Frage zum Zwillingsparadoxon

Dgoe

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Ach so,

verstehe, thanks!
Na ja, der Stubenhocker "beschleunigt" ja nie... ;)
Komme, wie gesagt, darauf noch mal zurück, nur kaum Zeit gerade, until then.

Für Mitleser: die KS = die Koordinatensysteme
und gleich auch:
RT = Relativitätstheorie
SRT = Spezielle Relativitätstheorie
ART = Allgemeine Relativitätstheorie
IS = Inertialsystem
BS = Bezugssystem

Gruß,
Dgoe
 

Ich

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Na ja, der Stubenhocker "beschleunigt" ja nie... ;)
...womit wir wieder am Anfang wären. Von daher gefällt mir diese Unterscheidung von "bewegt" und "ruhend" überhaupt nicht, das ist doch genau die Ursache des Paradoxons, nicht die Lösung. Die Lösung ist, dass es vollkommen egal ist, wer was als ruhend oder bewegt ansieht, es ist vollkommen unabhängig davon einfach eine Linie länger als die andere.
 

TomS

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...womit wir wieder am Anfang wären. Von daher gefällt mir diese Unterscheidung von "bewegt" und "ruhend" überhaupt nicht, das ist doch genau die Ursache des Paradoxons, nicht die Lösung. Die Lösung ist, dass es vollkommen egal ist, wer was als ruhend oder bewegt ansieht, es ist vollkommen unabhängig davon einfach eine Linie länger als die andere.
Zustimmung.

Auch wenn es penetrant klingen mag: da das Paradoxon offensichtlich auf sprachliche Unsauberkeiten zurückzuführen ist, werbe ich dafür, sich stattdessen eine präzise mathematische Diskussion anzuschauen (wenn man längere Zeit Bauchweh hat, geht man auch zum Facharzt, und redet nicht nur darüber ...)
 

Dgoe

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...womit wir wieder am Anfang wären.
Ja, deswegen auch der Smiley. War nicht ignorant gemeint, nur scherzhaft.

Nur wie so oft, mit einem Fünktchen Ernst gewürzt. Ich komme nur zu dem Schluss, nachdem ich das nochmal durchgesehen habe, dass ich das besser unter GdM unterbringen sollte, da ich weiter insistieren würde, bzw. vom Stil her nicht umhin käme, auch wenn das Ganze noch gleichzeitig als Frage gedacht wäre oder mehrere Fragen enthält.

*to be continued, keep u posted*

Gruß,
Dgoe

P.S.:
Gleichzeitig wäre hier dann Platz für den mathematischen Part.
 
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Ich

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Ja, deswegen auch der Smiley. War nicht ignorant gemeint, nur scherzhaft.
Das hatte ich schon verstanden. Meine Antwort war eigentlich mehr an Bernhard gerichtet, aber der Thread war schon wieder weiter - und deine (soll man sagen: sarkastische?) Bemerkung hat das Problem ja nett auf den Punkt gebracht.
 
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Dgoe

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ds[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP] - dx[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP](1 - dx[SUP]2 [/SUP]/ dt[SUP]2[/SUP]) = dt[SUP]2 [/SUP](1 - v[SUP]2[/SUP])
Also t ist die Zeit und x der Ort, letzterer eigentlich noch unterteilt in x[SUB]1[/SUB],x[SUB]2[/SUB],x[SUB]3[/SUB].
Indem man dt[SUP]2[/SUP] ausklammert, bekommt man praktischerweise die Geschwindigkeit Ort/Zeit, besser Wegstrecke/Zeitspanne.
Dass da überall noch Quadrate rumlungern, soll uns nicht weiter stören...

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Ich befürchte, wenn ich jetzt Bilinearform sage, folgen weitere Fragen.
Hallo Dgoe,

nicht raten - welche Formel ist es:

Bei der Bilinearform der Minkowski-Raumzeit haben wir B{1,-1} [(a,b), (a,b)] = a^2 - b^2 und das kann auch negativ werden, d.h. eine via B({1,-1} definierte "Länge" kann z.B. negativ werden oder den Wert 0 annehmen, obgleich es sich gar nicht um den Nullvektor handelt. Eine Bilinearform ist also im Allgemeinen nicht positiv-definit, wie uns die Bilinearform der Minkowski-Raumzeit zeigt.

Beim Standard-Skalarprodukt indes haben wir B{1,1} [(a,b), (a,b)] = a^2 + b^2 und das ist stets grösser oder gleich 0, und dann und nur dann gleich 0, wenn (a,b) = (0,0), also der Nullvektor.


Und dann schau mal hier nach: Lorentzinvariante; 1.Formel, nur linke und rechte Seite und lass' y-Kordinate und z-Koordinate weg(*)


Freundliche Grüsse, Ralf


(*) das kann man mit einer Koordinatentransformation hinkriegen; man kann es aber auch ausschreiben, dann ist es eben B{1,-1,-1,-1}
 
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TomS

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Also t ist die Zeit und x der Ort, letzterer eigentlich noch unterteilt in x[SUB]1[/SUB],x[SUB]2[/SUB],x[SUB]3[/SUB].
Indem man dt[SUP]2[/SUP] ausklammert, bekommt man praktischerweise die Geschwindigkeit Ort/Zeit, besser Wegstrecke/Zeitspanne.
Dass da überall noch Quadrate rumlungern, soll uns nicht weiter stören...

Gruß,
Dgoe
Und du hast wirklich gelesen, was ich unter dem zu Beginn geposteten Link geschrieben habe?
 

Dgoe

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Und du hast wirklich gelesen, was ich unter dem zu Beginn geposteten Link geschrieben habe?
Ja klar,

warum sollte ich das nur vorgeben. Meinst Du das nicht benötigen der Lorentztransformationen?

Edit:
Vielleicht meinst Du auch die gemeinsamen Aspekte von

dt²(1-v²)

und

dt(sqrt(1-v²(t)))

aus dem Link, oder sowas in die Richtung?

Gruß,
Dgoe
 
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Dgoe

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{1,-1,-1,-1} bleibt bei jedem Koordinatensystemwechsel zweier Inertialsysteme unverändert !
Und kann sich auch nicht zu {-1,1,1,1} ändern? Nein, weil das per Kovention vorher festgelegt wird, richtig?

Mir fehlt es ehrlich gesagt an ein bisschen Prosa zu den Formeln, die das Ganze in einen übergreifenden Zusammenhang setzt und so.

Gruß,
Dgoe
 

TomS

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benötigst du Prosa zu den Formeln, oder mangelt es am mathematischen Verständnis?
 

Bernhard

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Mir fehlt es ehrlich gesagt an ein bisschen Prosa zu den Formeln, die das Ganze in einen übergreifenden Zusammenhang setzt und so.
Hallo Dgoe,

ich denke, Dir fehlt jetzt vor allem eine konkrete Übungsaufgabe. D.h. ein Beispiel, wie man die Formeln aus Toms FAQ konkret anwendet.

Ü1: Eine Uhr ruhe in einem Inertialsystem im Koordinatenursprung (x=y=z=0) für die Zeitspanne von t=0s bis t=10s.

Welche Zeit zeigt diese Uhr bei t=10s an?

Verwende als Begründung für Deine Antwort eine ausführliche und konkrete Rechnung anhand Toms FAQ.

Ü2: Eine Uhr befinde sich an Bord eines hypothetischen Raumschiffes. Dieses Raumschiff fliege mit der (sagenhaften) Geschwindigkeit von 0,5c auf einer Kreisbahn in der xy-Ebene eines Inertialsystems und zwar ebenfalls von t=0s bis t=10s. Das Raumschiff starte seine Reise im Punkt x=100.000 km, y=0, z=0, t=0.

a) Wieviele volle Kreise dreht das Raumschiff in der xy-Ebene des betrachteten Inertialsystems?
b) Welche Uhrzeit zeigt die Uhr nach der Reise an, wenn sie der Kapitän des Raumschiffes abliest?

Verwende als Begründung für Deine Antwort eine ausführliche und konkrete Rechnung anhand Toms FAQ. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 300.000 km/s. Runde die Ergebnisse von a) und b) jeweils auf 2 Stellen hinter dem Komma.
 

ralfkannenberg

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Und kann sich auch nicht zu {-1,1,1,1} ändern? Nein, weil das per Kovention vorher festgelegt wird, richtig?
Hallo Dgoe,

das ist korrekt. Ich als Mathematiker beispielsweise bevorzuge die von Dir genannte Fassung, und zwar in der vierten Komponente, also (Länge x, Breite y, Höhe z, Zeit t) und dann nur die Zeit t mit -1.

Du kannst aber per Konvention die Zeit t in die erste Koordinate stellen, Du kannst wenn Du nur einen Vektor hast das Koordinatensystem so wählen, dass dieser eine Vektor in x-Richtung weist, um die Rechnungen zu vereinfachen und Du kannst das "-1" der Zeitkoordinate zuweisen oder wie ich das lieber mache der Raumkoordinate.

Das ist mathematisch alles mehr oder weniger äquivalent: Du hast zunächst einmal nur eine Bilinearform, deren Koeffizienten man definieren muss. Ist diese Bilinearform zusätzlich positiv definit, d.h. dann hast Du sogar ein Skalarprodukt.

Wichtig ist hier aber die Physik.

Du hast also einen Punkt in der Raumzeit, d.h. nicht im Raum, sondern in der Raumzeit.

Seine Koordinaten seien (x,y,z,t).

Nun macht man eine Lorentztransformation, d.h. man bewegt das Koordinatensystem mit einer konstanten Geschwindigkeit. Das ist der Fall 2, den ich hier im unvollendeten Thread beschrieben habe, da ist übrigens a(t)=0.

Wichtig: das Koordinatensystem bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, es weist eine Beschleunigung = 0 auf. Im unvollendeten Thread hätte ich erklärt, warum das äquivalent ist, aber das macht für den Moment nichts - setze einfach für den Moment voraus, dass sich das zweite Koordinatensystem mit (1) konstanter Geschwindigkeit und (2) Beschleunigung = 0 und überlasse es für den Moment den Mathematikern, das (1) und (2) äquivalent sind.


In diesem zweiten Koordinatensystem habe der Punkt die Koordinaten (x',y',z',t').

Verwende nun die Bilinearform B{1,1,1,-1}, diese ist wie folgt definiert:

Seien P[sub]1[/sub] und P[sub]2[/sub] zwei Punkte in der Raumzeit - nicht im Raum !!! - bezüglich des ersten Koordinatensystems K.

Also:
P[sub]1[/sub] = (x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub],z[sub]1[/sub],t[sub]1[/sub]) und
P[sub]2[/sub] = (x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub],z[sub]2[/sub],t[sub]2[/sub])

Dann gilt: B{1,1,1,-1}(P[sub]1[/sub], P[sub]2[/sub]) = x[sub]1[/sub]*x[sub]2[/sub] + y[sub]1[/sub]*y[sub]2[/sub] + z[sub]1[/sub]*z[sub]2[/sub] - t[sub]1[/sub]*t[sub]2[/sub]


Und nun machen wir dasselbe im zweiten Koordinatensystem K', also:

P'[sub]1[/sub] = (x'[sub]1[/sub],y'[sub]1[/sub],z'[sub]1[/sub],t'[sub]1[/sub]) und
P'[sub]2[/sub] = (x'[sub]2[/sub],y'[sub]2[/sub],z'[sub]2[/sub],t'[sub]2[/sub])

Dann gilt: B'{1,1,1,-1}(P'[sub]1[/sub], P'[sub]2[/sub]) = x'[sub]1[/sub]*x'[sub]2[/sub] + y'[sub]1[/sub]*y'[sub]2[/sub] + z'[sub]1[/sub]*z'[sub]2[/sub] - t'[sub]1[/sub]*t'[sub]2[/sub]


Achtung: die Schreibweise K', P', x', y', z', t' hat in diesem Zusammenhang nichts mit der ersten Ableitung einer Funktion zu tun.

Und wenn man nun die Lorentztransformation einsetzt - das ist sehr mühsam und eine fehlerintensive Fleissaufgabe, dann erhält man eben:

B{1,1,1,-1} = B'{1,1,1,-1} für alle Koordinatensystemwechsel, d.h. für alle K' !

Deswegen sagt man, dass die Bilinearform der Minkowski-Raumzeit lorentz-invariant - korrekt wäre "Lorentztransformations-invariant" - ist, und das ist eben eine sehr wichtige physikalische Eigenschaft.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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