Mathematische Frage: das Photon und die Lichtgeschwindigkeit(?)

Martin H.

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So, nun möchte ich mal wieder mit einer Frage nerven:

1 / Unendlich = 0
1.000.000 / Unendlich = 0
0.000.001 / Unendlich = 0
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0 x Unendlich = N (eine natürliche Zahl)

soweit, so gut!
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Teilchen mit Masse lassen sich nicht auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen,
da ihre Masse Unendlich werden würde.
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Teilchen mit der Masse Null, wie das Photon lassen sich auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen.
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Was mich nun wundert:
0 Masse x Unendlich = N (eine natürliche Zahl) Masse (?)
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Die Masse eines Photons bei Lichtgeschwindigkeit sollte ja dann eine beliebige Masse haben, tut sie aber nicht.

Also steckt irgendwo mein Denkfehler, aber wo(?)
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Ich freue mich auf Eure Antworten!
 

Ich

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Die Masse eines Photons bei Lichtgeschwindigkeit sollte ja dann eine beliebige Masse haben, tut sie aber nicht.
Außerdem solltest du deine Begriffe vernünftig auseinanderhalten. Teilchen mit Ruhemasse 0 können jede beliebige relativistische Masse haben. Das wäre eine vernünftige Aussage, zumindest wenn man noch "relativistische Masse" durch "Energie" ersetzt.
 

ralfkannenberg

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So, nun möchte ich mal wieder mit einer Frage nerven:

1 / Unendlich = 0
Hallo Martin,

eine "Zahl" unendlich ist nicht definiert.

Wollen wir diese Angelegenheit etwas tiefer beleuchten; hierzu benötigen wir eine algebraische Struktur, die man "Schiefkörper" nennt, und um das nicht unnötig zu verkomplizieren wollen wir an dieser Stelle sogar annehmen, dass ein Körper vorliegt; dann ist auch der Hauptsatz der Algebra gültig.

Die rationale Zahlen, die algebraischen Zahlen, die reellen Zahlen und auch die komplexen Zahlen bilden einen solchen "Körper", um einige prominente Beispiele zu nennen. Falls Dich diese Thematik näher interessiert, kannst Du Dir einmal zwanglos den Körper IQ(sqrt(2) ) anschauen, mit sqrt(2) der Quadratwurzel aus 2 und IQ dem Körper der rationalen Zahlen. Dies ist die Menge aller Zahlen der Form p + q*sqrt(2) mit p und q rationale Zahlen. Sie bilden einen Körper, weil man den Ausdruck 1/(p + q*sqrt(2) ) mit (p - q*sqrt(2) ) erweitern kann und somit die Quadratwurzel im Nenner verschwindet.


Zurück zur Unendlichkeits-Problematik:

Das Problem ist ja das multiplikative Inverse der 0 - wir wollen sie 0' nennen, also eine Lösung der Gleichung 0' * 0 = 1.

Nun gilt aber:
0' * 0
= 0' * (x-x)
= 0' * x - 0' * x
= K - K
= 0 und eben nicht 1.

Somit kann es in einem Körper kein Element 0' geben.


Was vielen Anwendern nicht bewusst ist: es gibt zwar unendlich viele Zahlen, aber keine von ihnen ist unendlich gross. Wenn man Körper vorliegen hat, in denen noch gewisse Zusatzbedingungen herrschen, so sind diese Zusatzbedingungen vielleicht "stark" genug, dass man eine Konvergenz 0' -> maximales Element erreichen kann.

Im Falle der relativistischen Geschwindigkeitsrelation ist dieses maximale Element endlich, nämlich die Vakuumlichtgeschwindigkeit, im Falle der rationalen Zahlen wächst der "Grenzwert" über alle Schranken, d.h. strebt gegen "unendlich".


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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(...) unendlich ist nicht definiert.
Genau das wollte ich vorhin auch schon anmerken, allerdings auch nur das, nicht mehr. Rat mal von wem ich das hab? :)
Hallo Dgoe,

dabei ist zu beachten, was Bernhard in diesem Zusammenhang geschrieben hat:

Das ist ein unbestimmer Ausdruck. Man muss da bei jedem Fall einzeln prüfen, was dabei herauskommt.
Ein grosser Teil der höheren Mathematik besteht darin, Methoden zu finden, wann man in solche Ausdrücke etwas sinnvolles hineindefinieren kann. Wobei man dabei aber von abzählbar unendlichen Mengen ausgeht und dann Methoden erarbeitet, wann man gewisse Resultate auch auf überabzählbare Mengen anwenden darf.

Dass das nicht ganz trivial ist zeigen die Statistiken der Durchfallraten, wobei man das Gesamt-Diplom trotzdem bestehen kann, wenn man in diesen Fällen nur knapp nicht besteht und das in den anderen Fächern wieder kompensieren kann.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

UMa

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Hallo Martin,

allgemein gilt:

E² = (p*c)² + (m_0*c²)²

E ist die Energie
p der Impuls, p²=p*p ist das Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst.
c ist die Lichtgeschwindigkeit
m_0 ist die Ruhemasse


Ist die Ruhemasse m_0= 0, bleibt nur noch
E² = (p*c)² oder E = |p|c
Dabei ist |p| der Betrag des Vektors p

Ist der Impuls p = 0, bleibt nur noch
E² = (m_0*c²)² oder E=m_0*c²
Das ist die Ruheenergie.

Grüße UMa
 

ralfkannenberg

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Das ist ein unbestimmer Ausdruck. Man muss da bei jedem Fall einzeln prüfen, was dabei herauskommt.
Hallo zusammen,

ich möchte an dieser Stelle ein einfaches geometrisches Beispiel vorführen, in dem das funktioniert.

Die rationale Zahlen, also die "Brüche", bei denen Zähler und Nenner ganze Zahlen und der Nenner von 0 verschieden sind, haben die Eigenschaft, dass der Mittelwert zweier Brüche ebenfalls ein Bruch ist: seinen p1, p2, q1 und q2 ganze Zahlen, so gilt:

(1/2)*(p1/q1 + p2/q2)
= (1/2)*(p1*q2 + p2*q1)/q1*q2
= (p1*q2 + p2*q1)/(2*q1*q2) und das ist ein Bruch zweier ganzer Zahlen; und da q1 und q2 von 0 verschieden sind, ist auch q1*q2 von 0 verschieden.


@Dgoe: an dieser Stelle siehst Du sehr schön, warum die Brüchebildung nur bei Ringen klappt, die nullteilerfrei sind !


Nun stellen wir uns vor eine Wand, z.B. im Abstand von 1 Meter.

Nun gehen wir die Hälfte der Strecke zur Wand, oder gehen zum Mittelwert von der Wand (x=0) und unserer Position (x=1). Da die Wand an der Stelle x=0 ist, also an der Stelle p1=0 und q1 = 1, ist das die Operation (1/2)*(1 Meter); wir sind nun also an der Position x=1/2.

Im zweiten Schritt gehen wir wieder die Hälfte zur Wand, d.h wir kommen zur Position x=1/4, denn (1/2)*(1/2) Meter = 1/4 Meter.

Im dritten Schritt gehen wir wieder die Hälfte zur Wand, d.h wir kommen zur Position x=1/8, denn (1/2)*(1/4) Meter = 1/8 Meter.

Wir sind nun schon n-Schritte gegangen und befinden uns an der Position x=1/(2[sup]n[/sup]).

Im (n+1).-ten Schritt gehen wir wieder die Hälfte zur Wand, d.h wir kommen zur Position x=1/(2[sup]n+1[/sup]), denn (1/2)*(1/(2[sup]n[/sup]) Meter = 1/(2[sup]n+1[/sup]) Meter.


Die Folge der Nenner ist also (1, 2, 4, 8, ..., 2[sup]n[/sup], 2[sup]n+1[/sup], ...) und wächst über alle Schranken an.
Unser Abstand zur Wand - das ist die Folge (1, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/(2[sup]n[/sup]), 1/(2[sup]n+1[/sup]), ...) konvergiert dabei gegen 0.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Bernhard

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Hallo Ralf,

ich möchte an dieser Stelle ein einfaches geometrisches Beispiel vorführen, in dem das funktioniert.
warum so kompliziert?

Unbestimmte Ausdrücke werden bereits an der Schule vorgestellt und zwar in der Form von Grenzwerten, wie z.B. lim x->0 (x²/x), oder lim x->0 (sin(x)/x). Mit der l'Hospitalsche Regel kann man da bereits relativ viel berechnen.

Speziell dieses Thema läßt sich wohl eher mit einem Hinweis auf die Wellenmechanik erweitern. Auch dort erfüllen gewisse Parameter gewisse Beziehungen, wie sie z.B. UMa angegeben hat, die dort allerdings nicht als Grenzwerte aus unbestimmten Ausdrücken abgeleitet werden.
 

ralfkannenberg

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warum so kompliziert?
Hallo Bernhard,

weil es eben einfach ist: in meinem Beispiel genügt ein Integritätsbereich, auf dem eine Quotientenkörperbildung vorgenommen wurde.

Unbestimmte Ausdrücke werden bereits an der Schule vorgestellt und zwar in der Form von Grenzwerten, wie z.B. lim x->0 (x²/x), oder lim x->0 (sin(x)/x). Mit der l'Hospitalsche Regel kann man da bereits relativ viel berechnen.
Um das machen zu können benötigst Du sehr viele Zusatzbedingungen: Du brauchst eine Stetigkeit, hierfür wiederum benötigst Du ein Kontinuum, d.h. letztlich Dedekind'sche Schnitte, um das axiomatisch sauber hinzubekommen usw. usw.

Im Körper der rationalen Zahlen hast Du das alles nicht, auch wenn diese in IR dicht liegen. Und um eine Folge gegen 0 laufen zu lassen benötigt man das alles auch nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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in meinem Beispiel genügt ein Integritätsbereich, auf dem eine Quotientenkörperbildung vorgenommen wurde.
Hallo Ralf,

das ist zweifelsfrei interessant, aber sicher nichts für Leute, wie Martin oder Dgoe, die eher noch an den Grundlagen arbeiten. Quotientenkörper wären im matheboard gut aufgehoben, (aber ich kenne dort auch die Nutzungsbedingungen und schreibe dort deswegen eigentlich nicht mehr).
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo Bernhard,

das stimmt schon im Allgemeinen, hier im Speziellen hat mir Ralf jedoch schon mal ausführlich vermittelt, was Gruppen, Ringe und Körper sind (öffentlich, anderes Forum).
Ohne diesen Hintergrund sind die Begriffe sicher aber auch für ein Comic oder eine Persiflage gut, wenn man sicher gehen will, dass man nicht verstanden wird.

Gruß,
Dgoe
 

pane

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lim x->0 (sin(x)/x). Mit der l'Hospitalsche Regel kann man da bereits relativ viel berechnen.

Diesen Grenzwert brauchst Du aber, um die Ableitung des Sinus zu berechnen. Da Du ihm da noch nicht hast, darfst Du da auch nicht den l´Hospital anwenden. Du kommst nicht umhin, ihm einmal ohne l´Hospital zu berechnen.

Ralf, Du gehst stillschweigend davon aus, dass Dein Ring von der Charakteristik 0 ist. Es gibt, wie Du sicher weißt, auch andere Ringe, wie etwa die Galoisfelder, die sogar Körper sind, etwa das GF2, das nur aus 1 und 0 besteht, und bei dem 1+1=0, alle andere Additionen und Multiplikationen wie gewohnt.

Mit freundlichen Grüßen

pane
 

ralfkannenberg

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Ralf, Du gehst stillschweigend davon aus, dass Dein Ring von der Charakteristik 0 ist.
Hallo pane,

ich hatte das in meinem Beitrag #4 ursprünglich sogar geschrieben, habe das aber wieder entfernt und durch den bla-bla-Satz
Die rationale Zahlen, die algebraischen Zahlen, die reellen Zahlen und auch die komplexen Zahlen bilden einen solchen "Körper", um einige prominente Beispiele zu nennen.
ersetzt und später vergessen, dass ich das wieder entfernt hatte ... :eek:


Es gibt, wie Du sicher weißt, auch andere Ringe, wie etwa die Galoisfelder, die sogar Körper sind, etwa das GF2, das nur aus 1 und 0 besteht, und bei dem 1+1=0, alle andere Additionen und Multiplikationen wie gewohnt.
Selbstverständlich, deswegen ja auch meine Herleitung, dass es 0' nicht gibt. In einem endlichen Körper braucht man hierfür gar keine Unendlichkeiten für sowas zu bemühen.

Ich persönlich pflege die GF2 übrigens als F[sub]2[/sub] zu bezeichnen. Das F steht für "field", also "Feld" - das ist der englische Name für Körper und hat sich beispielsweise in der von pane genannten Wortwahl "Galoisfeld" auch im deutschen erhalten.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Das Problem ist ja das multiplikative Inverse der 0 - wir wollen sie 0' nennen, also eine Lösung der Gleichung 0' * 0 = 1.
Hallo zusammen,

Vorsicht noch mit diesem Apostrophen, der wird in ganz unterschiedlichen Zusammenhängen verwendet. Oftmals, um eine 1.Ableitung zu kennzeichnen, oftmals, um das Nachfolgeelement aus den Peano-Axiomen zu kennzeichnen, manchmal auch, um eine Koordinatentransformation zu kennzeichnen, nur um einige Beispuile zu nennen.

Im Rahmen der Peano-Axiome würde natürlich gelten 0' = 1, falls die 0 Element der zu betrachtenden Menge ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Diesen Grenzwert brauchst Du aber, um die Ableitung des Sinus zu berechnen.

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus. Der Grenzwert berechnet sich hier per l'Hosp. in einem Einzeiler zu cos(0) / 1 = 1.
Hallo Bernhard,

so einfach geht das leider nicht, denn um die Ableitung des Sinus zur Cosinusfunktion zu berechnen, muss man den Grenzwert lim[sub]{h->0}[/sub] sin(h)/h berechnen.


Freundliche Grüsse, Ralf


Der Vollständigkeit halber nochmal pane's vollständiges Zitat:

Diesen Grenzwert brauchst Du aber, um die Ableitung des Sinus zu berechnen. Da Du ihm da noch nicht hast, darfst Du da auch nicht den l´Hospital anwenden. Du kommst nicht umhin, ihm einmal ohne l´Hospital zu berechnen.
 
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Martin H.

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Danke zunächst mall, für die vielen Antworten,
muss leider gleich wieder los.
Werde mich aber am Wochenende noch eingehender mit den Antworten befassen.
Es sind doch einige Böhmische Dörfer für mich!

Gruß Martin
 

ralfkannenberg

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muss man den Grenzwert lim[sub]{h->0}[/sub] sin(h)/h berechnen.
Hallo zusammen,

ich will ganz kurz skizzieren, wie man das macht, man macht es geometrisch.

Wenn man sin(x) hat, so kann das ein Winkel sein, meist nimmt man aber als Konvention das "Bogenmass", das ist die Länge des Kreisbogens, der von dem Winkel überstrichen ist, wenn der Radius des Kreises 1 ist. Und da die Winkel unabhängig vom Kreisradius immer gleich sind, darf man also einen Einheitskreis verwenden, der Radius 1 hat.

Zur Erinenrung: "Einheiten" sind Zahlen, die in einem Ring ein multiplikativ inverses Element haben; so haben im Ring der ganzen Zahlen nur di ebeiden Zahlen {1, -1} ein solches inverses Element, den 1/(-1) = -1 und 1/(+1) = +1. Das Neutralelement der Multiplikation, also die 1, ist trivialerweise immer eine Einheit.

Und nun konstruiert man sich eben 2 Dreiecke, bei denen eine Ecke im Nullpunkt liegt.

Eine zweite Ecke findet man, indem man entlang der Geraden geht, die um den Winkel x zur x-Achse geneigt; beim Dreieck Nr. 1 nimmt man den Punkt, der sich mit dem (Einheits-)Kreis schneidet. Der dritte Punkt ist dann die Senkrechte auf die x-Achse.

Dreieck Nr.2 ist etwas grosser, hier ist das Lot gerade die Stelle, an der der Kreis die x-Achse schneidet, und hier geht man also senkrecht nach oben, bis man die um den Winkel x-geneigte Gerade trifft.

Man sieht, dass die Bogenlänge grösser ist als das Lot des ersten Dreiecks, und dass die Bogenlänge kleiner ist als das Lot des zweiten Dreiecks.

Natürlich muss man sich das alles aufmalen.

Und nun setzt man einfach die Definition des Sinus und des Cosinus in die beiden Dreiecke ein und lässt x gegen 0 gehen. Dabei sieht man, dass das erste Lot von unten gegen 1 geht und dass das zweite Lot von oben gegen 1 geht, und daraus kann man dann die gewünschte Identität herleiten.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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