Dunkle Energie=kosmologische Konstante?

julian apostata

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Die Inspiration für dieses Thema hab ich aus dem Buch von Harald Lesch (Kosmologie für helle Köpfe) erhalten und am Ende des Buches empfiehlt er folgenden Link:

http://www.wissenschaft-schulen.de/sixcms/media.php/1308/SuW-0205-Kosmologie-s.pdf

Dort ist nun folgende Gleichung auf Seite 22 zu finden (eine spezielle Form der Friedmanngleichung)

[TEX]a=\left[\sqrt{\frac{\Omega _0}{1-\Omega_0}}\cdot\sinh\left(1,5\cdot\sqrt{1-\Omega_0}\cdot H_0\cdot t \right )\right]^{2/3}[/TEX]

Das lässt sich allerdings noch locker vereinfachen. Erst mal ist bei dieser speziellen Lösung der Ausdruck vor dem “sinh” völlig überflüssig, denn er dient nur dazu, die heutige Größe des Universums völlig willkürlich auf 1 zu setzen.

Und dann kann man aufgrund von Formel (7) noch den Buchstaben Omega einsetzen, also:

[TEX](1)\qquad a=\left[\sinh(1,5\cdot\omega\cdot t)\right]^{2/3}[/TEX]

Bei der 1.Zeitableitung schmeiß ich sinh und cosh raus und ersetze sie durch die Stammfunktion.

[TEX](2)\qquad\dot{a}=a\cdot\omega\cdot\sqrt{1+\frac{1}{a^3}}[/TEX]

Die zweite Zeitableitung geht dann recht einfach über die Kettenregel

a’’=(da’/da)*a’

[TEX](3)\qquad\ddot{a}=a\cdot\omega^2\cdot\left(1-\frac{0,5}{a^3}\right)[/TEX]

Die “1” in der runden Klammer steht nun für die “dunkle Energie” und “0,5/a³” für die Gravitationswirkung. Mit anderen Worten: Als die Größe des Universums ca. a=0,7937 betrug, nahm es endgültig den Fuß von der Bremse und beschleunigte seine Expansion.

Wie groß ist es nun heute? Dazu muss man in der runden Klammer einfach nur Subtrahend durch Minuend teilen und man hat das Verhältnis von treibender Kraft zu bremsender Kraft. Nun schreibt aber Harald Lesch (Seite 153), dass der treibende Dichteparameter quasi doppelt zählt, also schon ab (1/3) stärker als die anziehende Kraft wurde.

[TEX](4)\qquad\frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_0}=a^3\qquad(5)\qquad \Omega_\Lambda+\Omega_0=1 [/TEX]

Da nun die treibende Masse heute einen Anteil von etwa 0,72 hat, gilt heute a~1,37

Den “Hubbleparameter” erhält man übrigens ganz einfach (2)/(1) rechnet.

[TEX](6)\qquad H_0=\omega\cdot\sqrt{1+\frac{1}{a^3}}[/TEX]

Die nächste Gleichung lässt sich mit Hilfe von (4),(5),(6) ermitteln

[TEX](7)\qquad\omega=\sqrt{1-\Omega_0}\cdot H_0[/TEX]

Bei H_0 von ca 70km/s/Megaparscec (~7,12*10^-11 pro Jahr) erhalten wir also ein Omega von ca w=6,05*10^-11 pro Jahr.

Wenn wir jetzt noch mal zurückblicken auf Gleichung (3), könnte man auf die Idee kommen, die “dunkle Energie” auch “Pseudorotation” zu nennen.

Da stellen wir uns zwei weit entfernte Galaxien auf einer rotierenden Scheibe vor, wobei die eine sich auf der Drehachse befindet und die andere im Abstand a sich von der Drehachse befindet und sich somit nahezu mit einer Beschleunigung von

a*w²

entfernte. Aus der heutigen “Pseudorotation” könnte man auch eine “Pseudoumlaufzeit” ermitteln, welche dann ca 104 Milliarden Jahre betrüge.

Na gut, das ist zwar irgendwo vielleicht ein Schmarrn, aber ich denk, so bekommt vielleicht auch der Laie eine ungefähre Vorstellung von der Mickrigkeit der dunklen Energie.
 

Frankie

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Ägypten ;-) ?

Grüße,
Frankie

PS: trotzdem Danke für den Beitrag. Als Laie hab ich jetzt wirklich den Eindruck einer gewissen Mickrigkeit :-D
 

julian apostata

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Was nun die Mickrigkeit der dunklen Energie anbelangt, da kann man zunächst mal mit Hilfe von (6) den Hubbleradius ermitteln, das ist jene Entfernung, wo die Galaxien mit Lichtgeschwindigkeit von uns wegdriften.

[TEX]H_0=\frac{c}{R_H}\rightarrow R_H=\frac{c}{H_0}=\frac{c}{\omega}\cdot \sqrt{\frac{a^3}{a^3+1}}[/TEX]

Geht man von einem heutigen Wert von a=1,37 aus, so liegt dieser etwa bei 14 Milliarden Lichtjahren. Mit ständig wachsendem Universum konvergiert der Wurzelfaktor gegen 1 und damit der Hubbleradius gegen c/w~16,5 Milliarden Lichtjahren.

Irgendwo zwischen beiden Werten liegt dann der “Rand der Erkenntnis”, denn aus diesem “Jenseits” kann keine Information mehr zu uns gelangen.

Hier kann allenfalls der Theologe noch ein höchstes Wesen postulieren, welches Alles im Blick hat, der seriöse Physiker sollte jedoch von solchen Spekulationen Abstand halten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Radius

Aus dem ersten Wert lässt sich übrigens noch ein wesentlich anschaulicherer Wert der Ausdehnungsrate ermitteln, nämlich Entfernungen im All wachsen jährlich um ein 14milliardstel.

Könnte man dies beispielsweise auf den Erdradius anwenden, so würde der jährlich knapp ein Millimeter wachsen.
 

Askatha

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Wow, also das ist mal eine sehr lange Formel! Respekt :confused:

[Anmerkung von Webmaster: Ich habe den versteckt hinter den Smiley gelegten Link auf eine Sex-Kontaktseite aus diesem Posting entfernt. Ich werte den Beitrag als unerlaubte Werbung für andere Webseiten und werde den Account im Wiederholungsfall ohne weitere Warnung sperren.]
 
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julian apostata

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Sexseiten auf Astronews, da hab ich wohl was verpasst, die letzten 3 Tage.:)

Eine nahezu identische Formel, findet man übrigens auch hier (am Schluss des Textes)

http://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung

Auch da steht wieder ein Faktor davor, welcher dafür sorgt, dass für das heutige gilt:

a=1

Wem die Gleichungen zu lang sind, der beschränke sich einfach auf (3) und zwar nur den Klammerinhalt.

1-0,5/a³ (Ohne Korrekturfaktor ist heute a=1,37)

1=“Einsteins Eselei”, die zieht das Universum auseinander
-0,5/a³ wirkt dem entgegen.

Oh mein Gott, kann ein Universum noch einfacher sein?
 

julian apostata

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Aus der heutigen “Pseudorotation” könnte man auch eine “Pseudoumlaufzeit” ermitteln, welche dann ca 104 Milliarden Jahre betrüge.

Es kommt allerdings noch dicker, wenn man sich die neueren Daten anschaut.

http://www.scilogs.de/einsteins-kosmos/planck-mission-der-esa-neue-karte-der-hintergrundstrahlung/

Aufgrund dessen beträgt nämlich die “Pseudoumlaufzeit” 111 Milliarden Jahre!

Nun wollt ich mal ganz genau wissen, wie gut die oben angegebenen Näherungsgleichungen sind.

Hier geben wir erst mal ein:

http://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html

H_0=67.11 Omega_m=0.3175 z=beliebig

Und dann betätigen wir den Button “Flat”

Dann können wir rechts die Lichtlaufzeit ablesen.

Den Zusammenhang hab ich mal plottergerecht aufbereitet.

Also einfach mal das da markieren und kopieren

13.825-11.7575*ln(1.46615/(x+1)^1.5+sqrt(273/127/(x+1)^3+1))

Dann in den Plotter rein tun

http://www.mathe-fa.de/de

Auf der y-Achse die “light travel time” ablesen und auf der x-Achse die Rotverschiebung z ablesen.

Was das Weltenalter anbelangt, so unterscheiden sich die beiden Rechnungen um ca. 5 Millionen Jahre. Bei z=1 haben wir 1 Million Jahre Unterschied.

Ich meine, das geht doch noch, bei ca 14 Milliarden Jahre seit Urknall, oder?
 

Dgoe

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Hi Julian,

Als die Größe des Universums ca. a=0,7937 betrug, nahm es endgültig den Fuß von der Bremse und beschleunigte seine Expansion.
(...)
Aus der heutigen “Pseudorotation” könnte man auch eine “Pseudoumlaufzeit” ermitteln, welche dann ca 104 Milliarden Jahre betrüge. [respektive 111]
Kannst Du das alles bitte einmal laienverständlicher erläutern, für Dummies??

Da nun die treibende Masse heute einen Anteil von etwa 0,72 hat, gilt heute a~1,37
Oh je, warum erinnert mich das an die Feinstrukturkonstante? Ach ja, wegen der 137. Ein Zufall?

Gruß,
Dgoe
 

julian apostata

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Hi Julian,
Kannst Du das alles bitte einmal laienverständlicher erläutern, für Dummies??

Kennst du Jules Verne? http://de.wikipedia.org/wiki/Von_der_Erde_zum_Mond

Das Projektilgeschwindigkeit kann man so einstellen, dass es nicht mehr zur Erde zurück fällt, dabei aber trotzdem immer langsamer wird.

Die Idee kann man noch so modifizieren. Wir pressen die Erde zu einem Massenpunkt zusammen und schießen das Projektil nicht bei r=6 371 km ab sondern bei r=0.

Und obwohl wir nun eine unendlich hohe Schwerkraft bei unendlich hoher Abschussgeschwindigkeit haben, bekommen wir sofort eine endliche Geschwindigkeit, weil wir es ja auch mal erst mit eine unendlich hohen Bremsverzögerung zu tun haben.

Das mag ein wenig schwammig formuliert sein, aber die mathematische Behandlung dieses Schusses ist geradezu lächerlich einfach.

[(9/2)*M*G]^(1/3)~121522 (ohne Dimensionsangabe, jedoch kg,m,s System)

http://texify.com/show.php?eq=$\\r=\left(\frac{9}{2}\cdot M\cdot G\right)^{1/3}\cdot t^{2/3}\\\\\\\dot{r}=\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{9}{2}\cdot M\cdot G\right)^{1/3}\cdot t^{-1/3}=\sqrt{\frac{2\cdot M\cdot G}{r}}\\\\\\\ddot{r}=-\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{9}{2}\cdot M\cdot G\right)^{1/3}=t^{-4/3}=-\frac{M\cdot G}{r^2} $

Vorschlag:
Das da in den Plotter eingeben und die x-Achse von 0 bis 500 Sekunden und die y-Achse von r=0 bis r=8000 km einstellen

121.522*X^(2/3)
6371
http://www.mathe-fa.de/de

Man sieht.
Vom Erdmassenpunkt hin zur (nicht mehr vorhandenen) Erdoberfläche braucht es 380 Sekunden.

Bis zu r=7600 km braucht es ca 500 Sekunden (h~1200 km)

Oder mit anderen Worten. Beim Abschuss von der Erdoberfläche aus würde das Projektil 120 Sekunden brauchen um bei 1200 km Höhe anzukommen.

Das Ganze ist jetzt eine Analogie zu einem Urknall ohne beschleunigende Expansion.

Wenn was unklar ist, frag halt noch mal nach wo‘s genau hakt.

Sollte alles klar sein, dann kann ich ja morgen die Jules-Verne-Analogie zu einem Universum mit beschleunigter Expansion weiter entwickeln.
 

Dgoe

Gesperrt
Ja ok, danke, alles klar soweit. :)

edit:
obwohl? Wieso Analogie zur unbeschleunigte Expansion, das Projektil beschleunigt doch auch, zumindest am Anfang...
 
Zuletzt bearbeitet:

julian apostata

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Und jetzt schaun' mer uns zum Vergleich mal zwei Julesvernekugeln an.

Rot: Kugel gleitet am Weltraumlift entlang. Ab ca. r=42 000 km wird sie (wegen Zentrifugalkraft) beschleunigt ins All hinaus getrieben.

Blau: Kugel (fliegt frei) zeigt zu Beginn nahezu dasselbe Verhalten wie Rot. Dann aber wird deutlich: Sie wird ständig langsamer, wird aber nie auf Null abgebemst.

Empfohlene Einstellung: x-Achse 0 bis 7000 Sekunden. y-Achse 0 (Erdmassensingularität) bis 50 000km

121.522*X^(2/3)
53133*sinh(0.00010938*x)^(2/3)
6371
http://www.mathe-fa.de/de

Hier noch die Bewegungsgleichung, mitsamt den nächsten beiden Zeitableitungen für die rote Julesvernekugel.

http://texify.com/?$\\r=\sqrt[3]{\frac{2\cdot M\cdot G}{\omega ^2}}\cdot\left[\sinh\left(\frac{3}{2}\cdot\omega \cdot t\right)\right]^{2/3}\\\\\\\dot{r}=\sqrt{r^2\cdot\omega^2+\frac{2\cdot M\cdot G}{r}}\\\\\\\ddot{r}=r\cdot\omega^2-\frac{M\cdot G}{r^2}$

(Das gepunktete r ist die Geschwindigkeit und das doppelt gepunktete r die Beschleunigung der Kugel)
 

julian apostata

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Ja ok, danke, alles klar soweit. :)

edit:
obwohl? Wieso Analogie zur unbeschleunigte Expansion, das Projektil beschleunigt doch auch, zumindest am Anfang...

Empfohlene Einstellung: x-Achse 0 bis 7000 Sekunden. y-Achse 0 (Erdmassensingularität) bis 50 000km

121.522*X^(2/3)
53133*sinh(0.00010938*x)^(2/3)
6371
http://www.mathe-fa.de/de

Vielleicht kommt‘s deutlicher rüber, wenn du die y-Achse auf 100 000 bis 150000 km erweiterst, dann kommt die beschleunigte Bewegung von Rot noch deutlicher rüber.
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo Julian,

Der Unterschied wurde erst wirklich deutlich, als ich nicht nur y auf 150.000 erhöht habe, sondern auch x auf 17.000 :cool:
Ich komme morgen nochmal darauf zurück.

Gruß,
Dgoe
 

julian apostata

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Der Unterschied wurde erst wirklich deutlich, als ich nicht nur y auf 150.000 erhöht habe, sondern auch x auf 17.000 :cool:

Ja, wenn du die x-Achse auf 17 000s (4,7 Stunden) begrenzt, hat die Julesverneperle entlang des Weltraumlifts 117 000 km erreicht.

So weit sind wir aber noch nicht.

http://www.scilogs.de/einsteins-kosmos/planck-mission-der-esa-neue-karte-der-hintergrundstrahlung/

gewöhnliche Materie: 4,9 %….Dunkle Materie: 26,8 %….Dunkle Energie: 68,25 %

Mit anderen Worten:
Treibende Masse/zusammenziehende Masse= 68,25/31,75~2,15

Laut Harald Lesch zählt allerdings die treibende Masse doppelt (warum das hab ich selbst nie ganz begriffen, vielleicht kann’s jemand anders erklären)

So haben wir heute:

Treibende Kraft/zusammenziehende Kraft~4,3

Mit Hilfe der 2.Zeitableitung der letzten Gleichung können wir ableiten.

r³=4,3*M*G/w² ergo r~68577 km

Das können wir uns ganz gut veranschaulichen, wenn wir die Achsen etwa auf 11 000s und 70 000 km begrenzen.
 

julian apostata

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Und ab wann nahm das Universum seinen Fuß vom Bremspedal und wechselte zum Gaspedal? Wer‘s grafisch veranschaulicht haben will, mache im Plotter folgende Angaben in genau der Reihenfolge.

sinh(1.5*0.056701*x)^(2/3)
0.0779485*x+0.19021
2^(-1/3)
(6825/3175)^(1/3)
http://www.mathe-fa.de/de

Empfohlene Einstellungen: x-Achse von Urknall bis 25 Milliarden Jahre.

y-Achse: Skalenfaktor 0 bis 2,5

Achtung, das ist der “julianische Skalenfaktor”. Mit dem lässt sich einfacher rechnen. Wer trotzdem den “amtlichen Skalenfaktor” haben will, der trage neben der schwarzen Linie die “1” ein.

Blaue Kurve=Wachstum des Sklaenfaktors

Rote Gerade: Tangete an die blaue Kurve, sie teilt die blaue Kurve dort, wo das Krümmungsverhalten sich ändert.
(Frage an Mathespezialisten: Darf man diese Gerade noch Tangente nennen?)

Grüne Gerade: a=0,7937 t~7,74 Mrd Jahre Universum steigt aufs Gaspedal.

Schwarze Gerade t~13,82 Mrd Jahre (heute)

Kleiner Nachtrag noch: Das Bild was ich im Plotter erzeugt habe, sollte noch ein paar Tage direkt anklickbar sein, also probiernmer's mal.

http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=5389b489289631.60925159
 
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Bernhard

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Hallo JA,

ich hätte da zwei Kritikpunkte am Thema:

1) Der absolute Wert des Skalenfaktors hat keinerlei physikalische Bedeutung. Er ist in jedem Friedmann-Universum schlicht frei wählbar.
2) Ein rotierendes Universum wird standardmäßig durch die Gödel-Metrik beschrieben und führt zu geschlossenen Zeitlinien, weswegen man diese Wahl gerne aus physikalischen Gründen verwirft.

Wegen Punkt 2 halte ich deine Interpretation der Dunklen Energie als Rotation für relativ fragwürdig.

Beide Punkte sprechen zudem eigentlich dafür das Thema in das GdM-Forum zu verschieben.
MfG
 

julian apostata

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1) Der absolute Wert des Skalenfaktors hat keinerlei physikalische Bedeutung. Er ist in jedem Friedmann-Universum schlicht frei wählbar.

Wenn ich den Skalenfaktor jedoch so wähle, wie ich es im 1. Posting (Gleichung 1) getan habe, dann hat er eine physikalische Bedeutung. Er sagt nämlich etwas aus über das Verhältnis von dunkler Energie zu „anziehender Masse“ (Gleichung 4)

Wegen Punkt 2 halte ich deine Interpretation der Dunklen Energie als Rotation für relativ fragwürdig.

Beide Punkte sprechen zudem eigentlich dafür das Thema in das GdM-Forum zu verschieben.
MfG

Ich habe die dunkle Energie nie als Rotation interpretiert.

Aber guckst du hier erst mal dieses Gleichungssystem.

http://texify.com/?$\\r=\sqrt[3]{\frac{2\cdot M\cdot G}{\omega ^2}}\cdot\left[\sinh\left(\frac{3}{2}\cdot\omega \cdot t\right)\right]^{2/3}\\\\\\\dot{r}=\sqrt{r^2\cdot\omega^2+\frac{2\cdot M\cdot G}{r}}\\\\\\\ddot{r}=r\cdot\omega^2-\frac{M\cdot G}{r^2}$

Eine ferne Galaxie habe die Entfernung r von uns.

Die Kugel mit unserer Galaxie im Mittelpunkt und dem Radius r habe die Masse M.

Die Beschleunigung der fernen Galaxie errechnet sich (siehe 2. Zeitableitung)

r*w²-M*G/r²

Der erste Teil der Gleichung erweckt Assoziationen an die Zentrifugalkraft.

Deswegen mein Vorschlag: Man bezeichne die „dunkle Energie“ als „Pseudorotation“.

Wem dieser Name nicht gefällt, kann sie meinetwegen auch Rumpelstilzchen nennen.

Ich hab also niemals behauptet, dass da wirklich ein Universum um uns rum rotiert.

Und du meinst also, dass eine Behauptung, die ich nie behauptet habe, ausreicht um mich in den gdM-Bereich zu verbannen?:p
 
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