Gesetz der kosmischen Faulheit

Infinity

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Bezüglich der allgemeinen Relativitätstheorie redet Russel in einem Buch, das ich zur Zeit lese, vom Gesetz der kosmischen Faulheit.

Wer diesen Begriff zuvor noch nicht gehört hatte: Es handelt sich dabei um die Tatsache, dass Objekte in der Raumzeit gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie bei ihrer Bewegung der zeitlich gesehen längsten Geodäte folgen.

  • Ist dieses Gesetz auch unter einem anderen Namen bekannt? Im Internet habe ich nur wenig mit diesem Begriff finden können und würde gerne mehr erfahren. Insbesondere interessiere ich mich dafür, warum Objekte in der vierdimensionalen Raumzeit der längsten Geodäte folgen und nicht der kürzesten. Im Buch wird diese Tatsache bloß abgespeist:
Relativitätstheorie schrieb:
Die Struktur dieser Raum-Zeit ist so beschaffen, daß eine geodätische Linie immer noch der geradeste Weg ist, nun aber der längste Weg und nicht der kürzeste. Dies läßt sich ohne schwierige mathematische Überlegungen nicht erklären, [...]


  • Und was ist mit der geradeste Weg gemeint: eine Gerade oder eine Kurve, die von allen möglichen Kurven am meisten der Gerade ähnelt?
Wenn jemand einen Link hat, der erklärt, warum die längste Geodäte und nicht die kürzeste, wäre ich dankbar (abgesehen davon, ob ich mit meinem Furzwissen in der Lage wäre, jene schwierigen mathematischen Überlegungen wirklich nachvollziehen zu können oder nicht).
 
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MGZ

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Im Prinzip ist die Geodäte definiert als der Weg zwischen zwei Punkten, welcher die geringste Bogenlänge aufweist. Es gibt daher per Definition keine längere oder kürzere Geodäte (Auch wenn die Geodäte nicht unbedingt eindeutig sein muss. Man denke nur an den kürzesten Weg vom Nordpol zum Südpol.)
 

Bernhard

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Es gibt daher per Definition keine längere oder kürzere Geodäte
Hallo MGZ,

in der ART optmiert eine Geodäte die Eigenzeit einer mitgeführten Uhr entlang der Geodäte. Dieses Optimum kann dabei die Eigenzeit minimieren oder maximieren. Scheinbar handelt es sich bei den Geodäten der ART allerdings um die Kurven, welche die Eigenzeit maximieren. Warum es kein Minimum ist, weiß ich momentan auch nicht.

ich kenne in diesem Zusammenhang nur Feynmans Anekdote, nachzulesen in "Sie belieben wohl zu scherzen, Mr. Feynman". Er "veräppelt" dort mit einem Gedankenexperiment eine Spezialisten für ART und erwähnt dabei auch kurz, ob es sich bei dem Eigenzeitoptimum um ein Maximum oder ein Minimum handelt.
MfG
 

MGZ

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in der ART optmiert eine Geodäte die Eigenzeit einer mitgeführten Uhr entlang der Geodäte. Dieses Optimum kann dabei die Eigenzeit minimieren oder maximieren. Scheinbar handelt es sich bei den Geodäten der ART allerdings um die Kurven, welche die Eigenzeit maximieren. Warum es kein Minimum ist, weiß ich momentan auch nicht.

In der ART bewegen sich Massepunkte auf einer Geodäte, solange keine anderen Kräfte wirken (Die leidige Diskussion mit der geladenen Punktmasse lassen wir mal außen vor).
Die mitgeführte Uhr heißt mitgeführt, weil sie sich am Ort des Massepunkts befindet und weil sich das auch nicht ändert. Die Eigenzeit nimmt daher tatsächlich ein Maximum an, weil ich mich in meinem lokalen Inertialsystem eben als ruhend betrachten kann, wohingegen ein relativ zu mir bewegter und beschleunigter Massepunkt immer eine kürzere Eigenzeit hat.

Das Problem ist bloß, dass das physikalisch keine Information enthält. Meine Eigenzeit ist das Ticken meiner Uhr, sie kann sich unter keinen Umständen ändern. Man will aber das Verhalten der anderen Massepunkte berechnen können.
 

Bernhard

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Die Eigenzeit nimmt daher tatsächlich ein Maximum an, weil ich mich in meinem lokalen Inertialsystem eben als ruhend betrachten kann, wohingegen ein relativ zu mir bewegter und beschleunigter Massepunkt immer eine kürzere Eigenzeit hat.
That's it! Damit ist Infinitys ursprüngliche Frage doch bereits beantwortet.
 

FrankSpecht

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Ja, Bernhard,
That's it! Damit ist Infinitys ursprüngliche Frage doch bereits beantwortet.
Aber erst der Zusammenhang mit diesem Textauszug aus deinem Wiki-Link:
Die Einschränkung lokal in der Definition bedeutet, dass eine Geodäte nur dann die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu sein braucht, wenn diese Punkte nahe genug beieinander liegen; sie muss aber nicht den global kürzesten Weg darstellen
macht einen Schuh daraus. ;)

Da ist sie halt wieder: Die Frage nach der Position des Beobachters :D

Zusammenfassend ist das eine schöne und schnelle Erklärung für Infinitys Frage. Danke MGZ und Bernhard!

PS: Nein, ein Schuh daraus wir doch erst, wenn man die zugrundeliegende Mathematik versteht (siehe Geodäten-Gleichung). Aber das ist eine andere, hier unnötige, Geschichte. Wir benötigen ja keinen 200-€-Schuh, oder? :eek:

PPS: Vielleicht versteh ich dich hier falsch, MGZ:
Man will aber das Verhalten der anderen Massepunkte berechnen können.
Sind denn Koordinatentransformationen nicht genau dafür gemacht?
 
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MGZ

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PPS: Vielleicht versteh ich dich hier falsch, MGZ:

Sind denn Koordinatentransformationen nicht genau dafür gemacht?

Ja, das ist richtig. Aber die Eigenzeit ist für relativ zum Koordinatensystem ruhende Objekte immer gleich lang, weil der Mensch eben keine Möglichkeit hat, seine eigene Eigenzeit zu messen. Das ist eine Nebenbedingung bei der Festlegung des metrischen Tensors. Als physikalisches Grundgesetz ist es denkbar ungeeignet.
 

Bernhard

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Aber die Eigenzeit ist für relativ zum Koordinatensystem ruhende Objekte immer gleich lang
da habe ich so meine Bedenken. MMn nach sollte die Eigenzeit entlang definierter Weltlinien mit definiertem Anfangs- und Endpunkt unabhängig von den verwendeten Koordinaten sein.
MfG
 

ZA RA

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[*]Und was ist mit der geradeste Weg gemeint: eine Gerade oder eine Kurve, die von allen möglichen Kurven am meisten der Gerade ähnelt?

Hallo Infinity,

ich habe das Gefühl dass die obige Frage von Dir noch nicht beantwortet wurde, deshalb möchte ich mich nochmal alg. äussern.

Zitat von Relativitätstheorie
Die Struktur dieser Raum-Zeit ist so beschaffen, daß eine geodätische Linie immer noch der geradeste Weg ist, nun aber der längste Weg und nicht der kürzeste. Dies läßt sich ohne schwierige mathematische Überlegungen nicht erklären...

Imho, alles im Universum fällt, besser gesagt strebt, in diverse Richtungen.
Die Galaxien voneinander und zueinander, Galaxiecluster dort und dahin etc. etc.

Dabei bleibt in den sagen wir "Materieinseln" wie Galaxien, der Abstand zwischen den dortigen Objekten "relativ gleich".
Der Raum zwischen den Galaxien und Galaxieclustern jedoch, expandiert und die Galaxien etc. driften durch diesen expandierenden Raum.
Ich stelle mir eine Galaxie vor die durch diesen ständig expandierenden Raum fällt.

Sagen wir sie fällt nun (mit all ihrem Inhalt), vom oberen mittigen Bildschirmrand in Richtung des unteren. Imho die Optimale, also kürzeste, Wegstrecke (Weltlinie) bis nach unten wäre eine absolute (3D) Gerade. Da nun aber der Raum während des Fallens, zwischen dem "Start" und "Endpunkt", expandiert, kommt es während dessen zur feinen Krümmung dieser Weltlinie. Es ist somit der geradeste, aber nicht der kürzest mögliche, Weg den die Weltlinie durch den Raum während ihrer Drift hinlegt. ( Das es allerdings wie im zweiten Zitat gesagt, ""der längste"" sein soll halte ich für übertrieben)

Imho vorstellbar, "ähnlich" einem Photon* das temporär von einem gravitativen Potential abgelenkt wird.

Lieben Gruss
z. ..
 
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Infinity

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da habe ich so meine Bedenken. MMn nach sollte die Eigenzeit entlang definierter Weltlinien mit definiertem Anfangs- und Endpunkt unabhängig von den verwendeten Koordinaten sein.
MfG
Ich denke, egal, wie man die Koordinaten ändert, kann sich zwar die Eigenzeit ändern (und somit die Zeit anderer), aber nicht zugleich das Verhältnis zwischen Eigenzeit und Zeit anderer. Wer gibt uns denn preis, dass 1 Sekunde der Eigenzeit nicht 0,5 oder 2 Sekunden sind? Würden alle Vorgänge im Universum nur halb so schnell ablaufen wie jetzt, sind sämtliche Verhältnisse erhalten geblieben, nur die eigentliche Eigenzeit beziehungsweise die eigentlichen Zeiten anderer nicht. Aus diesem Grund dürften es im ruhenden Inertialsystem keine absoluten Zeiten geben: Es gibt nur die weitestgehende, also so absolut wie möglich gehaltene Eigenzeit, welche aber nicht völlig absolut ist (Achtung: verwirrende Redundanz). Das geht aber wieder in Richtung Noch ein Vorschlag.

In der ART bewegen sich Massepunkte auf einer Geodäte, solange keine anderen Kräfte wirken (Die leidige Diskussion mit der geladenen Punktmasse lassen wir mal außen vor).
Müsste es sich nicht selbst bei Einwirkung anderer Kräfte, wie eben die Gravitation, um einer Geodäte handeln? Die Geodäte hätte nur nicht mehr dieselbe Form wie vor dessen Einwirkung, dennoch müsste sie an sich Geodäte bleiben.

Sagen wir sie fällt nun vom oberen mittigen Bildschirmrand in Richtung des unteren. Imho die Optimale, also kürzeste, Wegstrecke (Weltlinie) bis nach unten wäre eine absolute (3D) Gerade. Da nun aber der Raum während des Fallens, zwischen dem "Start" und "Endpunkt", expandiert kommt es während dessen zur feinen Krümmung dieser Weltlinie. Es ist somit der geradeste, aber nicht der kürzest mögliche, Weg den die Weltlinie durch den Raum während ihrer Drift hinlegt.
( Das es allerdings wie im zweiten Zitat gesagt, ""der längste"" sein soll halte ich für übertrieben)
Wenn es sich aber nun so verhält, könnte man nicht dadurch einen Punkt im Universum finden, in dem der Abweichungsgrad von der Geraden zur Kurve minimal wird? Und theoretisch müsste es wiederum einen Punkt geben, in dem der Abweichungsgrad gleich null ist und die Geodäte somit trotz Expansion eine exakte Gerade bleibt. Dieser Punkt müsste uns doch quasi einen Mittelpunkt im Universum offenlegen (ich bin mir dessen bewusst, dass es keinen Mittelpunkt im Universum in dem Sinne gibt, von wo aus ein Urknall stattgefunden haben soll; aber wie lässt sich das vor der Klammer Erwähnte erklären?).

Danke für alle bisherigen Antworten, insbesondere für die von ZA RA, Bernhard und MGZ.
 
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Bernhard

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Ich denke, egal, wie man die Koordinaten ändert, kann sich zwar die Eigenzeit ändern
Hallo infinity,

ds ist invariant unter Koordinatentransformationen und das läßt sich eben auch mathematisch exakt beweisen. Deswegen ist die Eigenzeit laut ART, ohne wenn und aber, eine koordinatenunabhängige Invariante. Wie lange eine Sekunde tatsächlich dauert, sagt einem also immer und an jedem Ort die Strahlung eines Cs133 Atoms. Dabei ist es völlig egal, dass eine SI-Sekunde mit Gravitation länger dauert, als eine SI-Sekunde ohne Gravitation. Es ist auch egal, ob sich die zugehörige Atomuhr bewegt oder ruht. Nur der Beobachter, der die Zeit abliest, muss relativ zu dieser Atomuhr ruhen. Schau Dir dazu auch mal die Diskussion zwischen 'Ich' und mir an.

Müsste es sich nicht selbst bei Einwirkung anderer Kräfte, wie eben die Gravitation, um einer Geodäte handeln?
Innerhalb der ART ist die Gravitation keine "andere" Kraft, sondern eine geometrische Form. Diese Form wird durch die Metrik beschrieben und die bestimmt ganz wesentlich das Aussehen der Geodäten.
Mfg
 

ZA RA

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Wenn es sich aber nun so verhält, könnte man nicht dadurch einen Punkt im Universum finden, in dem der Abweichungsgrad von der Geraden zur Kurve minimal wird? Und theoretisch müsste es wiederum einen Punkt geben, in dem der Abweichungsgrad gleich null ist und die Geodäte somit trotz Expansion eine exakte Gerade bleibt. Dieser Punkt müsste uns doch quasi einen Mittelpunkt im Universum offenlegen


Hallo Infinity,

ich denke Deine Überlegungen kommen daher das Du dir einen, sozusagen, "Einzelnen Punkt" vorstellst von dem aus der UK "inflationierte".

Das ist imho ja auch nicht falsch, diese Vorstellung kann man aber insofern erweitern als dass man, in diesen Punkt noch weitere integriert. Sozusagen ein Punkt der aus vielen Punkten besteht, bzw. eine hohe "Energie-Dichte" aufweist. Letztendlich wäre die Vorstellung das dieser "Punkt" aus Temperatur (Energie) besteht, die bei UK zur Entropie übergeht, sich verteilt und zusätzlich von der Raumexpansion dezentralisiert wird, imho ein Ansatz sich von der Vorstellung eines einzelnen, nicht quantisierten od. unterteilbaren, "Mittelpunktes" zu trennen.

Ein sozus. fluiddynamischer Prozess.
Um Dir die an von mir gedachte "Struktur" der Raumzeit, waehrend dieses Prozesses, vielleicht besser vorzustellen zu können erlaube ich mir ein Bsp. anhand bekannter Dynamiken.

Ein einzelner Wassertropfen, der auf die Oberfläche einer ruhenden Wasserfläche fällt, würde imho insofern deiner Vorstellung einer auffindbaren "Geraden" entsprechen. Der Tropfen würde ihn umgebende Wellenberge erzeugen, die sich über die Fläche ausdehnen, sich nicht überlagern oder gegenseitig stören. Der Abstand zwischen den sich ausbreitenden Wellen würde sich ständig erweitern. Der Wassertropfen würde durch die Oberflächenspannung des Wassers, jedmals in Einfallrichtung zurückgeworfen und gravitationsbedingt bei Rücksturz eine "Gerade" beschreiben und so weiter etc., alles in einer "Art" Symmetrie.

Bei mehreren Tropfen, werden die Wellen sich bei Ausbreitung gegenseitig auf variabelste Weise überlagern etc. Kein erkennbarer Mittelpunkt bleibt zurück, jedoch die Eigenschaft eines gemeinsamen Zentrums.(vom Standpunkt eines "Beobachters")
Bei zurückfallen wird jeder Tropfen, aufgrund vorhergehender Wechselwirkungen der Wellen untereinander, auf die von allen Wellen gebildeten Asymmetrien auf der Wasseroberfläche treffen. Der Tropfen wird nun etwas mehr in die eine oder die andere Richtung nach oben zurückgeworfen, schon jetzt beschreibt er eine Weltlinie, "Geodäte".

Zwischen variabel grossen, sich vom Zetrum entfernenden, Wellen befinden sich nun auch kleine, die kreuz und quer durch die sich erweiternden Wellentäler der grossen driften. Nach zweitem Hauptsatz kann das ziemlich lange so weiter gehen.

Sagen wir so, Du wirst nun in dem Sinne keine "Gerade" mehr erkennen können. Beobachtbare, beliebig eingefrorene*, Ausschnitte der von Wellen durchzogenen und gekräuselten Wasseroberfläche ("Raumzeit"), im kleinen wie im grossen, werden Dir jedoch wahrscheinlich komplexe Symmetrien*, sich überlagernder Zustände (zb. E8), oder Symmetrie ähnliche Strukturen (Millenium Simulation) zeigen. Wenn nicht gar, wie E8 zb., eine Dynamik die der Wassertropfen beschreibung nahe kommt.

Es ist also imho recht unwahrscheinlich das Du "gerade" Weltlinien in der von dir beobachteten RaumZeit, ob von Wellen oder Tropfen, finden wirst.
Die RaumZeit (Wasseroberfläche etc..), selbst ist gekrümmt.
Ausserhalb dieser RZ allerdings!? ;-)

Liebe Grüsse
z. ..
 

Infinity

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Innerhalb der ART ist die Gravitation keine "andere" Kraft, sondern eine geometrische Form.
Da habe ich mich nicht sehr schön ausgedrückt. Dennoch wollen wir ja wie Du (danke auch dafür) möglichst exakt und bei der geometrischen Gravitation bleiben. Nehmen wir besser einen anderen Einfluss, wie zum Beispiel Abstoßung durch elektrische Ladungen. Wird bei der Geodäte nur die Raumzeitkrümmung berücksichtigt, sodass alle anderen Einflüsse auf das Objekt entlang der Geodäte irrelevant sind? Ich meine es so: Im Grunde könnte man eine Geodäte doch auch als den effizientesten Weg bezeichnen (wie in der Wirtschaft mit möglichst geringem Aufwand von A nach B zu gelangen), den das Objekt innerhalb einer Situation gehen würde, um in B anzukommen - dies wäre ja der kürzeste. Angenommen nämlich, die Geodäte eines Objekts innerhalb einer gekrümmten Raumzeit würde eine Parabel beschreiben und nach dem Einfluss der elektrischen Kraft wie eine Funktion dritten Grades aussehen, so müsste doch nun letztere Funktion die neue Geodäte und kein Umweg der alten Geodäte sein (denn die alte Geodäte ist nämlich keine Geodäte mehr). In diesem Fall können sich Objekte nur auf Geodäten und nie von ihnen weg bewegen.

Wobei ich mich jetzt frage, ob sich diese Erklärung auch auf das Pfadintegral der Teilchen anwenden lässt, weil in der Pfadintegral-Methode ja mit Wahrscheinlichkeitsamplituden und nicht mit eindeutigen Amplituden gerechnet wird. Aber das ist erstens nur weiterführend und zweitens Off-Topic, dennoch ist es für mich interessant, ob ein Teilchen tatsächlich stets Geodäten verfolgt oder sich frei und lediglich innerhalb von Wahrscheinlichkeiten bewegt.



Es ist also imho recht unwahrscheinlich das Du "gerade" Weltlinien in der von dir beobachteten RaumZeit, ob von Wellen oder Tropfen, finden wirst.
Die RaumZeit (Wasseroberfläche etc..), selbst ist gekrümmt.
Ausserhalb dieser RZ allerdings!? ;-)
Gut, in der Realität sieht es wohl anders aus, nämlich so wie Du es sagtest. Ich ging von einem Idealfall aus - bei dem müsste sich aber die zugegebenermaßen fantasievolle Bedingung von nur einer Gravitationsquelle erfüllen. Das aber hat wie wir ja alle wissen keine Praxistauglichkeit.;) Und für das von Dir genannte Beispiel möchte ich mich herzlich bedanken.
 

Ich

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Wobei ich mich jetzt frage, ob sich diese Erklärung auch auf das Pfadintegral der Teilchen anwenden lässt, weil in der Pfadintegral-Methode ja mit Wahrscheinlichkeitsamplituden und nicht mit eindeutigen Amplituden gerechnet wird. Aber das ist erstens nur weiterführend und zweitens Off-Topic, dennoch ist es für mich interessant, ob ein Teilchen tatsächlich stets Geodäten verfolgt oder sich frei und lediglich innerhalb von Wahrscheinlichkeiten bewegt.
Guckstu hier, irgendwo da erklärt er sehr schön, wieso "sich frei und lediglich innerhalb von Wahrscheinlichkeiten" bewegen am Ende "Geodäte" heißt.
Kurzversion: wenn bei kleiner Variation der Weltlinie sich die "Wegstrecke" (hier: s) nicht ändert, dann interferieren alle solchen Pfade in konstruktiv.
Wenn sich die Strecke aber ändert, dann heben sich die Beiträge unterschiedlicher Pfade gegenseitig weg.
Womit am Ende der Pfad, dessen "Länge" sich bei kleiner Variation des Pfades nicht ändert, in 99,999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999% als Sieger hervorgeht und beobachtet wird.
 
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Gast
Die Idee, daß in der Natur außer minimalster Wirkung auch die maximalste Wirkung begangen wird, hatten schon Andere, mindestens Leibnitz. Anscheinend sind Vorgaenge maximaler Wirkung solche, die eine verhaeltnismaessig große Neuschoepfung darstellen, was vielleicht der Vorstellung von Chaos sowie (grob gesagt) exponentiellem Anwachsen von reignissen nahekommt, dagegen die minimaler Wirkung solche, wo relativ wenig passiert, also die meisten Vorgaenge der heutigen 'abgekuehlten' Welt, die deshalb auch recht gut als physikalische Gesetze die durch das Minimalprinzip trivial ableitbar formulierbar sind. Die Vorstellung und Vorgaenge maximaler Wirkung in diesem Sinne sind sicherlich ganz andere als nur zu ruhen und davon zu leben, daß die Eigenzeit Anderer langsamer ablaeuft, ein wirkungsloser Effekt ...

Ein Problem mit nach Extremalprinzipien formulierbaren Vorgaengen ist, daß diese vermeintlich teleologisches Verhalten erfordern. Das versucht man durch Pfadintegrale, Parallelwelten usw mit einem noch groesseren Uebel auszutreiben, naemlich Interferenz multipler Alternativen (wobei wir uns jetzt nicht mit Einzelheiten deren Varianten und Details aufhalten muessen), vermutlich in einer inadaequaten Interpraetation der Interferenz des Lichtes. Meiner Meinung nach koennte vermeintliches teleologisches Verhalten, aber ebenso auch andere Nicht-Lokalitaets-Erscheinungen, auf ein inadaequates Bezugssystem oder Betrachtungsweise zurueckzufuehren sein. Betrachtung in einem anderen System, insbesondere im Eigensystem beteiligter Objekte, koennte da wo uns eine raeumliche oder zeitliche Trennung erscheint (insbesondere, Geodaete), unmittelbare Nachbarschaft und Nahwirkung von Ereignissen darstellen. (Als maximal einfaches Beispiel haben wir das Licht, dessen Eigensystem nur aus 3 Punkten also 2 der Emission und 1 der Absorption besteht, die unmittelbar benachbart sind, wogegen diese Punkte in unsere Raumzeit als fuers Licht eigentlich inadaequates Bezugssystem umzurechnen nicht eindeutig moeglich ist und zBsp zu einer Kugelwele mit scheinbaren weiten Trennungen in den raeumlichen/zeitlichen Koordinaten dieses Systemes und scheinbaren 'Paradoxonen' wie dem ERP fuehrt) Bei Benutzung eines adäquaterem Systemes ließen sich teleologische oder andere Nicht-Lokalitaets-Probleme verhindern; alternativ koennten aber auch teleologische oder Nicht-Lokalitaets-Probleme einfach ignoriert und formal die normale Darstellung unbekuemmert weiterverwendet werden, zumal so erkannt wird das es sich um Schein-Paradoxone handelt. Dies erscheint mir vom Wesen her korrekter als die o.g. Alternativen multipler Realitaeten. Man mag rein formal auch diese Konzepte weiterverwenden soweit sie praktisch sind - jedoch unter Wahrhabung das sie keine physikalische Bedeutung haben .
 
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