Urknall-Theorie: Verhalten der Urteilchen während der Inflationsphase

[Bernhard]

Hallo Ich,

aus Zeitgründen kann ich momentan nur einige Ergebnisse meiner eigenen Rechnungen aufschreiben. Die drei Killingvektoren führen auf:



mit i=1,2,3 und den parametrisierten Pekuliargeschwindigkeiten v^i.

Die Geodätengleichung für t kann damit zu



mit



integriert werden. Für k=0 hat man die (im paper erwähnten) lichtartigen Geodäten.

EDIT: Damit folgt dann für die Eigenzeit des Beobachters:



Man kann k in Abhängigkeit von a dann so wählen, dass für einen bestimmten Zeitpunkt in der Vergangenheit divergiert. Hast Du das so gemeint?
Gruß

[Ich]

Hi Bernhard,

ich wollte die Sache eigentlich anschaulich rechnen, stehe aber auf dem Schlauch.
Egal, deine Formel gefällt mir recht gut, allerdings ausschließlich für k=1. Deiner zweiten Formel kann ich nicht folgen.
Wenn du die erste Formel umstellst nach siehst du, dass das Integral von t=-inf bis jetzt - also die Eigenzeit des Beobachters - endlich ist, für . Das ist die Aussage des Papers.

[Bernhard]

Deiner zweiten Formel kann ich nicht folgen.

Hallo Ich,

als Erklärung: Ich leite diese Formel über das Bogenelement ds her, denn das ist bei c=1 gleich dem benötigten .

Ich verwende also



und



und setze das in das nach lambda abgeleitete Bogenelement ein



Damit erhalte ich dann

[Bernhard]

Hi Bernhard,

ich wollte die Sache eigentlich anschaulich rechnen

OK. Das kann man aber immer noch machen, wenn man mal die Formel für die Abhängigkeit zwischen der Koordinatenzeit t und der Eigenzeit des frei fallenden Beobachters anschreibt:



Diese Funktion hat bei k=0 und bei k = -2v/a einen Pol. Bevor man diese Funktion weiter integriert sollte man sich also vielleicht noch überlegen, welche Bedeutung die Integrationsvariable k hat.

Mit



wird beispielsweise klar, dass k=0 lichtartige Geodäten impliziert.

[Ich]

Hi Bernhard,

ist doch auch bei dir der affine Parameter? Dann ist notwendigerweise proportional dazu, wenn man den selben Nullpunkt wählt. Und gleich, wenn man k=1 wählt.

Wobei ich die anschauliche Rechnung doch noch gemacht habe. Wie im Paper vorgeschlagen nimmt man p~1/a sowie und kommt so auf
,
was deiner Formel 1 ähnelt, aber doch unterschiedlich ist.
Für t<<0 wird sie zu , also - ein endlicher Wert.

[Bernhard]

ist doch auch bei dir der affine Parameter? Dann ist notwendigerweise proportional dazu

Ich hätte wohl doch besser danach fragen sollen, was affin hier genau bedeutet, denn ich habe lambda als frei wählbar betrachtet. Falls lambda linear mit tau verknüpft sein soll, muss ich die Rechnungen nochmal machen. Bitte entschuldige.

[Bernhard]

ist doch auch bei dir der affine Parameter? Dann ist notwendigerweise proportional dazu, wenn man den selben Nullpunkt wählt.

Hallo Ich,

ich denke "affin" bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich bijektiv, denn bei den lichtartigen Geodäten ist das Bogenelement bekanntlich immer Null. Eine Linearität zwischen und der Bogenlänge macht da keinen Sinn. Es ist aber eher ein Detail. Lass uns lieber die wichtigeren Aspekte des Papers diskutieren, sprich die im paper angesprochenen Eigenschaften der verschiedenen Geodäten. Ich brauche dazu aber noch mehr Zeit, schließlich lädt der Sommer auch noch zu diversen anderen Vergnügungen ein .
Gruß

[Bernhard]

Hallo Ich,

ich habe mir nochmal die Vorgaben aus dem Paper für die lichtartigen Geodäten angesehen und festgestellt, dass man damit Dein oben erwähntes Beispiel mit der zeitlich konstanten Hubble-Konstanten recht leicht berechnen kann. Es gelte also . Mit der im Paper vorgeschlagenen Normierung des affinen Parameters der Geodäte, sowie , folgt:



Das kann dann zu



integriert werden. Man sieht dann, dass der Parameter der Geodäte auf den Wertebereich von 0 (bei ) bis 1/H (bei ) beschränkt bleibt. Trotzdem kann die Geodäte nach t=-inf zurückververfolgt werden. Eine past-incompleteness kann ich da dann eigentlich nicht mehr erkennen .
Gruß

[Ich]

ich denke "affin" bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich bijektiv, denn bei den lichtartigen Geodäten ist das Bogenelement bekanntlich immer Null.

Nö, der affine Parameter ist schon ausgezeichnet. Zum Beispiel kriegst du über den Wellenvektor, der dann den Erhaltungssätzen folgt. Das wäre nicht so, wenn du die Ereignisse auf der Geodäte beliebig bijektiv auf R abbildest. Nur für zeit/raumartige Geodäten kann man den Parameter mit der Bogenlänge gleichsetzen.

Man sieht dann, dass der Parameter der Geodäte auf den Wertebereich von 0 (bei ) bis 1/H (bei ) beschränkt bleibt. Trotzdem kann die Geodäte nach t=-inf zurückververfolgt werden. Eine past-incompleteness kann ich da dann eigentlich nicht mehr erkennen

Der Punkt ist: Koordinatenzeiten sind Schall und Rauch. Ob man irgendwas zu einer unendlichen Koordinatenzeit verfolgen kann oder nicht hat nicht unbedingt physikalische Bedeutung. Zum Beispiel kann man bei Schwarzschild gut über den Horizonz kommen. Andersrum endetdas Universum in konformalen Koordinaten (siehe Davis&Lineweaver) nach 63 Mrd. Jahren, ohne dass da eine Singularität wäre.
Anders ist es mit der Eigenzeit: Wenn man eine Geodäte in endlicher Eigenzeit an einen Punkt bringt, an dem die ART einem nicht sagen kann, wie's weitergeht, dann ist da irgendwas unvollständig. Das ist hier der Fall.

[Bernhard]

Nö, der affine Parameter ist schon ausgezeichnet. Zum Beispiel kriegst du über den Wellenvektor, der dann den Erhaltungssätzen folgt. Das wäre nicht so, wenn du die Ereignisse auf der Geodäte beliebig bijektiv auf R abbildest. Nur für zeit/raumartige Geodäten kann man den Parameter mit der Bogenlänge gleichsetzen.

Hallo Ich,

man könnte also zwei räumlich ruhende Experimentatoren A und B in das betrachtete Univerum einbauen. A lebe in der Vergangenheit (t_A << t_B) von B und sende einen Lichtrahl mit der Frequenz nue zu B. Dieser kann dann die Frequenz bei sich messen. Meiner Meinung nach sollte dabei B im deSitter-Universum (a(t) = exp(H*t), dass das ein sehr spezieller Fall ist, ist klar) für beliebige Zeitpunkte (ohne t=-inf oder t=inf) stets nichtsinguläre Werte erhalten.
Gruß