Rotierende Ebene

ralfkannenberg

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Warum zum Geier ist 3D-mäßig yz plötzlich xy, das ist total counterintuitiv.
Hallo Dgoe,

wieso das denn ? Was ändert sich bei Deiner Fragestellung, wenn Du statt auf der x-Achse zu liegen und die y- und z-Achsen herumzudrehen Dich statt dessen wie eine Club-Tänzerin an einer Stange Dich an der z-Achse festhälst und die x- und y-Achse herumdrehen lässt ?

Zurückgefragt hätte ich nur dann, wenn "Ich" die yz-Ebene durch eine yx-Ebene ersetzt hätte, weil dadurch die Orientierung geändert worden wäre. Aber ok - Du könntest Dich ja kopfunter an der z-Achse festhalten und von unten auf diese Ebene schauen, dann wäre alles wieder gut.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. ceterum censeo vectorem nullum esse habendam imago
 

Dgoe

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Nein, nein nein nein.

xy bleibt wie immer und in die Tiefe (des Blattes) kommt eine neue Achse hinzu. Fettig.

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo Ralf,

ich habe keinerlei Probleme mich sonst wie zu drehen und zu orientieren. Ich beherrsche perspektivisches Malen und Zeichnen mit Licht und Schatten und allem drum und dran.

Da hat man alle paar Millimeter so eine Denkaufgabe zu bewältigen.

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

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Hallo Dgoe,

der "Witz" an Deiner Aufgabe ist, dass es da zwei recht unterschiedliche Herangehensweisen für die Lösung gibt und Ralf vertrat dabei ursprünglich die eine und Ich die andere Möglichkeit. Wie kann man nun beide Herangehensweisen miteinerander verbinden? Nun, dazu sollte man sich wohl zuerst mal überlegen, wie man die vorgeschlagenen Ebene beschreiben will, denn das ist eindeutig. Es ist nämlich die Menge aller dreidimensionalen Punkte/Vektoren mit der Eigenschaft x=1. Du hattest es im Eröffnungsbeitrag ja gemäß (1,y,z) angeschrieben.

Wie kann man nun diese Punktemenge um die x-Achse drehen?

Dazu eine Vorbemerkung: Gedreht wird hier um einen Winkel im Bogenmaß, also 0 bis 2*pi entsprechend 0 bis 360°. Ferner kann man links oder rechts herum drehen, bzw. mit positiven oder negativen Winkeln. Ralf hatte dazu den Begriff der Orientierung eingeworfen, der allerdings von Deiner eher technischen Fragestellung mMn eher wegführt. Einfacher geht es mit der Definition von positiven und negativen Winkeln. Die Drehmatrix kann beides und man muss sich bei solchen Aufgaben immer wieder sehr gut überlegen, in welche Richtung man dreht.

[btw]Cubesolver (Rubiks Cube) können davon übrigens auch ein Lied singen, weil es da auch Drehungen des gesamten Würfels um die drei räumlichen Achsen gibt, beispielsweise x und x', also um 90° in beide möglichen Richtungen, aber das nur am Rande.[/btw]

Möglichkeit 1 zur Lösung Deiner Aufgabe:
Vergiss die x-Komponente und drehe nur die Punkte der Ebene

Möglichkeit 2:
Multipliziere den vollen Vektor (1,y,z) mit der dreidimensionalen Drehmatrix um die normierte Achse (1,0,0).

Rechnet man Möglichkeit 2 konkret durch, sieht man, dass dabei die x-Komponente aller Punkte unverändert bei x=1 bleibt (wie das auch sein soll) und genau das hatte 'Ich' (also nicht ich, sondern 'Ich' - schönes Wortspiel :) ) oben auch schon angemerkt.
MfG
 

Bernhard

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Rechnet man Möglichkeit 2 konkret durch, sieht man, dass dabei die x-Komponente aller Punkte unverändert bei x=1 bleibt
Schauen wir uns das doch gleich noch konkret an: Die Drehachse ist ja schön einfach zu (1,0,0) gewählt. Es gilt also n1 = 1, n2 = 0 und n3 = 0. Eingesetzt in die allgemeine Drehmatrix ergibt das für die erste Zeile der Matrix die Werte 1,0,0 und mehr brauchen wir vorerst gar nicht. Die x-Komponente des gedrehten Vektors berechnet sich damit bereits zu

x_gedreht = 1 * 1 + 0 * x + 0 * z = 1

und bleibt damit unverändert bei 1.

BTW: Wir können uns dann später auch noch ansehen, wie man die vorgegebene Drehgeschwindigkeit (allererster Beitrag = Aufgabenstellung) in einen zeitabhängigen Winkel umrechnet. Vorher sollte man aber noch klären in welche Richtung generell gedreht wird. Dazu sollte man einen Beobachter auf der x-Achse einführen. Der kann dann sagen, ob links oder rechts herum gedreht wird. Der Beobachter könnte dabei entweder im Ursprung oder bei x=2 sitzen. x=1 wäre ausgesprochen unsinnig ;-) . Welches Vorzeichen der Drehwinkel bekommt kann dabei dann auch geklärt werden.
MfG
 

Ich

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Warum zum Geier ist 3D-mäßig yz plötzlich xy, das ist total counterintuitiv.

Ich werde mich in Zukunft dafür einsetzen, dass didaktisch hier keine Hürde entsteht. xy bleibt PUNKT und z kommt hinzu. Nicht etwa zy und drehen..

Is ja gar nicht. Aber wenn man was neues lernt, nimmt man normalerweise erst den einfachsten Fall und verallgemeinert dann. Drehungen spielen sich immer in zwei Dimensionen ab, da reicht xy. Wenn man das dann verstanden hat und was anderes machen will, schaut man bei Wikipedia die Drehung um die x-Achse nach und stellt fest, dass das eigentlich dasselbe ist - die dazugekommenen Matrixelemente machen nichts anderes als x auf x abzubilden.
Kannst du natürlich auch gleich machen, dann vergiss die xy. Die sollen nicht stören.
 

ralfkannenberg

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Hallo Dgoe,

zudem würde ich den Ball anfangs noch etwas flacher halten und die sinus und cosinus noch weglassen, die braucht man ja nur für den allgemeinen Fall.

Statt dessen kann man sich das schön anschaulich geometrisch herleiten:

Schritt 1:
1. was passiert bei einer Drehung um 0° ?
2. was passiert bei einer Drehung um 90° ?
3. was passiert bei einer Drehung um 180° ?
4. was passiert bei einer Drehung um 270° ?

Ganz konkret:

was passiert mit den beiden Vektoren (1,0) und (0,1) bei obigen Drehungen ?

Also:
Drehung(0°): (1,0) -> ?
Drehung(0°): (0,1) -> ?

Drehung(90°): (1,0) -> ?
Drehung(90°): (0,1) -> ?

Drehung(180°): (1,0) -> ?
Drehung(180°): (0,1) -> ?

Drehung(270°): (1,0) -> ?
Drehung(270°): (0,1) -> ?


Wenn man das verstanden hat, dann kann man sich mal überlegen, was bei etwas komplizierteren Drehungen passiert.


Schritt 2:
Am einfachsten sind die Fälle einer Drehung um 30° und um 45°; wenn man sich die Mühe macht und das geometrisch herleitet - was ganz einfach ist, dann sieht man dabei auch, dass bei der Drehung um 30° der Fall der Drehung um 60° auch schon mit abgehandelt wird.

Dazu dann noch zwei Tipps:
1. bei einer Drehung um 45° ist die Diagonale involviert
2. bei einer Drehung um 30° (bzw. um 60°, weil 60° = 90°-30°) ist die eine Komponente des gedrehten Vektors doppelt so lang wie die andere


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Drehung gegen den Uhrzeigersinn:

Drehung(0°): (1,0) -> (1,0)
Drehung(0°): (0,1) -> (0,1)

Drehung(90°): (1,0) -> (0,1)
Drehung(90°): (0,1) -> (-1,0)

Drehung(180°): (1,0) -> (-1,0)
Drehung(180°): (0,1) -> (0,-1)

Drehung(270°): (1,0) -> (0,-1)
Drehung(270°): (0,1) -> (1,0)
 
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ralfkannenberg

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Drehung gegen den Uhrzeigersinn:

Drehung(0°): (1,0) -> (1,0)
Drehung(0°): (0,1) -> (0,1)

Drehung(90°): (1,0) -> (0,1)
Drehung(90°): (0,1) -> (-1,0)

Drehung(180°): (1,0) -> (-1,0)
Drehung(180°): (0,1) -> (0,-1)

Drehung(270°): (1,0) -> (0,-1)
Drehung(270°): (0,1) -> (1,0)

Hallo Dgoe,

super. Wie sehen die entsprechenden Drehmatrizen D[sub]0°[/sub], D[sub]90°[/sub], D[sub]180°[/sub] und D[sub]270°[/sub] aus ?

Tipp: Das Bild von (1,0) steht - per definitionem ! - in der ersten Spalte einer jeden Matrix, also insbesondere auch der Drehmatrix, und das Bild von (0,1) steht - ebenfalls per definitionem - in der zweiten Spalte einer jeden Matrix, also insbesondere auch der Drehmatrix.

Beachte, dass D[sub]180°[/sub] auch als "Punktspiegelung" bezeichnet wird.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

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D[SUB]0°[/SUB]
(1 0
0 1)

D[SUB]90°[/SUB]
(0 -1
1 0)

D[SUB]180°[/SUB]
(-1 0
0 -1)

D[SUB]270°[/SUB]
(0 1
-1 0)

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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D[SUB]0°[/SUB]
(1 0
0 1)

D[SUB]90°[/SUB]
(0 -1
1 0)

D[SUB]180°[/SUB]
(-1 0
0 -1)

D[SUB]270°[/SUB]
(0 1
-1 0)

Hallo Dgoe,

das gefällt mir so gut, dass ich es nochmals komplett zitiere :)

Üblicherweise schreibt man die Vektoren übrigens übereinander, so dass die Vektoren ebenso wie ihre Bilder in der Matrix übereinander geschrieben werden, was die Übersichtlichkeit wesentlich erhöht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo Kibo,

Danke für den Link. Ich hab mir noch ein Video ausgesucht Rotationsmatrizen - Herleitung zu Fuß (Herleitung der Formel für Rotationsmatrizen nur mit Schulstoff. Rechnen bis zum Umkippen :D), das allerdings über eine Stunde lang ist - mal sehen wie lange ich durchhalte.

Gruß,
Dgoe
 

Kibo

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super. Kannst Du mir gleich mal die erste Gleichung erklären: warum beschreibt 2x + 3y = z eine Ebene ?

Reicht dir die kurze Erklärung?

Aus dem selben Grund, aus dem 2x=y eine Gerade beschreibt.

Etwas länger?

In dieser Funktionsgleichung existieren 3 Variablen. Setzt man beispielsweise für die Variable x die Zahl 2 ein, erhält man eine Gerade, die Bestandteil der Ebene ist, und alle Punkte enthält die als x Koordinate die 2 haben. (nämlich z=4+3y) Das könntest du jetzt mit allen Zahlen machen, diese erhaltenen Geraden nebeneinander legen, und erhälst dann eine Ebene.

Setzt du 2 Beliebige Zahlen, in x und y ein, löst sich die Gleichung nach z auf und du hast so einen Punkt der Bestandteil der Ebene liegt. (Sofern die gegebene Ebene nicht parallel zur Z-Achse liegt)Das könntest du jetzt mit allen Zahlen machen, diese Punkte in ein 3D-Koordinatensystem zeichnen und du erhältst ein schwarzes Blatt Papier... beziehungsweise auch die Ebene.

Setzt du in die Funktionsgleichung eine 3 beliebige Zahlen in x, y und z ein, und die Gleichung wird dadurch gelöst, dann weißt Du, dass diese Koordinaten auf der Ebene liegen. Daher eignet sich die Funktionsgleichung um Herauszufinden, welche Bedingungen erfüllt sein müssen damit ein Punkt Bestandteil einer Ebene ist.

Zielte deine Frage darauf ab, warum bei dieser Funktion jetzt eine Ebene heraus kommen muss?

Weil die Funktion linear ist und 3 Variablen enthält :)

Es gibt nun einmal verschiedene Darstellungsformen für Ebenen in der Mathematik und ich finde, das die in dem Artikel ganz gut zusammen gefasst sind.

mfg
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
kannst Du mir mal ein Beispiel zeigen?
Hallo Dgoe,

typisch - der einfachste Fall, aber ich kann ihn in der Wikipedia nicht finden :(

Da ist etwas, aber gut versteckt: Abschnitt "Beispiele", 2.Beispiel


Ich habe nun herumgesucht, aber ich muss gestehen, ich finde nix brauchbares. Und mit Latex was zu bauen ist mir zu mühsam, vielleicht kann da jemand anderes aushelfen.

An sich sieht es so aus wie hier beschrieben: Abschnitt Square matrix and column vector, "Formel A B" - und vergiss bitte den ganzen anderen Kram, das ist zwar alles wunderbar allgemein und gut und wichtig, aber für den Laien unbrauchbar, unverständlich und vor allem auch nicht nötig.



Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo Bernhard, Hallo Ich,

vielen Dank für die Erklärungen. Mir fällt nur gerade nichts groß ein, was ich dazu sagen soll. Auf jeden Fall interessant, spannend...

@Ralf: Und Dir danke ich natürlich ebenso, kann man nicht oft genug wiederholen!

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Reicht dir die kurze Erklärung?

Aus dem selben Grund, aus dem 2x=y eine Gerade beschreibt.
Hallo Kibo,

exzellent. In einer Prüfung würdest Du schon jetzt dafür von mir die Höchstnote bekommen: Du hast nicht nur verstanden, was das Wesentliche ist, Du hast es auch in den völlig korrekten Zusammenhang eingeordnet. Super :)

Etwas länger?

In dieser Funktionsgleichung existieren 3 Variablen. Setzt man beispielsweise für die Variable x die Zahl 2 ein, erhält man eine Gerade, die Bestandteil der Ebene ist, und alle Punkte enthält die als x Koordinate die 2 haben. (nämlich z=4+3y) Das könntest du jetzt mit allen Zahlen machen, diese erhaltenen Geraden nebeneinander legen, und erhälst dann eine Ebene.
Interessante Didaktik, um es einem Laien zu erklären; das werde ich mir merken. Braucht zwar noch ein bisschen, um das hieb- und stichfest zu machen, aber so als Vorstellungshilfe: warum eigentlich nicht ?

Setzt du 2 Beliebige Zahlen, in x und y ein, löst sich die Gleichung nach z auf und du hast so einen Punkt der Bestandteil der Ebene liegt. (Sofern die gegebene Ebene nicht parallel zur Z-Achse liegt)
Super, Du denkst auch an diesen Spezialfall.

Das könntest du jetzt mit allen Zahlen machen, diese Punkte in ein 3D-Koordinatensystem zeichnen und du erhältst ein schwarzes Blatt Papier... beziehungsweise auch die Ebene.

Setzt du in die Funktionsgleichung eine 3 beliebige Zahlen in x, y und z ein, und die Gleichung wird dadurch gelöst, dann weißt Du, dass diese Koordinaten auf der Ebene liegen. Daher eignet sich die Funktionsgleichung um Herauszufinden, welche Bedingungen erfüllt sein müssen damit ein Punkt Bestandteil einer Ebene ist.
Korrekt.

Zielte deine Frage darauf ab, warum bei dieser Funktion jetzt eine Ebene heraus kommen muss?
Nein, ich wollte auf die 2 Freiheitsgrade hinaus; das hast Du im ersten Satz im eindimensionalen Fall einfach beschrieben und kann wie Du es gemacht hast auf den zweidimensionalen Fall, also dass der Lösungsraum 2 Freiheitsgrade und entsprechend 2 Dimensionen hat, erweitern.

Weil die Funktion linear ist und 3 Variablen enthält :)
Und das ist die mathematische Fassung dessen, was ich eben mit den beiden Freiheitsgraden beschrieben habe.

Es gibt nun einmal verschiedene Darstellungsformen für Ebenen in der Mathematik und ich finde, das die in dem Artikel ganz gut zusammen gefasst sind.
Ich wage die Behauptung, dass Du es besser und vor allem auch anschaulicher beschrieben hast. Ich sollte öfter solche Fragen stellen, denn so ein schöner Beitrag wie Deiner darf ruhig mal in einem Forum stehen.

Herzlichen Dank dafür :)


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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