"Viele-Welten-Deutung"

Dgoe

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Weißt du, was separabel in der Funktionalanalysis bedeutet?
Natürlich

nicht! :eek:
Ich habe das vielmehr wörtlich verstanden, im Sinne von separierbar. Also als: separable Hilberträume <=> viele Welten.

Was den ontologischen Impact betrifft, bin ich jedenfalls ganz Deiner Meinung.
Dass sich diese Interpretation so zwanglos ergibt, wie beschrieben, bzw. wie ich es herauszulesen meine, ist schon beunruhigend. Ich hoffe es findet sich noch ein Schräubchen oder ein undichtes Ventil...

Ich sehe das jedoch aus gegenenem Mangel an Detail-Verständnis sowieso nur subjektiv.

Selbstverständlich sollte man sich weder von Denkverboten noch von Sensationsgier leiten lassen.
Ich finde Deinen Ansatz vielversprechend, die tatsächlichen fachlichen Probleme zu erörtern.

@Bernhard: zu der Rechnung gerne noch später.

Gruß,
Dgoe
 

TomS

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Danke :eek:

Mit separabel war wirklich nur ein mathematischer Fachbegriff gemeint, ohne jegliche physikalische Bedeutung.
 
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Bernhard

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Ich hoffe es findet sich noch ein Schräubchen oder ein undichtes Ventil...
Da könnte man postulieren, dass unsere physikalische Weltsicht prinzipiell immer unvollständig sein könnte.

Was ist beispielsweise mit den Gravitationswellen, die der Experimentator bei der Durchführung des Versuches erzeugt, um es mal etwas in's Extreme zu treiben. Es könnte ja durchaus sein, dass mit der Hinzunahme von mehr und mehr Details der Meßvorgang auch mehr und mehr an Unitarität im Sinne einer Schrödinger-Gleichung erhält. Wenn ich es recht verstanden habe, hat der Dekohärenz-Ansatz ja bereits erste Erfolge in dieser Richtung erzielt.
MfG
 

ralfkannenberg

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Was stört an dem separablen Hilbertraum? Das ist doch Standard. Weißt du, was separabel in der Funktionalanalysis bedeutet?


Natürlich

nicht! :eek:
Ich habe das vielmehr wörtlich verstanden, im Sinne von separierbar. Also als: separable Hilberträume <=> viele Welten.
Hallo Dgoe,

über die Seperabilität in topologischen Räumen haben wir nun gesprochen und warum ein Hilbertraum ein topologischer Raum ist habe ich auch geschrieben.

Als nächstes: weisst Du, was ein Hilbertraum ist ? Und ich will auch nicht in Geheimnissen reden: als nächstes werde ich dann fragen, ob Du weisst, was eine "Basis" ist, wobei es mir genügt, wenn Du mir eine Basis im IR[sup]3[/sup], also dem üblichen dreidimensionalen Raum, nennst.

Also:
(1) was ist ein Hilbertraum
(2) nenne mir eine Basis des IR[sup]3[/sup]


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Es könnte ja durchaus sein, dass mit der Hinzunahme von mehr und mehr Details der Meßvorgang auch mehr und mehr an Unitarität im Sinne einer Schrödinger-Gleichung erhält. Wenn ich es recht verstanden habe, hat der Dekohärenz-Ansatz ja bereits erste Erfolge in dieser Richtung erzielt.
MfG
Wenn man den Messprozess mittels Dekohärenz beschreibt, dann ist er trivialerweise unitär. Die nicht-Unitarität folgt alleine aus dem Kollapspostulat, aus nichts sonst. Der Formalismus ohne Kollaps ist also unitär.
 

ralfkannenberg

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Zur Separabilität: tut mir leid, ich wollte da präzise sein, und habe leider für unnötige Verwirrung gesorgt.

Ja, ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt. Das trifft auch auf separable Hilberträume zu.

Ja, ein Hilbertraum ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbar Hilbert-Basis hat.

Ich kenne wenig Beispiele für nicht-separable Hilberträume in der QM; alle sind irgendwie pathologisch.

Die Tatsache, dass man eine überabzählbare "Basis" verwendet, bedeutet nicht, dass keine abzählbar Basis existiert. Der L[SUP]2 [/SUP]über R ist separabel, auch wenn die Fourierzerlegung eine überabzählbar Basis verwendet. Man zeigt die Separabilität konstruktiv mittels der abzählbaren Eigenfunktionen der Fouriertransformation, den Hermitefunktionen.

Ich denke aber nicht, dass wir dieses Detail hier brauchen.

Hallo zusammen,

ich wende mich in diesem Beitrag mal an die stillen Mitleser, die keine Spezialisten sind.

Tom hat im zitierten Beitrag zahlreiche Fachbegriffe genannt und ich will an dieser Stelle nur möglichst einfach begründen, warum man diese benötigt, ohne in irgendwleche Details zu gehen.

Man kennt in der Mathematik an sich 4 "Typen" von Mengen:
(1) die leere Menge
(2) endliche Mengen
(3) abzählbar unendliche Mengen
(4) überabzählbar unendliche Mengen

Während (1) und (2) intuitiv klar sein dürften, so werden die meisten Laien (3) und (4) eher nicht kennen.

Zwei Beispiele:
- die Menge der natürlichen Zahlen, also {1, 2, 3, 4, ...} ist unendlich, und zwar abzählbar unendlich
- die Menge aller Punkte zwischen 0 und 1, eine Teilmenge des "Kontinuums", ist überabzählbar unendlich

Anschaulich kann man sagen, dass sich abzählbar unendliche Mengen sehr ähnlich wie endliche Mengen Verhalten und in der Mathematik üblicherwiese keine Probleme bereiten; zwar mag es dem Laien meist lästig erscheinen, eine sogenannte "vollständige Induktion" zu tätigen, aber eben: es geht.

Nun ist es so, dass man durch Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen, Wurzelbildungen o.ä. nach wie vor eine abzählbar unendliche Menge erhält; typische Beispiele sind die Brüche ("rationale Zahlen") oder die Wurzeln ("algebraische Zahlen"). Diese können dicht liegen, d.h. der Mittelwert zwischen zwei solchen Elementen ist ebenfalls in der Menge - man addiert sie und dividiert sie durch 2 - das heisst also, die Abstände zwischen zwei Elementen einer abzählbar unendlichen Menge können gegen 0 konvergieren.

Trotzdem kann es Elemente "dazwischen" geben, wie beispielsweise die Quadratwurzel aus 2 oder die Kreiszahl pi, die keine Brüche sind. Solche dichte Mengen sind also möglicherweise "nicht vollständig".

Man kann sie aber vollständig machen, indem man alle Grenzwerte von "nett-konvergierenden" Folgen, also von sogenannten Cauchy-Folgen, zu dieser Menge hinzufügt.

Dieser Prozess der Grenzwertbildungen führt aber zu überabzählbar unendlichen Mengen.

Und nun kommt eben die Mathematik: während abzählbar unendliche Mengen meistens sehr ähnlich wie endliche Mengen sind und entsprechend einfach beschrieben werden können - Stichwort: vollständige Induktion - so sind überabzählbar unendliche Mengen in der Regel sehr sehr schwer zu beschreiben.

In der Differenzial- und Integralrechnung bewerkstelligt man das mit Hilfe stetiger Funktionen, der Dreieck-Ungleichung und der Schwarz'schen Ungleichung, aber in komplizierteren Räumen wie Funktionenräumen geht das nicht mehr so einfach.

Die Funktionalanalysis ist nun die mathematische Disziplin, in der man untersucht, wie man eine überabzählbar unendliche Menge "passend" durch eine abzählbar unendliche Menge annäherungsweise beschreiben kann. Aber eben - das ist alles andere als trivial. Hierzu studiert man sogenannte "Banachräume" und wenn ein ganz besonders "schöner" von ihnen vorliegt, so spricht man von einem "Hilbertraum".

Das sind die Studieninhalte vom 5. und 6.Semester eines Mathematikstudiums und die Durchfallraten haben eine sehr deutliche Sprache gesprochen. Wenigstens waren sie nicht von Relevanz, weil man sich in seinem schlechten Fach bei guter Vorbereitung in eine 4 retten konnte und zusätzlich auch 2 gute Fächer hatte (Note "gut" oder besser), mit denen man die Note der Funktionalanalysis und zusätzlich noch der Masstheorie kompensieren konnte.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Der L[SUP]2 [/SUP]über R ist separabel, auch wenn die Fourierzerlegung eine überabzählbar Basis verwendet. Man zeigt die Separabilität konstruktiv mittels der abzählbaren Eigenfunktionen der Fouriertransformation, den Hermitefunktionen.

Ich denke aber nicht, dass wir dieses Detail hier brauchen.

Nun ist es so, dass man durch Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen, Wurzelbildungen o.ä. nach wie vor eine abzählbar unendliche Menge erhält; typische Beispiele sind die Brüche ("rationale Zahlen") oder die Wurzeln ("algebraische Zahlen"). Diese können dicht liegen, d.h. der Mittelwert zwischen zwei solchen Elementen ist ebenfalls in der Menge - man addiert sie und dividiert sie durch 2 - das heisst also, die Abstände zwischen zwei Elementen einer abzählbar unendlichen Menge können gegen 0 konvergieren.
Hallo zusammen,

wer von meinem letzten Beitrag nicht schon genug hat kann noch eine Detaillierungsstufe weiter gehen.

Damit man die Dichtheit bestimmen kann, braucht man eine "gute" Abstandsmessung. Die Abstandsmessung kann man mit einer Konstruktion erreichen, die man "Bilinearform" nennt und die ich schon einige Male vorgestellt habe. Allerdings kann es dann wie in der Minkowski'schen Raumzeit der Relatvivitätstheorie vorkommen, dass Abstände negativ werden oder zwei verschiedene Punkte dennoch einen Abstand 0 aufweisen. Bei einer "guten" Abstandsmessung passiert sowas nicht, d.h. diese ist "positiv definit" (nicht: positiv definiert !), und eine Bilinearform, die positiv definit ist, heisst Skalarprodukt.

Nun kann man sich natürlich fragen, wie so eine gute Abstandsmessung konkret aussieht. Sehr bekannt ist die euklidische Abstandmessung, deren Längenbildung sich aus der Quadratwurzel des Quadrates ergibt, also beispielsweise der Summe der Quadrate der Komponenten und daraus dann die Quadratwurzel:

Länge des Vektors (x,y,z) = Quadratwurzel(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup]).

Eine andere gute Abstandsmessung ist Kubikwurzel(x[sup]3[/sup] + y[sup]3[/sup] + z[sup]3[/sup]).

Noch zwei andere gute Abstandsmessungen:
- Linearwurzel(x[sup]1[/sup] + y[sup]1[/sup] + z[sup]1[/sup]), diese schreibt man üblicherweise als |x| + |y| + |z|.
- unendlichste Wurzel(x[sup]oo[/sup] + y[sup]oo[/sup] + z[sup]oo[/sup])

Natürlich ist die letztere nicht definiert, das macht aber nichts, man kann diese ganz korrekt definieren als Maximum von (|x|, |y|, |z|).

Das sind also einige gute Abstandsmessungen und eigentlich die "beste" von denen ist euklidische Abstandsmessung.

Die n.-te Wurzel(x[sup]n[/sup] + y[sup]n[/sup] + z[sup]n[/sup]) "nennt" man im Wesentlichen L[SUP]n[/SUP] über einen passenden Vektroraum; die "beste" davon ist die euklidische Abstandsmessung, also die L[SUP]2[/SUP], die Tom oben angesprochen hatte.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Die n.-te Wurzel(x[sup]n[/sup] + y[sup]n[/sup] + z[sup]n[/sup]) "nennt" man im Wesentlichen L[SUP]n[/SUP] über einen passenden Vektroraum;
Hallo Ralf,

sollte da statt hoch n nicht hoch 1/n stehen?

die "beste" davon ist die euklidische Abstandsmessung, also die L[SUP]2[/SUP], die Tom oben angesprochen hatte.
Vorsicht. In der QM ist L2 eine häufig verwendete Voraussetzung, die hier beschrieben wird: http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#Lp-Normen . Es sind die sogenannten quadratintegrablen Funktionen, die zusammen mit der L2-Norm einen häufig verwendeten Hilbertraum in der QM bilden.

Wie immer ohne Garantie auf Vollständigkeit.
MfG
 

ralfkannenberg

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sollte da statt hoch n nicht hoch 1/n stehen?
Hallo Bernhard,

wo genau meinst Du ?

Vorsicht. In der QM ist L2 eine häufig verwendete Voraussetzung, die hier beschrieben wird: http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#Lp-Normen . Es sind die sogenannten quadratintegrablen Funktionen, die zusammen mit der L2-Norm einen häufig verwendeten Hilbertraum in der QM bilden.
Die Wortwahl "beste" habe ich absichtlich in Anführungsstriche gesetzt, weil sie nur der Veranschaulichung dient. Die L[sup]2[/sup] hat einfach schöne Zusatzeigenschaften, deren detailliertere Ausführung den Rahmen in einem Astronomie-Forum bei weitem sprengen dürfte. Zudem bin ich nur Algebraiker und möchte da lieber einem Analytiker den Vortritt lassen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Hallo Ralf,

wo genau meinst Du ?

hier

Die n.-te Wurzel(x[sup]n[/sup] + y[sup]n[/sup] + z[sup]n[/sup]) "nennt" man im Wesentlichen L[SUP]n[/SUP] über einen passenden Vektroraum;
Ich habe die verkürzte und teilweise auch verwirrende Schreibweise mißverstanden. Du meinst die p-Norm: http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#p-Normen . Der |R^3 wird damit zu einem normierten Raum. Die L_p-Räume sind, wie gesagt, eigentlich Funktionenräume. Ich erwähne das, weil Du explizit x,y,z verwendet hast.
MfG
 

ralfkannenberg

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Ich habe die verkürzte und teilweise auch verwirrende Schreibweise mißverstanden. Du meinst die p-Norm: http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#p-Normen . Der |R^3 wird damit zu einem normierten Raum. Die L_p-Räume sind, wie gesagt, eigentlich Funktionenräume.
Hallo Bernhard,

jetzt passt es :)

Ich erwähne das, weil Du explizit x,y,z verwendet hast.
Ich wollte erst a, b und c nehmen, dachte dann aber, dass es für den Laien einfacher sei, wenn ich x, y und z nehme. - Noch besser wäre natürlich x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub] und x[sub]3[/sub] zu nehmen. Wobei man wie gesagt bezüglich der Indexmenge der x bei Hilberträumen mit überabzählbarer Basis "etwas" aufpassen muss ... - man beachte hierbei, dass Reihen mit überabzählbar unendlich vielen echt positiven Gliedern stets über alle Schranken anwachsen, während Reihen mit "nur" abzählbar unendlich vielen echt positiven Gliedern durchaus konvergieren können, wie die geometrische Reihe für 1/2, also 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 oder fast noch banaler die Reihe 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... = 0.333... = 1/3 zeigt.

Wie gesagt - ich bin kein Analytiker und kenne mich mit den Hilberträumen und ihren Basen nicht sonderlich gut aus.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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TomS

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Für normale Anwendungsfälle in der QM sind der Funktionenraum L[SUP]2[/SUP] (Fourierintegrale etc.) sowie der Folgenraum l[SUP]2[/SUP] (Fourierreihen u.ä.) ausreichend. Distributionen und die dazu notwendigen Räume werden zwar verwendet, können aber bei geeignete Basiswahl vermieden werden, und sind m.W.n. bei diesen grundlegenden Fragestellungen irrelevant. Da alle separablen Hilberträume isomorph sind, können prinzipiell alle Untersuchungen auf die o.g. Standardfälle zurückgeführt werden.

Der l[SUP]2[/SUP]-Raum ist am engsten mit dem R[SUP]n [/SUP]verwandt, er stellt sozusagen die unendlich-dimensionale Verallgemeinerung dar.
 
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ralfkannenberg

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1) Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum, eine Verallgemeinerung des euklidischen Raums auf unendlich viele Dimensionen
Hallo Dgoe,

so kann man es sich vorstellen und so soll man es sich auch vorstellen. Es ist das, was ich lesen wollte.

Es ist aber trotzdem noch ungenau (dank meines falschen Verständnisses Deines 2.Satzes bin ich darauf gestossen):

Ein Hilbertraum muss auch noch vollständig sein, d.h. jede Cauchy-Folge muss konvergieren. In der Wikipedia hat man diese Zusatzbedingung in der Wortwahl "ein Vektorraum über IR oder IC" versteckt. Das geht, da es ein vollständiger Körper isomorph zu einem Körper sein muss, der IR umfasst. Und von denen gibt es nur zwei, nämlich IR sowie IR(i), und das ist IC. Denn für IR(i,j) gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation nicht mehr und damit verliert man den Hauptsatz der Algebra. IR(i,j) ist der Schiefkörper der Quaternionen.



- und ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist.
Jetzt hast Du mich beschäftigt, weil das so nicht stimmen konnte; das war aber gut so, denn dadurch habe ich noch obige Ungnauigkeit bemerkt.

Ich habe Dich so verstanden, dass Du schreibst:
"und ein Banachraum (ist ein Raum), dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist."

Das wäre falsch, denn die Norm eines Banachraumes kann eine beliebige sein.

Du aber hast gemeint:

"und (ein Hilbertraum ist) ein Banachraum (ist ein Raum), dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist."

Das ist korrekt.


2) {(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)}
Das ist korrekt. Üblicherweise würde man "vorne" mit der Auflistung anfangen, also (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Geht aber völlig gleichwertig auch so, wie Du geschrieben hast.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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1) Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum, eine Verallgemeinerung des euklidischen Raums auf unendlich viele Dimensionen
Bemerkung: Unendlich viele Dimensionen sind dabei nicht notwendig, sondern erlaubt. Ein Hilbertraum hat oftmals nur endlich viele Dimensionen. Bei der Beschreibung des Elektronenspins beispielsweise nur zwei.
 
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