkannenberg

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das Nachbarthema ist aus meiner Sicht gründlich schief gegangen und es macht auch wenig Spaß darin zu lesen, weil es formelmäßig total überfrachtet ist.
Hallo Bernhard,

deswegen habe ich auch einen neuen Thread eröffnet. Allerdings ist nicht zu übersehen, dass Lothar nicht daran interessiert ist, sondern es vorzieht, auf seinen fehlerbehafteten Ansätzen aufbauend kompliziertere Aufgaben zu "lösen" und dabei die Aussagen der User dieses Forums, die zur Lösung beigetragen haben, gegenseitig auszuspielen.


Ich deute das als Hinweis darauf, dass hier die zugehörigen Begrifflichkeiten nicht ausreichend oder in ungünstiger Weise erklärt/geklärt wurden
Die zugehörige Begrifflichkeit besteht aus einer einzigen Zeile:

das Potential ist das Integral über r der Fallbeschleunigung


Alles andere hat Lothar eingebracht, ist nicht von Relevanz und verkompliziert den Sachverhalt in völlig unnötiger Weise.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Hallo Ralf,

Die zugehörige Begrifflichkeit besteht aus einer einzigen Zeile:

das Potential ist das Integral über r der Fallbeschleunigung
aus der Sicht des Mathematikers mag das stimmen. Aus Sicht der Physik kann man dazu sicher noch mehr schreiben. Ich verstehe nicht ganz, warum Du für Laien so hohe, beinahe universitäre Maßstäbe ansetzt. Gerade Laien wollen oftmals nur etwas mitreden können und vor allem unterhalten werden. Ich denke ein "gutes" Forum sollte gerade als mediale Instanz auch den zweiten Punkt bedienen.
 

ralfkannenberg

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aus der Sicht des Mathematikers mag das stimmen.
Hallo Bernhard,

es ist primär eine Vereinfachung.


Aus Sicht der Physik kann man dazu sicher noch mehr schreiben.
Selbstverständlich, aber es wird keinerlei Mehrwert erzeugt, wenn sowas dann von Lothar aus welchem grunde auch immer - das können auch Ungeduld und Wissbegier sein - völlig zerredet wird. Da kann es viel besser sein, einfach mal eine ganz einfache Rechnung selber (ohne Hilfsmittel) auszuführen.


Ich verstehe nicht ganz, warum Du für Laien so hohe, beinahe universitäre Maßstäbe ansetzt.
Ganz im Gegenteil: ich versuche, das Ganze so weit wie möglich zu vereinfachen. Für die Rechnung ist es einfach so: in der Wikipedia kann man bei der gravitativen Zeitdilatation nachlesen, dass diese vom Potential abhängt und eben nicht wie irrtümlich oftmals vermutet von der Fallbeschleunigung. Und über "Ich" 's beide Aufgaben haben wir einen ganz einfachen Zusammenhang zwischen diesen beiden Grössen und da kann man ein bisschen variieren - das passiert ja beim Wechsel von aufgabe 1 zur Aufgabe 2 - und schauen, wie sich das Potential bei gleichbleibender Erdmasse aber anderer Massenverteilung im Erdkörper verändert.


Gerade Laien wollen oftmals nur etwas mitreden können und vor allem unterhalten werden. Ich denke ein "gutes" Forum sollte gerade als mediale Instanz auch den zweiten Punkt bedienen.
Klar, aber Lothar stellt da einen Absolutheitsanspruch, dass er Recht habe und sich die Foren-User über das Ergebnis uneinig seien. Und dem ist nicht so und das ist dann entsprechend konsequent richtigzustellen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Hallo Ralf,

Klar, aber Lothar stellt da einen Absolutheitsanspruch, dass er Recht habe und sich die Foren-User über das Ergebnis uneinig seien. Und dem ist nicht so und das ist dann entsprechend konsequent richtigzustellen.
meiner Erfahrung nach lösen sich viele unangenehme Rückfragen und Rechthabereien, wenn die Motivation stimmt. Man kann also durchaus so argumentieren: Rechne das aus, weil man damit zum Mond fliegen kann, weil man sich damit ein angenehmeres Leben verschaffen kann, oder, oder, oder. So kann auch jeder selbst entscheiden, wann er etwas dazu lernen will und wird scheinbar nicht dazu gezwungen einen vorgegebenen Formalismus in vorgegebener Zeit zu befolgen. Damit will ich es mit der allgemeinen Kritik jetzt aber auch gut sein lassen.
 
Zuletzt bearbeitet:

ralfkannenberg

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Aber die Dichte brauchen wir doch eigentlich nur, um zu zeigen, dass innerhalb der Erde a proportional zu r ist.
Hallo Julian,

das ist korrekt, allerdings muss man für die Bildung der Stammfunktion dann auch noch den Proportionalitätsfaktor ermitteln, wobei man diese natürlich vor das Integral ziehen kann.


Danach brauchen wir sie nicht mehr. Sehe ich das richtig?
Ich denke, Du siehst das richtig :)


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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1. ermittele die Fallbeschleunigung a(r), d.h. setze die Dichte ρ[sub]E[/sub] in M(r) ein
M(r)=ρ[sub]E[/sub]*V(r) = ρ[sub]E[/sub]*4/3*r³*pi

a(r) = G*M(r)/r² = G * ρ[sub]E[/sub]*4/3*r³*pi / r² = 4/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub] * r

2. ermittele die Stammfunktion der Fallbeschleunigung (unbestimmtes Integral)
F(r) = 4/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub] * r² / 2 = 2/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub] * r²

3. setze die Integrationsgrenzen ein (bestimmtes Integral)
Ist bereits erledigt, wenn man den Wert des Potential bei r=0 auf Null setzt.

Welchen Wert hat das Potential ?
Phi = 2/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub] * r[sub]E[/sub]²

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Frage: Was kann man damit anstellen?
Anwort: Setzt man E_kin = E_pot,

so folgt 1/2 v² = 2/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub] * r[sub]E[/sub]²

oder

v = sqrt(4/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub]) * r[sub]E[/sub]

Würde man einen geraden Schacht von Deutschland über den Erdmittelpunkt bis nach ungefähr Neuseeland graben, könnte man hier in D einen Testkörper frei fallen lassen. Er käme in einem befestigten und evakuierten Schacht dann ganz ohne Antrieb mit der Geschwindigkeit Null in Neuseeland an. Am Erdmittelpunkt hätte er die Geschwindigkeit v.

Wegen M[sub]E[/sub] = ρ[sub]E[/sub] * V[sub]E[/sub] = ρ[sub]E[/sub] * 4/3 r[sub]E[/sub]³ * pi gilt auch:

v = sqrt(4/3 * G * pi * ρ[sub]E[/sub] * r[sub]E[/sub]²) = sqrt(G * ρ[sub]E[/sub] * 4/3 * r[sub]E[/sub]³ * pi / r[sub]E[/sub]) = sqrt(G * M[sub]E[/sub] / r[sub]E[/sub])

sqrt steht als Abkürzung für die Quadratwurzel.
 
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Dgoe

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Hallo,

2. sei die Fallbeschleunigung a(r) = G*M(r)/r²
(aus #1) Wie man sieht, sieht man kein Minuszeichen.

3. sei das Potential das Integral der Fallbeschleunigung über r vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche beim Abstand r[sub]E[/sub] vom Erdmittelpunkt.

Also r = r_E, nix kleiner-größer! ?



2. sei die Fallbeschleunigung a(r) = - G*M(r)/r²
... falls 0 <= r < r_E, und \(a(r) = -G M_E / r^2\), falls r >= r_E

EDIT: Beachte das negative Vorzeichen bei beiden Formeln.
Wie man sieht, taucht im Zitat ein Minus auf, dass dort gar nicht war (hier rot hervorgehoben). Nicht korrekt zitiert oder die Ergänzung nicht wirklich gekennzeichnet. Fällt erst im Quervergleich auf.

... gemäss Voraussetzung 3 betrachten wir nur den Fall r <= r[sub]E[/sub].
Warum denn das? Das Kleinerzeichen (<) ist zuviel.

Und dort gilt: Fallbeschleunigung a(r) = -G*M(r)/r²
Wie man sieht, sieht man jetzt ein Minus, im Widerspruch zu #1. Hat sich durchgesetzt ;-)

a(r) = G*M(r)/r²
Um dann wieder zu verschwinden...

:confused:

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

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Um dann wieder zu verschwinden...
Das Minuszeichen ist etwas für Pedanten. Es ist nicht unbedingt erforderlich und kann durch entsprechende Kommentare erklärt werden. Etwas Sorgen bereitet mir das Ziel der Aufgabe. Absolutwerte haben beim Potential, wie 'Ich' bereits geschrieben hat, keinen physikalischen Wert.
 
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