stetig ~ @Ralf: manchmal kontinuierlich, muss aber nicht (?)
Hallo Dgoe,
muss: Stetigkeit kann
nur auf einem Kontinuum definiert werden.
Betrachte sonst die überall unstetige Funktion:
f(x) = 0 für x rational
f(x) = 1 für x irrational
Obgleich die rationalen Zahlen "dicht" liegen, also der Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen "unendlich klein" ist, da ihr Mittelwert ja auch eine rationale Zahl ist, ist die Funktion f(x) = 0 für rationale Zahlen keineswegs selbstverständlich stetig, wie obiges Beispiel zeigt.
Allerdings ist sie wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen
stetig fortsetzbar auf die reellen Zahlen, da man jede reelle Zahl mithilfe zweier rationalen Zahlen beliebig genau approximieren kann. Das muss man dann aber anders machen als im obigen Beispiel
Ja man kann sogar zeigen, dass die Menge der reellen Zahlen gleich der Menge der rationalen Zahlen ist, die man um die Menge der konvergenten Grenzwerte rationaler Zahlen erweitert hat, bzw. in der korrekten Terminologie:
vervollständigt hat. Bei der Vervollständigung verliert man allerdings die abzählbare Unendlichkeit (Cantor'scher Diagonalsatz), d.h. das Kontinuum ist überabzählbar unendlich.
Das ganze kann man noch weiter treiben: zwar kennt man schon lange Zeit auch die ganzen Quadratwurzeln, Kubikwurzeln & Co., aber ihr algebraischer Abschluss (Summe, Produkt) ist wegen des Hauptsatzes der Algebra, dass jedes Polynom mit Vielfachheiten gezählt im Zerfällungskörper genau n Nullstellen enthält,
nach wie vor abzählbar.
Aufgrund des Cantor'schen Diagonalsatzes ist aber die Menge der reellen Zahlen ohne die (reellen) algebraischen Zahlen überabzählbar, also riesig riesig riesig gross. Man hatte also 1874 einen Existenzbeweis einer riesig riesig riesig grossen Menge, ohne zunächst ein Element dieser riesig riesig riesig grossen Menge angeben zu können.
Aber zum Glück wurde 1844 vom Mathematiker Liouville der erste Nachweis einer solchen Zahl erbracht, nämlich sum {k in IN} 10^(-k!), also ~0.11000100..., und auch Hermite war 1 Jahr schneller als Cantor und konnte nachweisen, dass auch die Euler'sche Zahl in dieser riesig riesig riesig grossen Menge liegt.
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S. Ich habe nun endlich auch den
Beweis des Assoziativgesetzes der Additon auf den natürlichen Zahlen genannt bekommen
