Zur Separabilität: tut mir leid, ich wollte da präzise sein, und habe leider für unnötige Verwirrung gesorgt.
Ja, ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt. Das trifft auch auf separable Hilberträume zu.
Ja, ein Hilbertraum ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbar Hilbert-Basis hat.
Ich kenne wenig Beispiele für nicht-separable Hilberträume in der QM; alle sind irgendwie pathologisch.
Die Tatsache, dass man eine überabzählbare "Basis" verwendet, bedeutet nicht, dass keine abzählbar Basis existiert. Der L[SUP]2 [/SUP]über R ist separabel, auch wenn die Fourierzerlegung eine überabzählbar Basis verwendet. Man zeigt die Separabilität konstruktiv mittels der abzählbaren Eigenfunktionen der Fouriertransformation, den Hermitefunktionen.
Ich denke aber nicht, dass wir dieses Detail hier brauchen.
Hallo zusammen,
ich wende mich in diesem Beitrag mal an die stillen Mitleser, die keine Spezialisten sind.
Tom hat im zitierten Beitrag zahlreiche Fachbegriffe genannt und ich will an dieser Stelle nur möglichst einfach begründen, warum man diese benötigt, ohne in irgendwleche Details zu gehen.
Man kennt in der Mathematik an sich 4 "Typen" von Mengen:
(1) die leere Menge
(2) endliche Mengen
(3) abzählbar unendliche Mengen
(4) überabzählbar unendliche Mengen
Während (1) und (2) intuitiv klar sein dürften, so werden die meisten Laien (3) und (4) eher nicht kennen.
Zwei Beispiele:
- die Menge der natürlichen Zahlen, also {1, 2, 3, 4, ...} ist unendlich, und zwar abzählbar unendlich
- die Menge aller Punkte zwischen 0 und 1, eine Teilmenge des "Kontinuums", ist überabzählbar unendlich
Anschaulich kann man sagen, dass sich abzählbar unendliche Mengen sehr ähnlich wie endliche Mengen Verhalten und in der Mathematik üblicherwiese keine Probleme bereiten; zwar mag es dem Laien meist lästig erscheinen, eine sogenannte "vollständige Induktion" zu tätigen, aber eben: es geht.
Nun ist es so, dass man durch Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen, Wurzelbildungen o.ä. nach wie vor eine abzählbar unendliche Menge erhält; typische Beispiele sind die Brüche ("rationale Zahlen") oder die Wurzeln ("algebraische Zahlen"). Diese können
dicht liegen, d.h. der Mittelwert zwischen zwei solchen Elementen ist ebenfalls in der Menge - man addiert sie und dividiert sie durch 2 - das heisst also, die Abstände zwischen zwei Elementen einer abzählbar unendlichen Menge können gegen 0 konvergieren.
Trotzdem kann es Elemente "dazwischen" geben, wie beispielsweise die Quadratwurzel aus 2 oder die Kreiszahl pi, die keine Brüche sind. Solche dichte Mengen sind also möglicherweise "nicht vollständig".
Man kann sie aber
vollständig machen, indem man alle Grenzwerte von "nett-konvergierenden" Folgen, also von sogenannten Cauchy-Folgen, zu dieser Menge hinzufügt.
Dieser Prozess der Grenzwertbildungen führt aber zu überabzählbar unendlichen Mengen.
Und nun kommt eben die Mathematik: während abzählbar unendliche Mengen meistens sehr ähnlich wie endliche Mengen sind und entsprechend einfach beschrieben werden können - Stichwort: vollständige Induktion - so sind überabzählbar unendliche Mengen in der Regel sehr sehr schwer zu beschreiben.
In der Differenzial- und Integralrechnung bewerkstelligt man das mit Hilfe stetiger Funktionen, der Dreieck-Ungleichung und der Schwarz'schen Ungleichung, aber in komplizierteren Räumen wie Funktionenräumen geht das nicht mehr so einfach.
Die Funktionalanalysis ist nun die mathematische Disziplin, in der man untersucht, wie man eine überabzählbar unendliche Menge "passend" durch eine abzählbar unendliche Menge annäherungsweise beschreiben kann. Aber eben - das ist alles andere als trivial. Hierzu studiert man sogenannte "Banachräume" und wenn ein ganz besonders "schöner" von ihnen vorliegt, so spricht man von einem "Hilbertraum".
Das sind die Studieninhalte vom 5. und 6.Semester eines Mathematikstudiums und die Durchfallraten haben eine sehr deutliche Sprache gesprochen. Wenigstens waren sie nicht von Relevanz, weil man sich in seinem schlechten Fach bei guter Vorbereitung in eine 4 retten konnte und zusätzlich auch 2 gute Fächer hatte (Note "gut" oder besser), mit denen man die Note der Funktionalanalysis und zusätzlich noch der Masstheorie kompensieren konnte.
Freundliche Grüsse, Ralf