Danke das ist nett von Dir, aber...
Was ist ds?
Was ist dr?
Hallo Dgoe,
ähm ja also ...
Stell Dir eine schöne Kurve vor ("schön" soll heissen, dass sie keine Löcher hat; Knicke darf sie schon haben) und sei diese Kurve der Einfachheit halber überall oberhalb der x-Achse. Es geht ja nur darum, eine Idee zu bekommen.
Betrachten wir nun diese Kurve im Interval x=0 bis und mit x=2.
Jetzt unterteilst Du die x-Achse in feine Abschnitte, z.B. der Länge 1 mm, wobei diese feinen Abschnitte auch unterschiedlich lang sein dürfen.
Nun bildest Du folgende Rechtecke:
Ecke 1: auf der x-Achse der Punkt des Abschnittes
Ecke 2: der Funktionswert dieses Punktes
Ecke 3: auf der x-Achse der Punkt des nächsten Abschnittes
Ecke 4: derselbe Funktionswert wie Ecke 2, aber über der Ecke 3.
In der Mathematik macht man das noch etwas "cleverer", indem man 2 Rechtecke bildet, nämlich eines mit dem
kleinsten Funktionswert zwischen den beiden Abschnitten und ein zweites mit dem
grössten Funktionswert zwischen den beiden Abschnitten; das ist zwar wichtig, können wir uns aber für den Moment mal schenken; wir nehmen einfach den Funktionswert vom linken Punkt des Intervalles.
So, und nun bilden wir die Summe der Flächen aller dieser Rechtecke. Wie gross ist sie ungefähr ?
Nun, sie ist ungefähr so gross wie die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse ! Und je feiner ich die abschnitte auf der x-Achse unterteile, desto genauer wird die Summe dieser Rechtecke die wirkliche Fläche unter der Kurve sein.
Noch ein "technisches" Detail: Es ist irgendwie klar, dass die Fläche unter der Kurve nicht von der Auswahl der Abschnitte auf der x-Achse abhängt, d.h. die Fläche zwischen x-Achse und Kurve ist
keine Funktion der Wahl der Abschnitte.
Ok, und nun approximieren wir die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse wie folgt:
Fläche ist ungefähr Summe aller dieser Rechtecke.
Jedes Rechteck hat die Fläche "Abstand der beiden Punkte auf der x-Achse" mal "Funktionswert vom linken Punkt".
Also:
Fläche ungefähr = Summe aller Rechtecke
Fläche ungefähr = Summe aller: "Abschnittslängen" * "Funktionswerte von linken Punkt"
Die Abschnittslängen schreiben wir nun als dx - wir haben ja gesehen, dass die Fläche
nicht von der Auswahl der Abschnitte abhängt und die Funktionswerte schreiben wir als f(x); streng genommen müsste man schreiben: f(x des linken Punktes), aber wenn die Abschnitte genügend fein gewählt sind so ist das ungefähr gleich gross. Natürlich muss man sowas streng beweisen, aber anschaulich ist das ja schon irgendwie klar, dass dem so ist.
Also:
Fläche ungefähr = Summe aller: "Abschnittslängen" * "Funktionswerte von linken Punkt"
Fläche ungefähr = Summe aller: dx * f(x)
Fläche ungefähr = Summe aller: f(x) * dx; es ist ja egal, ob ich Breite mal Höhe oder Höhe mal Breite schreibe.
Und diese Gleichung ist wichtig:
Fläche ungefähr = Summe aller: f(x) * dx
Und wenn man diese Abschnitte "unendlich" fein unterteilt, so erhält man die Fläche, und diese schreibt man als:
Fläche =
Integral aller: f(x) * dx
Ein dr hast Du also, wenn die Funktion über r geht, also f(r), und ein ds hast Du also, wenn die Funktion über s geht, also f(s).
Ach ja, "dx" soll heissen: "Differenz der x"
Freundliche Grüsse, Ralf
