Und kann sich auch nicht zu {-1,1,1,1} ändern? Nein, weil das per Kovention vorher festgelegt wird, richtig?
Hallo Dgoe,
das ist korrekt. Ich als Mathematiker beispielsweise bevorzuge die von Dir genannte Fassung, und zwar in der vierten Komponente, also (Länge x, Breite y, Höhe z, Zeit t) und dann nur die Zeit t mit -1.
Du kannst aber per Konvention die Zeit t in die erste Koordinate stellen, Du kannst wenn Du nur einen Vektor hast das Koordinatensystem so wählen, dass dieser eine Vektor in x-Richtung weist, um die Rechnungen zu vereinfachen und Du kannst das "-1" der Zeitkoordinate zuweisen oder wie ich das lieber mache der Raumkoordinate.
Das ist mathematisch alles mehr oder weniger äquivalent: Du hast zunächst einmal nur eine Bilinearform, deren Koeffizienten man definieren muss. Ist diese Bilinearform zusätzlich positiv definit, d.h. dann hast Du sogar ein Skalarprodukt.
Wichtig ist hier aber die Physik.
Du hast also einen Punkt in der Raumzeit, d.h.
nicht im Raum, sondern in der
Raumzeit.
Seine Koordinaten seien (x,y,z,t).
Nun macht man eine Lorentztransformation, d.h. man bewegt das Koordinatensystem mit einer konstanten Geschwindigkeit. Das ist der Fall 2, den ich
hier im unvollendeten Thread beschrieben habe, da ist übrigens a(t)=0.
Wichtig: das Koordinatensystem bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, es weist eine Beschleunigung = 0 auf. Im unvollendeten Thread hätte ich erklärt, warum das äquivalent ist, aber das macht für den Moment nichts - setze einfach für den Moment voraus, dass sich das zweite Koordinatensystem mit (1) konstanter Geschwindigkeit und (2) Beschleunigung = 0 und überlasse es für den Moment den Mathematikern, das (1) und (2) äquivalent sind.
In diesem zweiten Koordinatensystem habe der Punkt die Koordinaten (x',y',z',t').
Verwende nun die Bilinearform B{1,1,1,-1}, diese ist wie folgt definiert:
Seien P[sub]1[/sub] und P[sub]2[/sub] zwei Punkte in der Raumzeit -
nicht im Raum !!! - bezüglich des ersten Koordinatensystems K.
Also:
P[sub]1[/sub] = (x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub],z[sub]1[/sub],t[sub]1[/sub]) und
P[sub]2[/sub] = (x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub],z[sub]2[/sub],t[sub]2[/sub])
Dann gilt: B{1,1,1,-1}(P[sub]1[/sub], P[sub]2[/sub]) = x[sub]1[/sub]*x[sub]2[/sub] + y[sub]1[/sub]*y[sub]2[/sub] + z[sub]1[/sub]*z[sub]2[/sub] - t[sub]1[/sub]*t[sub]2[/sub]
Und nun machen wir dasselbe im zweiten Koordinatensystem K', also:
P'[sub]1[/sub] = (x'[sub]1[/sub],y'[sub]1[/sub],z'[sub]1[/sub],t'[sub]1[/sub]) und
P'[sub]2[/sub] = (x'[sub]2[/sub],y'[sub]2[/sub],z'[sub]2[/sub],t'[sub]2[/sub])
Dann gilt: B'{1,1,1,-1}(P'[sub]1[/sub], P'[sub]2[/sub]) = x'[sub]1[/sub]*x'[sub]2[/sub] + y'[sub]1[/sub]*y'[sub]2[/sub] + z'[sub]1[/sub]*z'[sub]2[/sub] - t'[sub]1[/sub]*t'[sub]2[/sub]
Achtung: die Schreibweise K', P', x', y', z', t' hat in diesem Zusammenhang
nichts mit der ersten Ableitung einer Funktion zu tun.
Und wenn man nun die Lorentztransformation einsetzt - das ist sehr mühsam und eine fehlerintensive Fleissaufgabe, dann erhält man eben:
B{1,1,1,-1} = B'{1,1,1,-1}
für alle Koordinatensystemwechsel, d.h.
für alle K' !
Deswegen sagt man, dass die Bilinearform der Minkowski-Raumzeit
lorentz-invariant - korrekt wäre "Lorentztransformations-invariant" - ist, und das ist eben eine
sehr wichtige physikalische Eigenschaft.
Freundliche Grüsse, Ralf